【江苏专用 真题汇编】指对幂函数考前专题特训2025年高考数学 含答案

/【江苏省各地区真题试卷汇编】指对幂函数考前专题特训-2025年高考数学一．选择题（共8小题）1．（2025•南通校级模拟）已知函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2），则“a≥2”是“函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025•武进区校级一模）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩∁RB＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}3．（2025•江苏三模）已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．（2025春•建邺区校级期中）若函数f（x）＝logax+loga+1x是减函数，则实数a的取值范围是（）A．(0，5−12) B．(5−15．（2025春•鼓楼区校级月考）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有1.2×1023颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为1035克，这意味着宇宙的总质量约为1.2×1058克，每克物质含有大约1024个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数M将达到1082．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限N约为3361，则下列数据中与MN最接近的是（参考数据：lgA．10﹣71 B．10﹣81 C．10﹣91 D．10916．（2024秋•盐城期末）函数f(A． B． C． D．7．（2024秋•如皋市期末）已知幂函数f(x)=xm2−2m（m∈Z），在区间（0，+∞）上是单调减函数．若f（sinα+cosα）＝5，α∈（0，A．57 B．−57 C．−8．（2023秋•张家港市校级期末）已知幂函数f（x）＝xm﹣2（m∈N）的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上是减函数，若(a+1)−A．（﹣1，3） B．（23，C．（﹣1，32） D．（﹣∞，﹣1）∪（2二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025•南京模拟）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y＝﹣2x B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x﹣2﹣x（多选）10．（2025春•镇江校级月考）下列计算正确的有（）A．log2（log0.50.5）＝1 B．82C．若lg3＝m，lg2＝n，则logD．若a12+a−1（多选）11．（2024秋•张家港市校级期末）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则（）A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1 C．x1ex三．填空题（共3小题）12．（2024秋•苏州期末）计算(278)13．（2025•姜堰区模拟）已知函数f(x)=log2(x14．（2025春•海陵区校级期中）幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即xn，函数f（x）＝（2a2﹣a）xa+a2﹣1为幂函数，则a＝．四．解答题（共5小题）15．（2024秋•泗阳县期末）化简与求值：（1）(8（2）已知a12−16．（灌南县校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19（1）求a的值；（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．17．（2024秋•泰州期末）已知函数f（x）＝log2（4x+a•2x+4），其中a∈R．（1）当a＝﹣5时，求f（x）的定义域；（2）若对任意实数x，f（2x）≥f（x），求a的值；（3）证明：函数y＝f（x）﹣x的图象是轴对称图形．18．（睢宁县校级月考）已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；（2）记函数g（x）＝10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．19．（2024秋•鼓楼区校级期中）我们知道，任何一个正实数x都可以表示成x＝a×10n（1⩽a＜10，n∈Z）．当n⩾0时，记x的整数部分的位数为f（a×10n），例如f（1.02×10）＝2；当n＜0时，记x的非有效数字的个数为f（a×10n），例如f（1.02×10﹣2）＝2．（1）求f（1.02×102），f（1.02×10﹣1），并写出f（a×10n）的表达式（不必写出过程）；（2）若x＝2100，且取lg2＝0.301，求n，a以及f（a×10n）；（3）已知k∈N*，猜想：f（2k）与f（2﹣k）的大小关系，并证明你的结论．

