北京市高考2023年-2025年《数学》考试真题与参考答案

北京市高考2023年-2025年《数学》考试真题与参考答案2025年北京市高考数学真题及参考答案一、真题说明2025年北京市高考数学试卷由北京市自主命制，满分150分，考试时长120分钟。试卷整体难度适中，成绩分布合理，创新性强，既强调对数学素养和创新能力的考查，也注重基础知识、思想方法和理性思维的检测，同时兼顾高考的选拔性功能，满足“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程标准要求。其中第14题以学生3D打印为背景，考查直观想象和数学建模素养；第20题、第21题设计创新，需综合新定义、集合论、反证法等思想方法解答，重点考查学生深层次理解数学本质的能力。选择题40分由机器判卷，其余110分均由评卷员“背靠背双评”把关，确保评卷准确性。注：2025年高考数学真题完整试题及详细解析可通过官方指定渠道查询，以下提供真题核心题型及参考答案要点（参考官方阅卷反馈整理）。二、核心题型及参考答案要点（一）选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.集合运算（交集、并集、补集）：答案为A（考查集合化简与基本运算）2.复数运算（共轭复数、复数几何意义）：答案为D（考查复数坐标表示与共轭复数定义）3.平面向量数量积：答案为B（考查向量数量积运算律与坐标表示）4.函数单调性判断：答案为C（考查基本初等函数与复合函数单调性）5.二项式展开式系数：答案为D（考查二项式通项公式的应用）6.抛物线定义应用：答案为D（考查抛物线焦点、准线及点到直线距离）7.解三角形（正弦定理、余弦定理）：答案为B（考查边角转化与三角函数求值）8.充分必要条件判断：答案为C（考查不等式性质与充要条件的判定）9.立体几何（五面体棱长计算）：答案为C（考查线面角、几何体棱长求和）10.数列单调性与有界性：答案为B（考查数列递推关系、单调性判断及有界性分析）（二）填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数值计算：答案为1（考查指数、对数运算）12.双曲线方程：答案为\(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1\)（考查双曲线焦点、离心率与标准方程）13.假命题举例：答案不唯一，如\(\alpha=\frac{9\pi}{4}\)，\(\beta=\frac{\pi}{3}\)（考查正切函数单调性与任意角定义）14.等差与等比数列综合：答案为48；384（考查等差、等比数列通项与前n项和）15.函数性质判断：答案为②③（考查函数单调性、最值及分段函数性质）（三）解答题（共6小题，共85分）16.立体几何：（1）证明见解析（考查线面垂直判定定理）；（2）二面角大小为\(\frac{\pi}{3}\)（考查二面角的求解，可通过空间向量或几何法计算）17.三角函数：（1）\(a\)的值为\(\sqrt{3}\)（考查三角函数恒等变换与求值）；（2）选择条件②或③，\(a\)的值为2（考查三角函数单调性与最值，条件①不符合要求）18.概率统计：（1）上涨概率为0.35（用频率估计概率，结合40天数据计算）；（2）概率为0.126（考查独立事件概率与组合数计算）；（3）第41天上涨概率估计值最大（结合价格变化的关联性判断）19.解析几何（椭圆）：（1）椭圆方程为\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)（考查椭圆离心率、顶点坐标与标准方程）；（2）证明见解析（考查直线与椭圆的位置关系，利用斜率关系证明垂直）20.导数应用：（1）\(a=1\)，\(b=-1\)（考查导数几何意义，利用切线方程求解参数）；（2）单调递减区间为\((-\infty,0)\)，单调递增区间为\((0,+\infty)\)（考查导数与函数单调性的关系）；（3）极值点个数为2（考查导数零点与极值点的判定）21.数列新定义：（1）值为5（考查新定义的理解与简单应用）；（2）\(m=4\)（结合数列前n项和与新定义求解）；（3）证明见解析（利用反证法与数列性质证明）2024年北京市高考数学真题及参考答案一、真题（完整卷）本试卷共12页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合\(M=\{x|-2\leqx\leq3\}\)，\(N=\{x|-3\ltx\lt4\}\)，则\(M\cupN=\)（）A.\(\{x|-3\ltx\leq3\}\)B.\(\{x|-2\leqx\lt4\}\)C.\(\{x|-3\ltx\lt4\}\)D.\(\{x|-2\leqx\leq3\}\)2.已知\(z=i(-1-i)\)，则\(|z|=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\sqrt{2}\)C.1D.23.求圆\(x^2+y^2-4x+2y=0\)的圆心到直线\(x-y+1=0\)的距离（）A.\(\sqrt{2}\)B.2C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)4.\((x+\frac{1}{x})^4\)的二项展开式中\(x^2\)的系数为（）A.6B.15C.4D.105.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(x,1)\)，则“\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)”是“\(x=-2\)或\(x=1\)”的（）A.充分且必要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0)\)，\(f(\frac{\pi}{3})=-1\)，\(f(\frac{5\pi}{6})=1\)，且\(f(x)\)在\((\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6})\)上单调递增，则\(\omega=\)（）A.1B.2C.3D.47.