北师大版八年级数学下册 角平分线的性质与判定 教学设计

北师大版八年级数学下册角平分线的性质与判定教学设计

一、教学内容分析

（一）教材地位与作用

“角平分线的性质与判定”位于北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》第四节，是几何推理从合情推理走向演绎证明的核心枢纽。本节内容承载着三大功能：其一，知识建构功能，学生通过全等三角形工具首次系统获得角平分线的专属性质，完成从一般三角形全等证等到特定几何模型直接运用的跨越；其二，思维发展功能，性质与判定构成严密的互逆命题体系，是初中阶段系统研究互逆定理的典范，为学生理解命题逻辑关系提供直观载体；其三，方法示范功能，本节完整呈现几何定理学习的科学范式——实验操作、归纳猜想、演绎证明、变式应用，对后续学习线段垂直平分线、等腰三角形、平行四边形具有方法论引领价值。本节内容在中考中属于【非常重要】【高频考点】领域，常以填空题、选择题中档题及几何证明解答题的形式出现，单独考查或融合于三角形、四边形综合题中。

（二）教学内容解析

本节核心知识由四个层次有机组成。第一层次，角平分线的性质定理。学生通过折叠、测量、几何画板追踪等多元活动，发现并证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”，实现位置关系向数量关系的转化。第二层次，角平分线的判定定理。学生经历逆命题的构造、辨析与证明，理解“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，完成数量关系向位置关系的回归。第三层次，定理的符号化表达。学生需规范书写∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE及逆用格式，形成严谨的逻辑表达习惯。第四层次，综合应用。包含直接应用定理求线段长、证角相等，以及构造垂线段、添加平行线等复杂情境下的模型识别与迁移。本节内容与轴对称、尺规作图、三角形内心、角平分线比例定理等知识形成纵向关联与横向辐射。

（三）核心知识体系与考点分布

1.角平分线的定义：一条射线将一个角分成两个相等的角，这条射线叫角的平分线。【基础】中考中多作为概念辨析题出现。

2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。【非常重要】【高频考点】考查形式包括直接填空求距离、证明线段相等、与面积问题综合。

3.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。【重要】【热点】常与三角形全等、垂直平分线判定联合考查。

4.定理的符号语言三重表征：文字语言、图形语言、符号语言。【基础】是几何入门规范训练的核心。

5.定理的证明方法：构造全等三角形。性质定理常用AAS；判定定理常用HL或AAS。【难点】学生需突破“辅助线为何如此作”的思维盲区。

6.基本图形模型：【高频考点】①双垂线模型（P在角平分线上，向两边作垂线）；②角平分线+平行线→等腰三角形；③角平分线+垂线→等腰三角形三线合一；④三角形两外角平分线交点到三边距离相等。

7.尺规作图：作已知角的平分线。【基础】要求说明作图步骤并依据全等三角形解释合理性。

8.拓展延伸：三角形三条内角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等。【了解】为九年级圆的学习做铺垫。

二、学情分析

（一）知识基础

学生已熟练掌握三角形全等的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形的HL判定，能够进行规范的几何证明书写；理解点到直线距离的垂线段最短本质；初步接触命题的题设与结论，但对互逆命题的真假性辨析尚不敏感。通过前序“等腰三角形”“直角三角形”的学习，学生已积累一定的几何探究经验，具备通过折叠、测量发现结论的活动经验。

（二）能力水平

八年级学生正处于皮亚杰认知发展阶段的形式运算初期，抽象逻辑思维开始占优势，但仍需具体经验的支撑。大部分学生能进行简单的演绎推理，但在处理多步推理、添加辅助线、逆向思考时表现出显著差异。具体表现为：对于性质定理，多数学生能通过全等完成证明；对于判定定理，部分学生将“点P在角平分线上”与“OP是角平分线”混淆，对“连接OP”这一辅助线感到突兀，难以自主生成构造思路。

（三）心理特征

本年龄段学生对“挑战性任务”具有天然的好奇心，但面对几何证明的严谨性容易产生畏难情绪。他们乐于在小组中表达观点，但倾听与批判性回应能力有待加强。教学中需设计低起点、密台阶、高互动的活动序列，使不同层次学生均能在原有基础上获得可见的进步。