【江苏省各地区真题试卷汇编】指对幂函数考前专题特训-2025年高考数学答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCDBCCAB二．多选题（共3小题）题号91011答案BDBCDABC一．选择题（共8小题）1．（2025•南通校级模拟）已知函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2），则“a≥2”是“函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解：令u＝x2﹣ax+2，函数y＝lgu在（0，+∞）上单调递增，由函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，得函数u＝x2﹣ax+2在（﹣∞，1]上单调递减，且当x＝1时，u＞0，因此a2≥11−则{a|2≤a＜3}⫋{a|a≥2}．故选：C．2．（2025•武进区校级一模）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩∁RB＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}解：由题意，得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＞1}，所以∁RB＝{x|x≤1}，所以A∩（∁RB）＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：C．3．（2025•江苏三模）已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a解：函数f（x）＝ex+e﹣x，为偶函数，在（0，+∞）上单调递增．∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（log23），1＜log23＜2＜21.1．则实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．故选：D．4．（2025春•建邺区校级期中）若函数f（x）＝logax+loga+1x是减函数，则实数a的取值范围是（）A．(0，5−12) B．(5−1解：由题意得，函数f（x）定义域为（0，+∞），因为f（x）＝logax+loga+1x，所以f′（x）=1又因为a＞0且a≠1，所以ln（a+1）＞0，所以ln(又因为a2+a＞a，所以ln(a2+当a=−1+52时，a2+a＝1，f′（x所以a的取值范围是（5−1故选：B．5．（2025春•鼓楼区校级月考）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有1.2×1023颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为1035克，这意味着宇宙的总质量约为1.2×1058克，每克物质含有大约1024个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数M将达到1082．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限N约为3361，则下列数据中与MN最接近的是（参考数据：lgA．10﹣71 B．10﹣81 C．10﹣91 D．1091解：由题意可知M≈1082，N≈3361，则lgN＝lg3361＝361lg3≈361×0.48＝173.28，lgM＝lg1082＝82，所以lg(则MN故选：C．6．（2024秋•盐城期末）函数f(A． B． C． D．解：由函数f(因为f(−所以函数f(x)=因为f(1)=1−41+4因为f(12故选：C．7．（2024秋•如皋市期末）已知幂函数f(x)=xm2−2m（m∈Z），在区间（0，+∞）上是单调减函数．若f（sinα+cosα）＝5，α∈（0，A．57 B．−57 C．−解：由幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，得m2﹣2m＜0，解得0＜m＜2，又m∈Z，所以m＝1，f（x）=1所以f（sinα+cosα）=1sinα+cosα=5，所以sin所以（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα=125，解得2sinαcosα所以1﹣2sinαcosα=4925，即（sinα﹣cosα）2因为α∈（0，π），2sinαcosα=−2425＜0，所以α∈（π所以sinα﹣cosα=75，所以f（sinα﹣cosα）故选：A．8．（2023秋•张家港市校级期末）已知幂函数f（x）＝xm﹣2（m∈N）的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上是减函数，若(a+1)−A．（﹣1，3） B．（23，C．（﹣1，32） D．（﹣∞，﹣1）∪（2解：∵幂函数f（x）＝xm﹣2（m∈N）的图象关于原点对称，且（0，+∞）上是减函数，所以m﹣2＜0，因为m∈N，所以m＝0或m＝1，∴当m＝0时，0﹣2＝﹣2，图象关y轴对称，不满足题意；当m＝1时，1﹣2＝﹣1，图象关于原点对称，满足题意，∴不等式(a+1)−因为函数y=x−12在（0，+∞）上递减，所以a+1＞0，3﹣2a解得23＜a＜3故选：B．二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025•南京模拟）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y＝﹣2x B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x﹣2﹣x解：选项四个函数定义域都是R，函数y＝﹣2x的斜率为﹣2，在R上单调递减，故A错误；函数f（x）＝x3，f（x）+f（﹣x）＝x3+（﹣x）3＝0，则f（x）＝x3是奇函数，任取x1＜x2，则f(x2)−f(x1)=x23y=|x|=−x，xg（x）＝2x﹣2﹣x，则g（x）+g（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）+（2﹣x﹣2x）＝0，所以g（x）是奇函数，因为y＝2x单调递增，y＝2﹣x单调递减，所以g（x）在R上单调递增，故D正确．