【高考押题】2025届高考数学模拟预测卷四全国甲卷 含答案

/2025届高考数学模拟预测卷（全国甲卷）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春•虎丘区校级期末）设集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则（）A．N⫋M B．M⫋N C．M∩N＝M D．M∪N＝N2．（5分）（2025春•榆林期中）一物体在力F的作用下，由点A（1，4）移动到点B（6，2），若F→=（﹣1，3），则A．﹣11 B．11 C．﹣1 D．13．（5分）（2023秋•江油市校级月考）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数x为2，则i=1A．0 B．2 C．2.5 D．14．（5分）（2023春•成都期末）若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，实轴长为2，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）A．x2−yB．y2C．x2D．x5．（5分）（2024春•尤溪县校级期中）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α6．（5分）（2023•丰台区校级三模）已知点A的坐标为(1，3)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π2至OBA．−3 B．﹣1 C．3 7．（5分）（2023秋•内江期中）若定义在R上的函数f（x）满足：对∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1成立，则下列描述一定成立的是（）A．f（x）的图象关于原点对称 B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）的图象关于点（0，1）对称 D．f（x）的图象关于直线x＝1对称8．（5分）（2023秋•荔城区校级月考）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于2，则p的取值范围是（）A．p＜2 B．p＞2 C．p＜4 D．p＞4二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）（多选）9．（6分）（2024秋•浏阳市期末）把函数f(x)=3sinωxA．f（x）的最小正周期为π B．f（x）关于点(5πC．f（x）在(−π12D．若f（x）在区间[−π12，a（多选）10．（6分）（2024春•宜宾期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为CC1，BC的中点，则（）A．BP⊥AQ B．平面ABP⊥平面A1B1Q C．点A1到平面ABP的距离为45D．该正方体的外接球被平面ABP截得的截面圆的面积为14（多选）11．（6分）（2024春•启东市期中）已知数列{an}满足a4＝4，anan+1＝2n（n∈N*），则（）A．a1＝1 B．数列{an}为递增数列 C．a1+a2+…+a2023＝21013﹣3 D．1三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2024春•兴庆区校级月考）已知cos(π4−α13．（5分）（2022•南京模拟）二项式(2x+x)6展开式中14．（5分）（2021春•海原县校级期中）若函数f（x）＝2x3﹣3x2+c的极小值为5，那么c的值为．四．解答题（共5小题）15．（2023春•眉山月考）在平行四边形ABCD中，DE→=7EC（1）试用AB→，AD（2）若四边形ABCD的面积为215，cos∠BAD16．（2023秋•重庆月考）如图甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=22，E为线段DC的中点，△ADE沿直线AE折起，使得DC=（1）求证：DO⊥OC；（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成角的余弦值为357？若不存在，说明理由；若存在，求出AH17．（2023秋•德州期末）为落实“双减”政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该小学三年级的8个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下：班级代号12345678需看护学生人数2022273025233221（1）若将上述表格中人数低于25人的班级两两组合进行看护，求班级代号为1，2的两个班合班看护的概率；（2）从已抽取的8个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数低于25人的班级数为X，求X的分布列及数学期望．18．（2024春•浦东新区期中）已知点B（2，0）是椭圆Γ：x2（1）若椭圆Γ的焦点分别为F1、F2，求△BF1F2的面积；（2）设P、Q是椭圆D上相异的两点，有如下命题：“若|BP|＝|BQ|，则P与Q关于x轴对称．”；请判断该命题的真假，并说明理由．19．（2024秋•天津校级月考）设q、d为常数，若存在大于1的整数k，使得无穷数列{an}满足an+1=an+d（1）设d＝3，q＝0，若首项为1的数列{an}为“M（3）数列”，求a2024；（2）若数列{bn}为“M（2）数列”，且bn=(−1)n−1，求出相应的d（3）设d＝1，q＝2，若首项为1的数列{cn}为“M（10）数列”，求数列{cn}的前10n项和S10n．