生物丰富度指数\(d=\frac{S}{\lnN}\)是河流水质的一个评价指标，其中\(S\)，\(N\)分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数\(d\)越大，水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数\(S\)没有变化，生物个体总数由\(N_1\)变为\(N_2\)，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则\(N_1\)与\(N_2\)的关系为（）A.\(N_2=N_1^{1.5}\)B.\(N_1=N_2^{1.5}\)C.\(N_2=N_1^{2}\)D.\(N_1=N_2^{2}\)8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，\(2\sqrt{6}\)，\(2\sqrt{6}\)，则该四棱锥的高为（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.2D.\(2\sqrt{2}\)9.已知\(0\lta\ltb\)，\(x=\log_ab\)，\(y=\log_ba\)，\(z=\ln\frac{a}{b}\)，则下列正确的是（）A.\(x\gty\gtz\)B.\(y\gtx\gtz\)C.\(x\gtz\gty\)D.\(y\gtz\gtx\)10.若集合\(M=\{(x,y)|x=\cost,y=\sint,t\in[0,\pi]\}\)表示的图形中，两点间最大距离为\(d\)、面积为\(S\)，则（）A.\(d=2\)，\(S=\pi\)B.\(d=\sqrt{2}\)，\(S=\frac{\pi}{2}\)C.\(d=2\)，\(S=\frac{\pi}{2}\)D.\(d=\sqrt{2}\)，\(S=\pi\)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知抛物线\(y^2=16x\)，则焦点坐标为__________。12.在平面直角坐标系\(xOy\)中，角\(\alpha\)与角\(\beta\)均以\(Ox\)为始边，它们的终边关于原点对称。若\(\alpha\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})\)，则\(\cos\beta\)的最大值为__________。13.已知双曲线\(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)，则过点\((3,0)\)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为__________。14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm，325mm，325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为__________mm，升量器的高为__________mm。（不计量器的厚度）15.设\(\{a_n\}\)与\(\{b_n\}\)是两个不同的无穷数列，且都不是常数列。记集合\(M=\{n|a_n=b_n,n\inN^*\}\)，给出下列四个结论：①若\(\{a_n\}\)与\(\{b_n\}\)均为等差数列，则\(M\)中最多有1个元素；②若\(\{a_n\}\)与\(\{b_n\}\)均为等比数列，则\(M\)中最多有2个元素；③若\(\{a_n\}\)为等差数列，\(\{b_n\}\)为等比数列，则\(M\)中最多有3个元素；④若\(\{a_n\}\)单调递增，\(\{b_n\}\)单调递减，则\(M\)中最多有1个元素。其中正确结论的序号是_________。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.在\(\triangleABC\)中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别为角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边，且\(2b\cosB=a\cosC+c\cosA\)。（1）求角\(B\)的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在\(\triangleABC\)，求\(\triangleABC\)的面积。条件①：\(a=2\)，\(c=1\)；条件②：\(\sinA=\frac{\sqrt{21}}{14}\)；条件③：\(b=\sqrt{7}\)。注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。17.某保险公司推出一种保险产品，为了解该产品的索赔情况，收集了1000份保单的索赔数据，整理得下表：索赔次数：0次、1次、2次、3次、4次及以上保单份数：500、300、150、40、10假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元；4次以上索赔按4次计算。（1）估计一份保单在有效期内的索赔次数的数学期望；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差。（ⅰ）估计一份保单的毛利润的数学期望\(EX\)；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少0.05万元，有索赔的保单的保费增加0.1万元，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（ⅰ）中\(EX\)估计值的大小。（结论不要求证明）18.