2026安师联盟名师名卷数学（四）（含答案）

2026安师联盟名师名卷数学（四）（含答案）考生须知1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置，并用2B铅笔填涂准考证号对应信息点。3.所有答案均需写在答题卡上，写在试题卷上无效；选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔书写，字迹清晰、工整。4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，B={x|log₂x>1}，则A∩(∁ᵣB)等于（）A.(1,2]B.[1,2]C.(0,2]D.[0,2]2.复数z满足z·(1+i)=2i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.1B.-1C.iD.-i3.已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，若a⊥b，则m的值为（）A.-4B.4C.9D.-94.下列函数中，既是奇函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（）A.f(x)=x³B.f(x)=2ˣC.f(x)=lnxD.f(x)=sinx5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.12πB.18πC.24πD.36π6.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁=2，S₃=12，则a₆=（）A.8B.10C.12D.147.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.10B.15C.20D.258.已知tanθ=2，则sin²θ+sinθcosθ的值为（）A.6/5B.4/5C.2/5D.1/59.若直线l：y=kx+1与圆C：x²+y²-2x-3=0相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则k的值为（）A.±√3B.±√2C.±1D.010.已知F₁、F₂是椭圆x²/16+y²/9=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积为（）A.3√3B.6√3C.9√3D.12√311.已知函数f(x)=eˣ-ax-1（a∈R），若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是（）A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,e]D.[e,+∞)12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)=x²-2x，则方程f(x)=1/2在[0,6]上的解的个数为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若x，y满足约束条件{x≥0,y≥0,x+y≤2}，则z=2x+y的最大值为______。14.已知函数f(x)=logₐ(x+1)（a>0且a≠1），若f(2)=1，则a=______。15.某群体中有100人，其中男性60人，女性40人，现从中随机抽取10人，抽到男性的人数X服从二项分布，则X的数学期望E(X)=______。16.已知正四面体ABCD的棱长为2，则其外接球的表面积为______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足bcosA=(2c-a)cosB。（1）求角B的大小；（2）若b=√3，求△ABC面积的最大值。18.（本小题满分12分）某学校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生，统计了他们每周的体育锻炼时间（单位：小时），并将数据整理成频率分布直方图（如图所示）。（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求这100名学生每周体育锻炼时间的平均数和中位数（结果保留一位小数）；（3）若从每周锻炼时间在[6,8)和[8,10]的学生中随机抽取2人，求这2人都来自[6,8)的概率。19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=AA₁=2，E、F分别是A₁B₁、BC的中点。（1）证明：EF∥平面A₁BC₁；（2）求平面EFC₁与平面A₁BC₁所成锐二面角的余弦值。20.（本小题满分12分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ（n∈N*）。（1）证明：数列{aₙ/2ⁿ}是等差数列；（2）求数列{aₙ}的前n项和Sₙ。21.（本小题满分12分）已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且直线l与圆x²+(y-2)²=1相切。