2025届高考数学模拟预测卷（全国甲卷）答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春•虎丘区校级期末）设集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则（）A．N⫋M B．M⫋N C．M∩N＝M D．M∪N＝N【考点】交集及其运算；指、对数不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【正确答案】A【分析】先求出集合N，再由真子集的定义即可求出答案．解：log2（x﹣1）＜1＝log22，所以0＜x﹣1＜2，所以1＜x＜3，所以N＝{x|log2（x﹣1）＜1}＝{x|1＜x＜3}，所以N⫋M．故选：A．【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集、子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）（2025春•榆林期中）一物体在力F的作用下，由点A（1，4）移动到点B（6，2），若F→=（﹣1，3），则A．﹣11 B．11 C．﹣1 D．1【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】根据题意，求出AB→解：根据题意，点A（1，4），B（6，2），则AB→若F→=（﹣1，3），则F对物体所做的功为F→故选：A．【点评】本题考查向量数量积的运算，注意向量数量积的物理意义，属于基础题．3．（5分）（2023秋•江油市校级月考）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数x为2，则i=1A．0 B．2 C．2.5 D．1【考点】用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【正确答案】A【分析】能够识别求和符号，利用平均数的知识即可求解．解：i=1故选：A．【点评】本题主要考查平均数公式，属于基础题．4．（5分）（2023春•成都期末）若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，实轴长为2，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）A．x2−yB．y2C．x2D．x【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】C【分析】已知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为x2a2解：已知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为x2由题可得ba=32则双曲线的标准方程为x2故选：C．【点评】本题考查了双曲线的直线，重点考查了双曲线的方程的求法，属基础题．5．（5分）（2024春•尤溪县校级期中）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间想象．【正确答案】D【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．解：若a∥α，b⊂α，则a与b可以成任意角，所以A选项错误；若a∥α，b∥β，α∥β，则a与b可以成任意角，所以B选项错误；若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α与β可以成任意角，所以C选项错误；若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．6．（5分）（2023•丰台区校级三模）已知点A的坐标为(1，3)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π2至OBA．−3 B．﹣1 C．3 【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【正确答案】D【分析】设射线OA与x轴非负半轴所成夹角为θ，射线OB与x轴非负半轴所成夹角为α，则α=解：设射线OA与x轴非负半轴所成夹角为θ，则sinθ=32射线OB与x轴非负半轴所成夹角为α，则α=所以sinα=又|OB|＝2，sinα=所以yB故选：D．【点评】本题主要考查了任意角三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，属于基础题．7．（5分）（2023秋•内江期中）若定义在R上的函数f（x）满足：对∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1成立，则下列描述一定成立的是（）A．f（x）的图象关于原点对称 B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）的图象关于点（0，1）对称 D．f（x）的图象关于直线x＝1对称【考点】抽象函数的奇偶性．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】C【分析】先赋值令x＝y＝0，代入可得f（0）＝1，可以判断A；再令y＝﹣x，整理得f（x）+f（﹣x）＝2，可以判断C；再令f（x）＝x+1，检验判断B、D的正误．解：因为f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）﹣1，可得f（0）＝1，所以f（x）的图象不可能关于原点对称，A错误；令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣1，可得f（x）+f（﹣x）＝2，所以f（x）的图象关于点（0，1）对称，C正确；令f（x）＝x+1，则f（x+y）＝（x+y）+1＝（x+1）+（y+1）﹣1＝f（x）+f（y）﹣1，即f（x）＝x+1满足题意，但f（x）的图象不关于y轴对称，且不关于直线x＝1对称，B、D错误．故选：C．【点评】本题考查了判断抽象函数的对称性及利用赋值法求抽象函数的值，属于中档题．8．（5分）（2023秋•荔城区校级月考）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于2，则p的取值范围是（）A．p＜2 B．p＞2 C．p＜4 D．p＞4【考点】由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】D【分析】设P（x，y），（x≥0）为抛物线上的任意一点，结合题设条件利用抛物线的定义和性质可得出(x解：设点P（x，y），（x≥0）为抛物线上的任意一点，由题意可得：x+所以(x所以p＞4，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的定义及性质，属基础题．二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）（多选）9．（6分）（2024秋•浏阳市期末）把函数f(x)=3sinωxA．f（x）的最小正周期为π B．f（x）关于点(5πC．f（x）在(−π12D．