2025-2026学年江苏省南京一中高二（下）段考数学试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京一中高二（下）4月段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}为正项等比数列，若a3=16，aA.±4 B.4 C.−4 D.22.已知随机变量X～N(1,σ2)，且P(X>2)=0.2，则P(0<X≤1)=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.63.二项式(1−2x)9的展开式中x6的系数为A.C96 B.−C96 4.有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有(

)A.48种 B.12种 C.36种 D.24种5.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为35，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为(

)A.625 B.1225 C.476.8100−2除以7A.1 B.2 C.5 D.67.三棱柱ABC−A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAAA.33

B.66

C.8.已知函数f(x)=ex，g(x)=ax2，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1A.(−∞,0] B.(−∞,e2] C.(−∞,e]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于随机事件的概率说法正确的是(

)A.若A⊆B，则事件B发生，事件A一定发生

B.对于古典概型，若P(A∪B)=P(A)+P(B)，则事件A与B互斥

C.若P(A|B)=P(A)，则事件A与B独立

D.某校高二年级男女生人数之比为3：2，最近一次视力检测统计结果为男生近视率为0.8，女生近视率为0.6，则该年级学生的近视率为0.7210.已知函数f(x)=ax3+bxA.若f(x)为奇函数，则b=0且d≠0

B.当a>0，b>0，c=0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增

C.当a>0，b=0，c<0时，f(x)有两个极值点

D.当a=1，b=3，c=d时，f(x)的图象关于点(−1,2)对称11.如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=4，A1，B1，C1，D1分别为侧棱PA，PB，PC，PD的中点，若多面体ABCD−A1BA.PC//平面A1BD

B.四棱锥P−ABCD的外接球半径为2

C.直线BC1与底面ABCD所成角的余弦值为306

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.求曲线y=sinxx在点M(π,0)处的切线方程______．13.已知二面角α−1−β的棱上有A，B两点，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若二面角α−1−β的大小为π3，且AC=3，AB=6，BD=4，则CD=

．14.4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a2+a5=12，S5=25．

(1)求{an}的通项公式；16.(本小题15分)

(1)从0，1，2，3，4，5这6个数字中选出4个不同的数字组成四位数，其中奇数有多少个？(结果用数字作答)

(2)南京市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等6名教师被随机地分到A，B，C，D四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法.(结果用数字作答)17.(本小题15分)

2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．

方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折．

方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．

(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；

(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？18.(本小题17分)

如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的底面为正方形，侧面DCC1D1为等腰梯形，AB=2A1B1=4，ED1：D1D：DE=13：3：2，E为AD的中点．

(1)证明：平面DCC19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x−2)ex−ax2+2ax+4a+2，a∈R．

(1)当a=0时，讨论f(x)的零点的个数；

(2)若f(x)在x=1处取得极大值，求a的取值范围；

(3)当参考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.C

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.BCD

11.ACD

12.y=−x13.7

14.60

15.解：(1)由{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a2+a5=12，S5=25，

得a2+a5=2a1+5d=12,S5=5a1+10d=25,

解得a1=1,d=2,

所以an=2n−1．

(2)证明：由bn=2anan+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，

可得Tn=1−13+13−15+...+12n−1−12n+1=1−12n+1<1．

16.解：(1)从0，1，2，3，4，5这6个数字中选出4个不同的数字组成四位数，且为奇数，

第一步：确定个位数，有3种排法；

第二步，确定千位数，有4种排法；第三步，确定十位和百位数，有A42=4×3=12种排法．

根据分步计数原理，这样的奇数有3×4×12=144个．

(2)因为6名教师分到A，B，C，D四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，

所以先将6名教师分成4组，每组至少一个，故有两类分组结构：3，1，1，1和2，2，1，1．

分两类完成，第一类按3，1，1，1分组，有C63⋅C31⋅C21⋅X05007001000P17791所以E(X)=0×1120+500×7120+700×740+1000×91120=910(元)；

若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则Z=1000−200Y，

由已知可得Y～B(3,310)18.解：(1)证明：易知DE=12AD=2，则ED1=13,D1D=3，

故ED12=D1D2+DE2，则ED⊥D1D，即AD⊥D1D，

由题易知AD⊥DC，

又因为D1D∩DC=D，DC，D1D⊂面DCC1D1，则AD⊥面DCC1D1，

又因为AD⊂面ABCD，故面DCC1D1⊥面ABCD；

(2)过点D作直线Dz⊥平面ABCD，过D1作D1F⊥DC，

建立空间直角坐标系，如图所示：

面DCC1D1⊥面ABCD，面DCC1D1∩面ABCD=CD，则D1F⊥面ABCD，

故D ​1F为四棱台ABCD−A1B1C1D1的高，

又DF=12(CD−C1D1)=12(4−2)=1，则D1F=D1D2−DF2=22，

D19.解：(1)当a=0时，f(x)=(x−2)ex+2，所以f(0)=0，即0是f(x)的一个零点，

f′(x)=(x−1)ex，当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)单调递增；

当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,1)单调递减，

因为f(1)=−e+2<0，f(2)=2>0，

因为f(x)图象是不间断的，所以在(1,+∞)上存在1个零点，

故f(x)的零点的个数为2；

(2)f(x)定义域为R，f′(x)=(x−1)ex−2ax+2a=(x−1)(exx(−∞,1)1(1,+∞)f′(x)−0+f(x)递减极小值f(1)递增此时f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意；

②当0<a<e2时，x(−∞,ln(1(1,+∞)f′(x)+0−0+f(x)递增极大值f(递减极小值f(1)递增此时f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意；

③当a=e2时，ln(2a)=1，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，此时f(x)无极值；

④当a>x(−∞,1)1(1,ln(f′(x)+0−0+f(x)递增极大值f(1)递减极小值f(递增此时f(x)在x=1处取得极大值，符合题意，

综上所述，实数a的取值范围是(e2,+∞)；

(3)证明：因为f(0)=4a，f′(0)=2a−1，所以f(x)在点(0,4a)处的切线方程为y=(2a−1)x+4a，

设g(x)=(2a−1)x+4a，下面证明：当0<x≤1