（1）求直线l的方程；（2）求|AB|的长度。22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx-ax²+(2-a)x（a∈R）。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个极值点x₁、x₂（x₁<x₂），且f(x₁)+f(x₂)>3-2ln2，求a的取值范围。参考答案及解析一、选择题（每小题5分，共60分）1.B解析：A={x|1≤x≤2}，B={x|x>2}，∁ᵣB={x|x≤2}，故A∩(∁ᵣB)=[1,2]。2.A解析：z=2i/(1+i)=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=(2i-2i²)/2=1+i，虚部为1。3.C解析：a⊥b⇒a·b=0⇒2m+3×(-6)=0⇒m=9。4.A解析：f(x)=x³是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增；B非奇非偶，C非奇非偶，D在(0,+∞)上不单调。5.B解析：该几何体为圆柱与圆锥的组合体，体积V=π×2²×3+(1/3)π×2²×3=12π+6π=18π。6.D解析：S₃=3a₁+3d=6+3d=12⇒d=2，a₆=a₁+5d=2+10=12？修正：a₆=2+5×2=12？不对，a₁=2，d=2，a₆=2+5×2=12，对应选项C？修正解析：S₃=3a₂=12⇒a₂=4，d=a₂-a₁=2，a₆=a₁+5d=2+10=12，选C。（原答案笔误，修正为C）修正后6题答案：C解析：S₃=3a₁+3×2d/2=3×2+3d=12⇒d=2，a₆=a₁+5d=2+10=12。7.B解析：程序框图循环过程：i=1，S=1；i=2，S=1+2=3；i=3，S=3+3=6；i=4，S=6+4=10；i=5，S=10+5=15，退出循环，输出15。8.A解析：sin²θ+sinθcosθ=(sin²θ+sinθcosθ)/(sin²θ+cos²θ)=(tan²θ+tanθ)/(tan²θ+1)=(4+2)/(4+1)=6/5。9.C解析：圆C：(x-1)²+y²=4，圆心(1,0)，半径2，圆心到直线距离d=|k+1|/√(k²+1)，由|AB|=2√(r²-d²)=2√3⇒d=1，解得k=±1。10.A解析：椭圆a=4，b=3，c=√7，由椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=8，由余弦定理|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos60°，得28=64-3|PF₁||PF₂|⇒|PF₁||PF₂|=12，面积S=(1/2)|PF₁||PF₂|sin60°=3√3。11.A解析：f’(x)=eˣ-a，当a≤0时，f’(x)>0，f(x)单调递增，x→-∞时f(x)→-∞，不满足；当a>0时，f(x)在(-∞,lna)单调递减，(lna,+∞)单调递增，f(x)min=f(lna)=a-alna-1≥0，令g(a)=a-alna-1，g’(a)=-lna，g(a)在(0,1)递增，(1,+∞)递减，g(a)max=g(1)=0，故a≤1。12.B解析：f(x)周期为2，x∈[0,2)时，f(x)=x²-2x=(x-1)²-1，画出图像，方程f(x)=1/2在[0,2)有2个解，[2,4)、[4,6)各2个，共6个？修正：x∈[0,2)时，(x-1)²-1=1/2⇒(x-1)²=3/2⇒x=1±√6/2，其中1+√6/2≈2.22>2，故[0,2)有1个解；[2,4)即x-2∈[0,2)，f(x)=f(x-2)=(x-3)²-1=1/2⇒x=3±√6/2，均在[2,4)，2个解；[4,6)即x-4∈[0,2)，f(x)=f(x-4)=(x-5)²-1=1/2⇒x=5±√6/2，均在[4,6)，2个解；[0,2)1个，共5个？修正答案为C，解析调整：x∈[0,2)时，(x-1)²=3/2⇒x=1+√6/2（舍去），x=1-√6/2（舍去负根？不，1-√6/2≈1-1.22=-0.22<0，故[0,2)无解？重新计算：f(x)=x²-2x=1/2⇒2x²-4x-1=0，判别式16+8=24，根为[4±√24]/4=1±√6/2，1+√6/2≈2.22>2，1-√6/2≈-0.22<0，故[0,2)无解；[2,4)：f(x)=f(x-2)=(x-2)²-2(x-2)=x²-6x+8=1/2⇒2x²-12x+15=0，根为[12±√(144-120)]/4=[12±√24]/4=3±√6/2，均在[2,4)，2个；[4,6)：f(x)=f(x-4)=(x-4)²-2(x-4)=x²-10x+24=1/2⇒2x²-20x+47=0，根为[20±√(400-376)]/4=[20±√24]/4=5±√6/2，均在[4,6)，2个；[6,6]：f(6)=f(0)=0≠1/2，故共4个，答案B。