故选：BD．（多选）10．（2025春•镇江校级月考）下列计算正确的有（）A．log2（log0.50.5）＝1 B．82C．若lg3＝m，lg2＝n，则logD．若a12+a−1解：由对数性质、运算法则得log2（log0.50.5）＝log2（log0.50.5）＝log21＝0，故A错误；由指数运算法则得823×∵lg3＝m，lg2＝n，∴由对数运算法则得log518=∵a1∴(a∴a+a﹣1＝4﹣2＝2，故D正确．故选：BCD．（多选）11．（2024秋•张家港市校级期末）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则（）A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1 C．x1ex解：指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．由方程ex+x＝2和lnx+x＝2可化为ex＝﹣x+2和lnx＝﹣x+2，即直线y＝﹣x+2与两函数y＝ex和y＝lnx的交点横坐标分别为x1、x2，由于y＝ex和y＝lnx互为反函数，则它们的图像关于直线y＝x对称，如图所示，点A、B关于点C对称，0＜x1＜1＜x2＜2，且C（1，1），所以x1+x2＝2，故A正确；因为e12＞−又x2＝2﹣x1，所以x2﹣x1＝2﹣x1﹣x1＝2﹣2x1＞1，故B正确；由y＝ex和y＝lnx它们的图像关于直线y＝x对称，所以ex1=x2，lnx所以x1ex对于D，由ex1x1=lnx2x2，则x2x1=x故选：ABC．三．填空题（共3小题）12．（2024秋•苏州期末）计算(278)13解：(=(故11213．（2025•姜堰区模拟）已知函数f(x)=log2(x2−2ax+3)解：∵函数f(x)=∴x2﹣2ax+3能够取到大于0的所有实数，则Δ＝4a2﹣12≥0，解得a≤−3或a≥∴实数a的取值范围为（﹣∞，−3]∪[3故（﹣∞，−3]∪[314．（2025春•海陵区校级期中）幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即xn，函数f（x）＝（2a2﹣a）xa+a2﹣1为幂函数，则a＝1．解：因为函数f（x）＝（2a2﹣a）xa+a2﹣1为幂函数，所以可得2a2−故1．四．解答题（共5小题）15．（2024秋•泗阳县期末）化简与求值：（1）(8（2）已知a12−解：（1）(=3=3=5（2）∵a12−a−12=1，∴（a∴a+a﹣1＝3，∴（a+a﹣1）2＝a2+2+a﹣2＝9，∴a2+a﹣2＝7，∴a−116．（灌南县校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19（1）求a的值；（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．解：（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19则有：1解得：a=（2）由（1）可知a=那么：函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8=[(13)∵x∈[﹣2，1]∴(则f（x）=[(13)x当(13)x=9，即x＝﹣2时，f当(13)x=92，即x=所以函数的值域为[−4917．（2024秋•泰州期末）已知函数f（x）＝log2（4x+a•2x+4），其中a∈R．（1）当a＝﹣5时，求f（x）的定义域；（2）若对任意实数x，f（2x）≥f（x），求a的值；（3）证明：函数y＝f（x）﹣x的图象是轴对称图形．解：（1）当a＝﹣5时，f(只需满足4x﹣5•2x+4＞0．令2x＝t（t＞0）则不等式变为t2﹣5t+4＞0，解得t＜1或t＞4．即2x＜1或2x＞4，解得：x＜0或x＞2，因此，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．（2）要使对任意实数x，f（2x）≥f（x）成立，需满足log2即：42x+a•22x+4≥4x+a•2x+4，令2x＝m（m＞0），则不等式变为m4+a•m2﹣m2﹣a•m≥0．化简得m（m3+am﹣a﹣m）≥0，由于m＞0，要使不等式恒成立，需m3+am﹣a﹣m≥0．（m3﹣m）+a（m﹣1）＝（m﹣1）（m2+m+a）≥0恒成立．只需m2+m+a分解出（m﹣1）因式，m2+m+a＝（m2﹣m）+2（m﹣1）＝（m﹣1）（m+2），（此时a＝﹣2），且不等式转化为：（m﹣1）2（m+2）≥0，∵（m﹣1）2≥0，m+2＞0，∴不等式恒成立．即a＝﹣2，不等式恒成立．（3）证明：函数y＝f（x）﹣x的图象是轴对称图形．设g（x）＝f（x）﹣x==log2(2令m＝2x（m＞0），则y=根据对勾函数性质，y=m+即2x＝2时，x＝1．对于g(∵g（x）=logg(1+g(1−g（1﹣x）﹣g（1+x）=log故函数g（x）图像关于直线x＝1对称，即函数f（x）﹣x图象是轴对称图形．18．（睢宁县校级月考）已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；（2）记函数g（x）＝10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．解：（1）∵函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x），∴2+x＞02−∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）∵﹣2＜x＜2，∴f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝lg（4﹣x2）．∵g（x）＝10f（x）+3x，∴函数g（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣（x−32