若f（x）在区间[−π12，a【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【正确答案】ACD【分析】先利用辅助角公式化简f（x），再通过图像平移求得新的函数g（x），从而利用g（x）关于y轴对称求得ω＝2，由此得到f（x）的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断．解：因为f(所以把f（x）的图像向左平移π6个单位长度得到函数g因为g（x）关于y轴对称，所以π6ω+π6=kπ+π2，k∈又因为0＜ω＜π，所以ω＝2，f(对于A，T=2π对于B，f(5π对于C，由2kπ−π所以当k＝0时，f（x）的单调递增区间为[−π又因为(−π12，π6)⊆[−π3，对于D，若函数f（x）在[−π由选项C可知，f（x）在(−π12，π6)上单调递增，且f(所以a＞π6，即实数a的取值范围为(故选：ACD．【点评】本题综合考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．（多选）10．（6分）（2024春•宜宾期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为CC1，BC的中点，则（）A．BP⊥AQ B．平面ABP⊥平面A1B1Q C．点A1到平面ABP的距离为45D．该正方体的外接球被平面ABP截得的截面圆的面积为14【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面垂直；平面与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑思维；运算求解．【正确答案】BCD【分析】作出图形，根据三垂线定理，线面垂直与面面垂直的判定定理，点面距的求法，球的几何性质，针对各个选项分别求解即可．解：如图所示：对A选项，∵BP在底面ABCD内的射影为BC，而AQ与BC不垂直，∴根据三垂线定理可得BP与AQ不垂直，∴A选项错误；对B选项，∵P、Q分别为CC1，BC的中点，∴易得BP⊥B1Q，又A1B1⊥平面BCC1C1，BP⊂平面BCC1C1，∴BP⊥A1B1，又B1Q∩A1B1＝B1，∴BP⊥平面A1B1Q，又BP⊂平面ABP，∴平面ABP⊥平面A1B1Q，∴B选项正确；对C选项，取D1D的中点E，则易知AB∥EP，∴平面ABP即为平面ABPE，∵AB⊥平面AA1D1D，又AB⊂平面ABPE，∴平面AA1D1D⊥平面ABPE，过A1作A1H⊥AE于点H，则A1H⊥平面ABPE，又cos∠AA1H＝cos∠EAD=2∴A1H＝A1A×cos∠AA1H=2×25=连接A1C∩AP＝F，则由A1A∥PC，可得F为A1C的靠近C的三等分点，易知正方体的外接球球心O为A1C的中点，∴A1C的中点O到平面ABPE距离等于A1到平面ABPE的距离的14∴球心O到平面ABPE的距离为14又球O的半径为12A1C=∴该正方体的外接球被平面ABP截得的截面圆的半径为(3∴该正方体的外接球被平面ABP截得的截面圆的面积为145π，∴故选：BCD．【点评】本题考查立体几何的综合应用，三垂线定理的应用，线面垂直与面面垂直的判定定理的应用，点面距的求法，球的几何性质，属中档题．（多选）11．（6分）（2024春•启东市期中）已知数列{an}满足a4＝4，anan+1＝2n（n∈N*），则（）A．a1＝1 B．数列{an}为递增数列 C．a1+a2+…+a2023＝21013﹣3 D．1【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【正确答案】ACD【分析】通过求a3，a2，a1来判断AB选项的正确性，分析数列{an}的规律，利用分组求和法判断CD选项的正确性．解：依题意，a4＝4，anan+1所以a3=23aA选现正确．所以a3＝a2，所以B选项错误．由anan+1=所以数列{an}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a1+a2+⋯+a2023＝（a1+a3+⋯+a2023）+（a2+a4+⋯+a2022）=1(1−21012由上述分析可知，数列{1an偶数项是首项为12，公比为1当n为偶数时，1a=1(1−当n为奇数时，1a=1(1−综上所述，1a1+故选：ACD．【点评】本题考查了等比数列的定义和通项公式及求和公式，分组求和，属于中档题．三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2024春•兴庆区校级月考）已知cos(π4−α)=cos【考点】求二倍角的三角函数值；两角和与差的三角函数的逆用．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【正确答案】79【分析】根据两角和与差的余弦公式以及二倍角公式即可求解．解：由cos(得22则2sinα=2故79【点评】本题主要考查了和差角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．13．（5分）（2022•南京模拟）二项式(2x+x)6展开式中【考点】二项式定理．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；二项式定理；运算求解．【正确答案】60．【分析】先求出二项展开式的通项公式，再令6−k2=解：二项式(2xTk+1=C6k（2x）6﹣k(x)令6−k2=∴展开式中x4的系数为C642故60．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．（5分）（2021春•海原县校级期中）若函数f（x）＝2x3﹣3x2+c的极小值为5，那么c的值为8．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；函数思想；分析法；导数的概念及应用；运算求解．【正确答案】8【分析】对函数求导，再求函数的单调区间与极小值即可．解：∵f（x）＝x3﹣3x2+c，∴f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝2，当x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减，∴当x＝2时，f（x）取得极小值，极小值为f（2）＝23﹣3×22+c＝5，解得c＝8．故8．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．四．解答题（共5小题）15．（2023春•眉山月考）在平行四边形ABCD中，DE→=7EC（1）试用AB→，AD（2）若四边形ABCD的面积为215，cos∠BAD【考点】解三角形．