三、教学目标与核心素养

（一）知识与技能

1.准确说出角平分线的性质定理与判定定理的文字内容，能结合图形用符号语言进行表达。

2.能运用性质定理证明两条线段相等，能运用判定定理证明一条射线是角的平分线。

3.能利用尺规完成已知角的平分线作图，并运用全等三角形的知识解释作图原理。

（二）过程与方法

1.经历从具体操作（折纸、测量）到抽象概括（猜想、证明）的完整过程，体会归纳与演绎相结合的数学研究方法。

2.通过对性质定理与判定定理的互逆性研究，初步建立逆向思维意识，理解命题之间的逻辑关联。

3.在变式训练中，经历从基本模型到复杂图形的识别、分离与重构过程，发展几何直观与模型思想。

（三）情感态度与价值观

1.在定理的自主发现与证明中，感受数学结论的必然性与逻辑力量，形成严谨求实的科学态度。

2.通过小组共研、互评互议，养成尊重他人观点、勇于质疑反思的合作品质。

3.在解决实际问题（选址问题）的过程中，体会数学抽象与现实应用的统一，增强用数学眼光观察世界的意识。

四、教学重难点

（一）教学重点

角平分线的性质定理与判定定理的发现、证明及初步应用。【非常重要】这是本节教学的“压舱石”，需通过多元活动确保每一位学生都能理解定理的条件与结论，并能在简单情境中准确提取模型。

（二）教学难点

1.判定定理的证明中辅助线“连接OP”的构造动机。【难点】学生习惯于从已知条件直接推导结论，对于“需要主动添加一条不在原图中的线段”缺乏策略性知识。

2.性质定理与判定定理在复杂背景下的选择与综合运用。【高频考点】【难点】学生易出现“用性质证判定、用判定证性质”的逻辑混乱，需在对比辨析中强化条件意识。

五、教学策略与方法

本设计秉持“为理解而教，为迁移而学”的课程改革理念，构建“三阶五环”深度学习范式。三阶指：具身操作阶段（做数学）、形式推理阶段（证数学）、迁移创造阶段（用数学）。五环指问题情境环、自主探究环、协作思辨环、变式内化环、反思升华环。具体策略如下：第一，问题驱动策略。以真实情境问题贯穿始终，使新知学习成为解决问题的必然需要。第二，可视化思维策略。运用几何画板动态呈现“点在角平分线上运动时垂线段等长”及“距离相等的点轨迹”，将离散的测量结果整合为连续的直观印象。第三，支架递进策略。在判定定理证明环节，设计填空式证明框架，为学困生搭建台阶。第四，对比辨析策略。通过性质与判定成对呈现、成对练习，强化互逆结构认知。第五，分层评价策略。作业设计为必做、选做、探究三类，课堂提问兼顾提示与挑战。

六、教学准备

教师端：几何画板6.0课件（含角平分线动点轨迹演示、双垂线段等长动态追踪、三角形内外角平分线交点演示）；导学案（含测量记录表、证明填空支架、变式训练题组）；微课视频《角平分线的尺规作图——源于SSS的全等智慧》。

学生端：每人一张透明纸印制的∠AOB（角度约60°）；剪刀、直尺、量角器、圆规；双色笔；小组公用磁力贴板与作图展示用马克笔。

七、教学过程

（一）创设情境，引入新知（约5分钟）

教师活动：大屏幕呈现某生态园区平面图，三条笔直的道路两两相交围成一块三角形空地，规划部门拟在区域内建一座公共卫生间，要求卫生间到三条道路的距离相等。如果你是设计师，你认为应选址何处？你能用已学知识解释理由吗？

学生活动：独立思考30秒，部分学生直觉认为应在“中心”，但无法给出严谨依据；部分学生尝试作角的平分线，但不确定三线是否交于一点。教师顺势引出课题：“要解决这个问题，我们必须先深入认识角平分线的一条重要性质及其逆命题。今天我们就共同研究——角平分线的性质与判定。”

设计意图：从真实生活情境出发，制造认知冲突——学生知道“角平分线”概念，但尚未掌握其距离相等属性，无法系统解释选址依据。此情境成为贯穿全课的主线索，首尾呼应，赋予知识学习以现实意义。

（二）探究发现，形成性质（约12分钟）

教师活动：发放印有∠AOB的透明纸片，布置任务。任务一：通过折叠画出∠AOB的平分线。任务二：在平分线上任取一点P，分别向OA、OB作垂线，垂足记为D、E。任务三：用刻度尺测量PD、PE的长度，精确到毫米，记录在导学案表中。任务四：改变点P的位置，再次测量，每人至少测量三组数据。

学生活动：四人小组内每人完成一张纸片的操作，汇总测量数据。小组代表用磁力贴板展示本组数据。预设各组数据均显示PD≈PE，部分组出现微小误差，教师引导归因于测量误差。

教师活动：几何画板动态演示——在角平分线上取任意点P，显示PD与PE的长度数值及二者比值；拖动点P，数值同步变化，但比值恒为1。追问：“通过操作与观察，你发现了什么结论？请用完整的数学命题表述。”学生归纳：角平分线上的点到角两边的距离相等。

教师活动：“数学不能仅靠测量确认，还需要严格证明。请将这个命题改写为‘已知……求证……’的形式。”学生独立画图、写出已知求证。预设：已知∠AOC=∠BOC，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，求证PD=PE。教师板演规范图形，强调垂足字母标注习惯。