修正后12题答案：B解析：f(x)周期为2，当x∈[0,2)时，f(x)=x²-2x，令f(x)=1/2，解得x=1±√6/2，均不在[0,2)内，故[0,2)无解；x∈[2,4)时，f(x)=f(x-2)=(x-2)²-2(x-2)，令f(x)=1/2，解得x=3±√6/2，均在[2,4)，2个解；x∈[4,6)时，f(x)=f(x-4)=(x-4)²-2(x-4)，令f(x)=1/2，解得x=5±√6/2，均在[4,6)，2个解；x=6时，f(6)=f(0)=0≠1/2，故共4个解。二、填空题（每小题5分，共20分）13.4解析：约束条件对应的可行域为三角形，当x=2，y=0时，z=2×2+0=4，为最大值。14.3解析：f(2)=logₐ3=1⇒a=3。15.6解析：X~B(10,60/100)=B(10,0.6)，E(X)=10×0.6=6。16.3π解析：正四面体外接球半径R=√6/4×棱长=√6/4×2=√6/2，表面积S=4πR²=4π×(6/4)=3π。三、解答题（共70分）17.（10分）（1）由正弦定理得sinBcosA=(2sinC-sinA)cosB，整理得sin(A+B)=2sinCcosB，因为sin(A+B)=sinC≠0，所以cosB=1/2，又B∈(0,π)，故B=π/3。（5分）（2）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB⇒3=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c=√3时取等号，故ac≤3，面积S=(1/2)acsinB=(1/2)×3×(√3/2)=3√3/4，即面积最大值为3√3/4。（5分）18.（12分）（1）由频率分布直方图性质得(0.02+0.08+0.15+0.20+a+0.05)×2=1⇒(0.5+a)×2=1⇒a=0.00？修正：组距为2，故(0.02+0.08+0.15+0.20+a+0.05)×2=1⇒0.5+2a=1⇒a=0.25？不对，组距为2，频率和为1，(0.02+0.08+0.15+0.20+a+0.05)×2=1⇒(0.5+a)×2=1⇒a=0，显然错误，修正组距为1，重新计算：(0.02+0.08+0.15+0.20+a+0.05)×1=1⇒a=0.40。（4分）修正（1）：组距为1，频率和为1，故0.02+0.08+0.15+0.20+a+0.05=1⇒a=0.40。（4分）（2）平均数=1.5×0.02+2.5×0.08+3.5×0.15+4.5×0.20+5.5×0.40+6.5×0.05=4.7（保留一位小数）；中位数：前3组频率和为0.02+0.08+0.15=0.25，前4组和为0.45，故中位数在第5组（4.5~5.5），设中位数为x，0.45+(x-4.5)×0.40=0.5⇒x=4.6（保留一位小数）。（4分）（3）[6,8)人数：100×0.05×2=10人（修正：组距1，[6,8)为两组，人数100×(0.05×2)=10），[8,10]人数：100×0.05=5人，总人数15人，抽取2人，都来自[6,8)的概率P=C(10,2)/C(15,2)=45/105=3/7。（4分）19.（12分）（1）取A₁C₁中点G，连接EG、BG，E为A₁B₁中点，故EG∥B₁C₁且EG=1/2B₁C₁，F为BC中点，BC∥B₁C₁且BC=B₁C₁，故BF∥B₁C₁且BF=1/2B₁C₁，所以EG∥BF且EG=BF，四边形EGBF为平行四边形，故EF∥BG，又BG⊂平面A₁BC₁，EF⊄平面A₁BC₁，故EF∥平面A₁BC₁。（6分）（2）以B为原点，BA、BC、BB₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，坐标：B(0,0,0)，A₁(2,0,2)，C₁(0,2,2)，E(1,0,2)，F(0,1,0)，平面A₁BC₁的法向量n₁=(1,1,0)，平面EFC₁的法向量n₂=(2,4,1)，cosθ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)=6/(√2×√21)=√42/7，故锐二面角的余弦值为√42/7。（6分）20.（12分）（1）由aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ，两边同除以2ⁿ⁺¹得aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹=aₙ/2ⁿ+1/2，又a₁/2¹=1/2，故数列{aₙ/2ⁿ}是以1/2为首项，1/2为公差的等差数列。（6分）（2）由（1）得aₙ/2ⁿ=1/2+(n-1)×1/2=n/2，故aₙ=n×2ⁿ⁻¹，Sₙ=1×2⁰+2×2¹+3×2²+...+n×2ⁿ⁻¹，2Sₙ=1×2¹+2×2²+...+(n-1)×2ⁿ⁻¹+n×2ⁿ，两式相减得-Sₙ=1+2+2²+...+2ⁿ⁻¹-n×2ⁿ=2ⁿ-1-n×2ⁿ，故Sₙ=(n-1)×2ⁿ+1。（6分）21.（12分）（1）抛物线C焦点F(1,0)，设直线l：x=my+1（斜率不存在时不与圆相切），圆心(0,2)，半径1，圆心到直线距离d=|0-2m-1|/√(m²+1)=1，解得(2m+1)²=m²+1⇒3m²+4m=0⇒m=0或m=-4/3，故直线l的方程为x=1或4x+3y-4=0。（6分）（2）当l：x=1时，代入抛物线得y²=4，|AB|=4；当l：4x+3y-