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】（1）AE→（2）−17+8【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则计算即可；（2）首先利用平行四边形的面积公式和数量积的定义可得AB→⋅AD解：（1）因为四边形ABCD为平行四边形，且DE→所以AE→因为四边形ABCD为平行四边形，且BF→所以AF→（2）设|AB→|=a，|AD→|=b所以sin∠BAD=1−则四边形ABCD的面积S=解得ab＝8，所以AB→由（1）知，AE→所以AE=7当且仅当78a2所以CA→所以CA→⋅AE【点评】本题主要考查平面向量的基本定理和平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于中档题．16．（2023秋•重庆月考）如图甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=22，E为线段DC的中点，△ADE沿直线AE折起，使得DC=（1）求证：DO⊥OC；（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成角的余弦值为357？若不存在，说明理由；若存在，求出AH【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【正确答案】（1）证明见解答；（2）22【分析】（1）利用余弦定理得出OC的长度，利用勾股定理得出DC2＝DO2+OC2，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面DHC和平面ADE的法向量，利用向量法求解即可．解：（1）证明：取线段AE的中点O，连接DO，OC，在Rt△ADE中，DA=所以DO⊥AE，DO＝1，在△OEC中，OE=由余弦定理可得OCOC=在△DOC中，DC2＝6＝DO2+OC2，所以DO⊥OC；（2）因为DO⊥AE，DO⊥OC，AE∩OC＝O，DO、AEC⊂平面ABCE，∠AEB＝90°，所以DO⊥平面ABCE，过E作DO的平行线l，以E为原点，EA，EB，l所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（1，0，1），C（﹣1，1，0），A（2，0，0），B（0，2，0），平面ADE的法向量n1在平面直角坐标系xOy中，直线AB的方程为x+y＝2，设H的坐标为（t，2﹣t，0），t∈[0，2]，则HC→=(−t设平面DHC的法向量为n2n2⋅HC所以（﹣t﹣1）x+（t﹣1）y＝0，﹣2x+y﹣z＝0，令y＝1+t，则x＝t﹣1，z＝3﹣t，n2由已知cos＜解得t=所以H(32所以|AH【点评】本题考查线线垂直的判定以及向量法求二面角的应用，属于中档题．17．（2023秋•德州期末）为落实“双减”政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该小学三年级的8个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下：班级代号12345678需看护学生人数2022273025233221（1）若将上述表格中人数低于25人的班级两两组合进行看护，求班级代号为1，2的两个班合班看护的概率；（2）从已抽取的8个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数低于25人的班级数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】（1）13（2）X的分布列为：X0123P1143737114E（X）=3【分析】（1）根据上表的数据，得到4个班两两组合进行课后看护共有3种不同的方法，其中代号为1，2的两个班合班看护共1种不同的方法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）根据题意得到随机变量X的可能取值，结合超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用公式求得期望．解：（1）若将表中人数少于25人的4个班两两组合进行课后看护，共C4记A表示事件“班级代号为1，2的两个班合班看护”，则其概率P(所以班级代号为1，2的两个班合班看护的概率为13（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，可得P(P(P(P(则X的分布列为：X0123P1143737114所以数学期望E(【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望计算，属于中档题．18．（2024春•浦东新区期中）已知点B（2，0）是椭圆Γ：x2（1）若椭圆Γ的焦点分别为F1、F2，求△BF1F2的面积；（2）设P、Q是椭圆D上相异的两点，有如下命题：“若|BP|＝|BQ|，则P与Q关于x轴对称．”；请判断该命题的真假，并说明理由．【考点】直线与椭圆的综合．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）25；（2）答案见解析．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息以及三角形面积公式进行求解即可；（2）设出P，Q两点的坐标，将|BP|＝|BQ|转化成(x1−2)2+y12=(x2−2)2+y22解：（1）因为点B（2，0）是椭圆Γ：x2所以S△BF1F（2）不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），若|BP|＝|BQ|，即|BP|2＝|BQ|2，即(x因为P，Q两点均在椭圆Γ上，所以y1即−5整理得(x当x1＝x2时，P，Q对称；当x1≠x2时，x1+x2=−16因为x1，x2∈[﹣2，2]，所以x1+x2∈[﹣4，4]，则存在x1此时P，Q不关于x轴对称．综上，命题：“若|BP|＝|BQ|，则P与Q关于x轴对称．”为假命题．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．19．（2024秋•天津校级月考）设q、d为常数，若存在大于1的整数k，使得无穷数列{an}满足an+1=an+d（1）设d＝3，q＝0，若首项为1的数列{an}为“M（3）数列”，求a2024；（2）若数列{bn}为“M（2）数列”，且bn=(−1)n−1，求出相应的d（3）设d＝