已知椭圆\(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以椭圆\(E\)的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形。过点\((t,0)(t\neq0)\)且斜率存在的直线与椭圆\(E\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，过点\(A\)和\((0,1)\)的直线\(AC\)与椭圆\(E\)的另一个交点为\(D\)。（1）求椭圆\(E\)的方程及离心率；（2）若直线\(BD\)的斜率为0，求\(t\)的值。19.设函数\(f(x)=e^x-ax^2-bx\)，直线\(l\)是曲线\(y=f(x)\)在点\((0,f(0))\)处的切线。（1）当\(a=1\)时，求\(f(x)\)的单调区间；（2）求证：直线\(l\)不经过点\((1,1)\)；（3）当\(a\gt0\)时，设点\(A(x_1,f(x_1))\)，\(B(0,f(0))\)，\(C(x_2,f(x_2))\)，其中\(x_1\lt0\ltx_2\)，\(B\)为直线\(l\)与\(y\)轴的交点，\(S_1\)与\(S_2\)分别表示\(\triangleAOB\)与\(\triangleCOB\)的面积。是否存在点\(A\)使得\(S_1=S_2\)成立？若存在，这样的点\(A\)有几个？（参考数据：\(\ln2\approx0.693\)，\(\ln3\approx1.099\)，\(e^2\approx7.389\)）20.已知集合\(I=\{1,2,\dots,8\}\)，\(J=\{i_1,i_2,\dots,i_k\}\subseteqI\)，且\(k\)为偶数。给定数列\(A:a_1,a_2,\dots,a_8\)和序列\(T:t_1,t_2,\dots,t_m\)，其中\(t_j\in\{0,1\}\)，对数列\(A\)进行如下变换：将\(A\)的第\(i_1,i_2,\dots,i_k\)项均加1，其余项不变，得到的数列记作\(A_1\)；将\(A_1\)的第\(i_1,i_2,\dots,i_k\)项均加1，其余项不变，得到的数列记作\(A_2\)；……；以此类推，得到数列\(A_m\)，简记为\(A_m=T\cdotA\)。（1）给定数列\(A:1,3,2,4,6,3,1,9\)和序列\(T:1,0,1,0\)，写出\(A_4=T\cdotA\)；（2）是否存在序列\(T\)，使得\(T\cdotA=(2,4,3,5,7,4,2,10)\)？若存在，写出一个\(T\)；若不存在，说明理由；（3）若数列\(A\)的各项均为正整数，且\(\sum_{i=1}^8a_i\)为偶数，求证：“存在序列\(T\)，使得\(T\cdotA\)的各项都相等”的充要条件为“\(\sum_{i=1}^8a_i\)是8的倍数”。二、参考答案（一）选择题（每小题4分，共40分）1.C2.C3.D4.A5.B6.B7.D8.D9.A10.C（二）填空题（每小题5分，共25分）11.\((4,0)\)12.\(-\frac{1}{2}\)13.\(\pm\frac{1}{2}\)（答案不唯一）14.23；\(\frac{57.5}{2}\)15.①③④（三）解答题（共85分）16.（1）解：由正弦定理得\(2\sinB\cosB=\sinA\cosC+\sinC\cosA\)，又\(\sinA\cosC+\sinC\cosA=\sin(A+C)=\sinB\)，因为\(\sinB\neq0\)，所以\(2\cosB=1\)，即\(\cosB=\frac{1}{2}\)，又\(B\in(0,\pi)\)，故\(B=\frac{\pi}{3}\)。（6分）（2）选择①：由余弦定理\(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB=4+1-2\times2\times1\times\frac{1}{2}=3\)，则\(b=\sqrt{3}\)，满足三角形存在，面积\(S=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}\times2\times1\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)；（13分）选择②：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，得\(a=\frac{b\sinA}{\sinB}\)，又\(\sinA=\frac{\sqrt{21}}{14}\)，则\(\cosA=\frac{5\sqrt{7}}{14}\)，\(\sinC=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{3\sqrt{21}}{14}\)，面积\(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)；（13分）选择③：由余弦定理\(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\)，即\(7=a^2+c^2-ac\geq2ac-ac=ac\)，当且仅当\(a=c=\sqrt{7}\)时取等号，面积\(S=\frac{1}{2}ac\sinB\leq\frac{7\sqrt{3}}{4}\)，存在这样的三角形，面积最大值为\(\frac{7\sqrt{3}}{4}\)。（13分）17.（1）设索赔次数为\(X\)，则\(E(X)=0\times0.5+1\times0.3+2\times0.15+3\times0.04+4\times0.01=0.76\)；（5分）（2）（ⅰ）赔偿总金额的期望为\(0\times0.5+0.8\times0.3+1.6\times0.15+2.4\times0.04+2.8\times0.01=0.604\)，故\(EX=0.4-0.604=-0.204\)；（10分）（ⅱ）新的毛利润期望大于（ⅰ）中\(EX\)的估计值。（13分）18.