学生活动：独立尝试证明。教师巡视，收集典型证法。预设全班绝大部分学生采用AAS证明△PDO≌△PEO。教师邀请一名学生上台板演，并引导全班逐句批改，强调OP是公共边这一关键条件。

教师精讲：性质定理实现了“角平分线”这一位置条件向“线段相等”这一数量结论的直接转化。今后在几何问题中，一旦识别出角平分线模型，即可直接写出PD=PE，无需再重复全等过程。【非常重要】板演定理符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。

设计意图：折叠、测量、动态演示构成三重验证，从粗糙到精密，从有限次到无限逼近，深刻支撑猜想的可靠性。证明环节回归理性，落实几何教学的严谨性。性质定理的符号化浓缩了全等推理过程，体现数学的简洁美。

（三）类比迁移，探究判定（约12分钟）

教师活动：提出核心思辨问题——性质定理的条件与结论如果交换，得到的命题还成立吗？引导学生逐字调换：“到角两边距离相等的点在角的平分线上”。追问：“你认为这个命题是真命题吗？”学生凭直觉多数认为是真。

教师活动：“既然是真命题，我们就需要证明。请画出图形，写出已知和求证。”学生画图，预设已知条件为PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE；求证为点P在∠AOB的平分线上。

学生活动：小组讨论证明方案。教师巡视，发现两大思维障碍：其一，不知如何证明“点在线上”；其二，不知如何利用已知的线段相等。教师介入引导：“要证明OP是角平分线，即证∠1=∠2。证明角相等目前有哪些工具？”学生回顾：全等三角形对应角相等。教师追问：“图中有一对全等三角形吗？如果没有，怎么办？”学生顿悟：需要添加辅助线构造全等三角形。

学生活动：继续讨论辅助线作法。预设两个主流方案。方案一：连接OP。方案二：过P作射线OP。教师引导学生辨析：方案二中“过P作射线OP”默认O、P已确定一条射线，实质同方案一。最终确定辅助线为连接OP。

教师活动：组织学生完成证明书写。预设证法：在Rt△PDO和Rt△PEO中，PD=PE，OP=OP，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠1=∠2。即OP平分∠AOB，点P在∠AOB的平分线上。

教师强调：判定定理使用前提——点P必须在角的内部，且所作的是垂线段。【重要】对于“点在角的外部”情形，命题不成立，可举反例（如图，角外部一点到两边距离相等，但不在角平分线上）。板演判定定理符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。

设计意图：逆命题的构造与证实是培养学生逆向思维的最佳载体。从性质到判定，学生完整经历“猜想—质疑—构造—证明”的科学家工作流程。HL定理的出现自然流畅，体现几何证明策略的灵活性。

（四）例题解析，深化理解（约15分钟）

【例1】性质定理正向运用。题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD。求证：BE=CF。

教师活动：引导学生审题，标注已知条件。提问1：由AD平分∠BAC及DE⊥AB、DF⊥AC，可直接得到什么结论？学生：DE=DF。提问2：要证BE=CF，目前BE和CF分别位于哪两个三角形中？学生：Rt△BDE和Rt△CDF。提问3：这两个直角三角形已经有哪些相等条件？学生：DE=DF，BD=CD。提问4：判定直角三角形全等可用哪个定理？学生：HL。教师板演完整证明过程，重点示范性质定理使用后的“∵AD平分∠BAC……”与“∴DE=DF”的逻辑链条。

【例2】判定定理正向运用。题目：如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，BE与CF交于点P，且BP=CP。求证：AP平分∠BAC。

学生活动：独立思考1分钟，尝试标注已知条件。小组交流证题思路。预设思路：要证AP平分∠BAC，即证点P到AB、AC的距离相等，图中已有PE⊥AC、PF⊥AB，只需证PE=PF。如何证PE=PF？学生发现PE与PF分别在△PEC和△PFB中，结合BP=CP及对顶角∠EPC=∠FPB，可证△PEC≌△PFB（AAS或ASA），从而PE=PF。最后由判定定理得AP平分∠BAC。教师展示学生典型证法，组织全班评议，规范判定定理的书写时机。【高频考点】

设计意图：例1与例2构成互逆应用结构，例1从角平分线出发证线段相等，例2从线段相等出发证角平分线。学生通过对比，清晰辨析性质与判定的条件差异，避免混淆。

（五）变式训练，巩固提升（约18分钟）

变式1图形位置变异。原例1中，将AD改为△ABC的角平分线，但点D在BC延长线上（即外角平分线情境）。学生讨论后明确：无论点D在线段上还是延长线上，角平分线的性质依然适用，证法完全一致。打破学生“角平分线必在三角形内部”的思维定式。