（1）由题意得\(b=c=\sqrt{2}\)，\(a^2=b^2+c^2=4\)，故椭圆方程为\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)；（6分）（2）设直线\(AB\)的方程为\(y=k(x-t)\)，联立椭圆方程得\((1+2k^2)x^2-4tk^2x+2t^2k^2-4=0\)，设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=\frac{4tk^2}{1+2k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{2t^2k^2-4}{1+2k^2}\)，直线\(AC\)的方程为\(y=\frac{y_1-1}{x_1}x+1\)，联立椭圆方程求得\(D\)点坐标，由直线\(BD\)斜率为0得\(y_2=y_D\)，解得\(t=\pm2\)。（14分）19.（1）当\(a=1\)时，\(f(x)=e^x-x^2-bx\)，\(f'(x)=e^x-2x-b\)，\(f'(0)=1-b\)，切线方程为\(y=(1-b)x+1\)，由切线过原点得\(b=1\)，故\(f'(x)=e^x-2x-1\)，令\(g(x)=e^x-2x-1\)，\(g'(x)=e^x-2\)，当\(x\lt\ln2\)时，\(g'(x)\lt0\)，\(f'(x)\)递减；当\(x\gt\ln2\)时，\(g'(x)\gt0\)，\(f'(x)\)递增，\(f'(\ln2)=2-2\ln2-1=1-2\ln2\lt0\)，\(f'(0)=0\)，\(f'(2)=e^2-5\gt0\)，故\(f(x)\)的单调递减区间为\((-\infty,2)\)，单调递增区间为\((2,+\infty)\)；（6分）（2）证明：\(f(0)=1\)，\(f'(0)=1-b\)，切线方程为\(y=(1-b)x+1\)，假设切线过\((1,1)\)，则\(1=(1-b)\times1+1\)，解得\(b=1\)，此时切线方程为\(y=1\)，但\(f(x)=e^x-ax^2-x\)，当\(x=1\)时，\(f(1)=e-a-1\neq1\)（\(a\neq0\)），矛盾，故切线不经过\((1,1)\)；（10分）（3）存在，这样的点\(A\)有2个。（15分）20.（1）\(A_4=(3,5,4,6,8,5,3,11)\)；（5分）（2）存在，\(T:1,1\)（答案不唯一）；（10分）（3）证明：充分性：若\(\sum_{i=1}^8a_i\)是8的倍数，设\(\sum_{i=1}^8a_i=8k\)，构造序列\(T\)使得变换次数为\(k\)，可使各项相等；必要性：若存在序列\(T\)使得各项相等，设各项均为\(m\)，则\(8m=\sum_{i=1}^8a_i+\sum_{j=1}^mk_j\)（\(k_j\)为每次变换的项数，偶数），故\(\sum_{i=1}^8a_i=8m-\sum_{j=1}^mk_j\)，必为8的倍数。（15分）2023年北京市高考数学真题及参考答案一、真题（完整卷）本试卷满分150分。考试时间120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合\(A=\{x|-2\ltx\lt1\}\)，\(B=\{x|x^2-2x\leq0\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{x|0\leqx\lt1\}\)B.\(\{x|-2\ltx\leq0\}\)C.\(\{x|0\ltx\lt1\}\)D.\(\{x|-2\ltx\leq2\}\)2.在复平面内，复数\(z\)对应点的坐标是\((1,-2)\)，则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}=\)（）A.\(1+2i\)B.\(1-2i\)C.\(-1+2i\)D.\(-1-2i\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,-1)\)，则\(\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\)（）A.-1B.6C.0D.14.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^{-x}\)D.\(y=\sinx\)5.\((2x+\frac{1}{x})^5\)的展开式中\(x^3\)的系数为（）A.-80B.-40C.40D.806.已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，点\(P\)在抛物线上。若\(P\)到直线\(x=-1\)的距离为5，则\(|PF|=\)（）A.7B.6C.5D.47.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{4}\)，则\(\sinA=\)（）A.\(\frac{3\sqrt{15}}{16}\)B.\(\frac{3\sqrt{15}}{8}\)C.\(\frac{\sqrt{15}}{16}\)D.\(\frac{\sqrt{15}}{8}\)8.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，则“\(a+b\leq4\)”是“\(ab\leq4\)”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素。安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美。如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形。若\(AB=CD=2\)，\(EF=4\)，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与底面\(ABCD\)的夹角的正切值均为\(\sqrt{3}\)，则该五面体的所有棱长之和为（）A.12B.16C.20D.2410.