变式2添加平行线模型。题目：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E。求证：AE=DE。

学生活动：独立探究，寻找不同证法。教师巡视，收集代表性解法。解法一（几何直观法）：由AD平分∠BAC得∠1=∠2，由DE∥AB得∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AE=DE。解法二（性质定理法）：过D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G，则DF=DG；再通过面积法或全等三角形证明AE=DE。教师组织对比：解法一简捷，但需识别“角平分线+平行线→等腰三角形”模型；解法二通用但略显繁琐。学生体会模型识别带来的效率提升。【热点】

变式3双外角平分线交点。题目：如图，△ABC中，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P。求证：点P在∠BAC的平分线上。

教师活动：本题是本节认知难点集中区。【难点】教师采用问题串搭建脚手架。问题1：要证明点P在∠BAC的平分线上，需满足什么条件？学生：P到AB、AC的距离相等。问题2：点P在∠CBD的平分线上，你能得到什么结论？学生：P到BC、AB的距离相等。问题3：点P在∠BCE的平分线上，你能得到什么结论？学生：P到BC、AC的距离相等。问题4：如何将这两个结论联系起来？学生：等量代换得P到AB、AC的距离相等。教师指导学生规范写出证明过程，并追问：“三角形两外角平分线交点到三边距离有什么关系？”学生发现距离均相等。教师总结：该点也是三角形的一个旁心，为学有余力学生打开探索窗口。

设计意图：变式1消除图形位置负迁移；变式2渗透模型思想，优化解题策略；变式3提升综合推理能力，将性质与判定嵌套使用，实现从单一模型到复合模型的思维进阶。

（六）综合应用，拓展延伸（约10分钟）

回归情境：解决课前“垃圾中转站选址”问题。教师组织学生小组讨论，运用本节所学给出选址方案。

学生活动：小组代表利用磁力贴板在三角形ABC模型上演示。组1：作∠A的平分线，作∠B的平分线，两条线交于一点O，则O即为所求。组2：质疑：仅作两条角平分线是否足以确定？三条角平分线是否交于同一点？教师引导：我们目前只能确认两条线交于一点，第三条线是否经过这一点尚需证明，这是九年级的任务，但我们可以通过测量验证。学生现场测量，发现点O到三边距离确实相等。

教师活动：介绍三角形三条内角平分线交点的名称——内心，并指出这是三角形内切圆的圆心。展示几何画板动态：三角形内心与内切圆。激发学生对新知的期待。

设计意图：实现整节课的大情境闭环。学生在解决真实问题的过程中，自然运用了性质定理（解释点O到三边距离相等）和判定定理（解释为什么作两条角平分线的交点就是满足条件的点）。数学的实用价值得以彰显。

（七）课堂小结，构建网络（约5分钟）

教师引导：“请回顾本节课，我们从哪些角度认识了角平分线？”学生自由发言，教师系统梳理：

知识层面：我们学习了一对互逆定理——性质定理是“由线推距”，判定定理是“由距推线”。二者缺一不可，共同刻画了角平分线的本质特征。

方法层面：我们经历了几何定理学习的完整路径——动手操作获得猜想，逻辑论证确认猜想，符号语言简化猜想，变式训练活化猜想。这套方法可迁移至后续所有几何定理的学习。

思想层面：我们体会了转化思想（几何条件与代数数量的转化）、互逆思想（命题逻辑结构的对称美）、模型思想（从复杂图形中剥离双垂线模型）。

学生活动：在导学案空白处绘制本节课的思维简图，课后完善。

设计意图：从知识、方法、思想三个维度搭建认知结构，使新知扎根于已有经验网络，避免“学完即忘”。

（八）布置作业，分层设计（约3分钟）

A层·基础巩固（必做）：

1.课本第34页习题1.4第1题、第2题。直接应用性质与判定解决简单几何问题。【基础】

2.用尺规作一个任意角的平分线，写出作法，并说明每一步的依据。

B层·能力提升（选做）：

1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。【高频考点】本题综合运用比例、角平分线性质，考查模型提取能力。

2.尝试证明：三角形三条内角平分线交于一点。（提示：转化为判定定理的应用）

C层·实践探究（小组合作）：

选取校园中一处三角形花坛或篮球场半场，估算其三条角平分线交点到三边的距离，并撰写简短的数学探究报告。

设计意图：A层保证基础过关，人人达标；B层激励优生挑战思维极限；C层将数学学习延伸至真实世界，培养量感与数学建模意识。

八、板书设计

主板书区（黑板左侧及中部）：

┌─────────────────────────────────────┐

│课题：角平分线的性质与判定│

││

│一、性质定理二、判定定理│

│图形：（略）图形：（略）│

│文字：角平分线上的点文字：到角两边距离相等的点│

│到角两边的距离相等在这个角的平分线上│

│符号：∵OC平分∠AOB，符号：∵PD⊥OA，PE⊥OB，│

│PD⊥OA，PE⊥OBPD=PE