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}\)，则（）A.当\(t=1\)时，\(\{a_n\}\)为递减数列，且存在常数\(M\)，使得\(a_n\geqM\)恒成立B.当\(t=1\)时，\(\{a_n\}\)为递增数列，且存在常数\(M\)，使得\(a_n\leqM\)恒成立C.当\(t=2\)时，\(\{a_n\}\)为递减数列，且存在常数\(M\)，使得\(a_n\geqM\)恒成立D.当\(t=2\)时，\(\{a_n\}\)为递增数列，且存在常数\(M\)，使得\(a_n\leqM\)恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，则\(f(f(\frac{1}{2}))=\)____________。12.已知双曲线\(C\)的焦点为\((-2,0)\)和\((2,0)\)，离心率为\(\sqrt{2}\)，则\(C\)的方程为____________。13.已知命题\(p\)：若\(\alpha\)，\(\beta\)为第一象限角，且\(\alpha\gt\beta\)，则\(\tan\alpha\gt\tan\beta\)。能说明\(p\)为假命题的一组\(\alpha\)，\(\beta\)的值为__________，_________。14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”。已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列\(\{a_n\}\)，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且\(a_1=1\)，\(a_5=16\)，则\(a_3=\)___________；数列\(\{a_n\}\)所有项的和为____________。15.设\(a\gt0\)，函数\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}-a,x\gt0\\x^2+ax,x\leq0\end{cases}\)，给出下列四个结论：①\(f(x)\)在区间\((0,+\infty)\)上单调递减；②当\(a=2\)时，存在最大值；③设\(g(x)=f(x)+a\)，则\(g(x)\)是奇函数；④设\(h(x)=f(x)-b\)，若存在最小值，则\(a\)的取值范围是\((0,1]\)。其中所有正确结论的序号是____________。三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\perpBC\)，\(PA=AB=BC=2\)。（1）求证：\(BC\perp\)平面\(PAB\)；（2）求二面角\(P-BC-A\)的大小。17.设函数\(f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax(\omega\gt0)\)。（1）若\(\omega=2\)，求\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值；（2）已知\(f(x)\)在区间\([0,\pi]\)上单调递增，\(\omega\leq2\)，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数\(f(x)\)存在，求\(\omega\)的值。条件①：\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)；条件②：\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{8}\)对称；条件③：\(f(x)\)在区间\([\pi,2\pi]\)上单调递减。注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示。在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同。时段：第1天到第20天、第21天到第40天价格变化：+、+、-、0、+、-、+、+、0、-、+、-、+、0、-、+、-、+、0、-；+、-、+、+、-、+、-、+、-、+、-、+、-、+、-、+、-、+、-、+用频率估计概率。（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的。在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大。（结论不要求证明）19.已知椭圆\(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(A\)、\(C\)分别是\(E\)的上、下顶点，\(B\)，\(D\)分别是\(E\)的左、右顶点，\(|BD|=4\)。（1）求\(E\)的方程；（2）设\(P\)为第一象限内\(E\)上的动点，直线\(PA\)与直线\(x=4\)交于点\(M\)，直线\(PC\)与直线\(x=4\)交于点\(N\)。求证：\(BM\perpDN\)。20.设函数\(f(x)=x\lnx-ax^2+x(a\inR)\)，曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程为\(y=2x+b\)。（1）求\(a\)，\(b\)的值；（2）设函数\(g(x)=f(x)-2x\)，求\(g(x)\)的单调区间；（3）求\(f(x)\)的极值点个数。21.已知数列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)的项数均为\(m\)，且\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和分别为\(S_n\)，\(T_n\)，并规定\(S_0=T