2026年高考数学一轮专题训练：函数概念与性质 含答案

/函数概念与性质一．选择题（共8小题）1．（2025春•青羊区校级期中）已知函数f（x）的定义域是R，满足f（x）＝f（2﹣x），f（﹣x）+f（4+x）＝0，函数f（x）的导函数f′（x）在R上总有意义，则f′（5）＝（）A．0 B．1 C．2 D．42．（2025•惠州模拟）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）为奇函数，若f（0）+f（3）＝3，则（）A．f（1﹣x）＝f（x+1） B．f（2024）＝3 C．函数f（x）的周期为2 D．f（2025）＝33．（2025春•浦东新区校级期中）函数y=A． B． C． D．4．（2025•内蒙古二模）已知函数f(x)=12x−1，x＜0A．0＜a≤1 B．0＜a≤12 C．5．（2025•聊城二模）函数f（x）定义域为R，且满足f（﹣x）＝﹣f（x），若y＝f（x）﹣x+ex是偶函数，则不等式f（xex﹣2）+f（2ex﹣x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．（2025•宝安区模拟）已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（x﹣1）+6≥f（x+5），f（x+1）﹣3≥f（x﹣2），若f（3）＝2，则f（2025）＝（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20257．（2025•深圳模拟）已知函数f（x）＝aex﹣e﹣x（a为常数），则（）A．∀a∈R，f（x）为奇函数 B．∃a∈R，f（x）为偶函数 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，f（x）为减函数8．（2025•淮北模拟）已知函数f（x）和g（x）的定义域均为R，f（x+2）为偶函数，g（x+2）+2为奇函数，若f（x）+g（x）＝3x+log6（x2+2）﹣40，则f（0）＝（）A．4 B．2 C．0 D．﹣2二．多选题（共4小题）9．（2025•张家口二模）已知函数f（x）的定义域为R，当p＞0时，f（p）＞0，且对于任意的pq＜1，都有f（p）+fA．f（0）＝0 B．f（x）为偶函数 C．当﹣1＜x＜0时，f（x2）＞f（x） D．当0＜x＜1时，f（x2）＜f（x）10．（2025•郑州模拟）已知对于任意非零实数x，函数f（x）均满足f(x)=f(2xA．f（1）＝1 B．f（2x）关于点（0，1）中心对称 C．f（2x）关于x＝1轴对称 D．f（2）+f（22）+f（23）+⋯+f（210）＝1011．（2025春•观山湖区校级月考）已知函数f（x）、g（x）定义域为R，函数f（x+1）是偶函数，函数g（x+1）是奇函数，且f（x）+g（x+1）＝1，则（）A．f（0）＝1 B．g（﹣5）＝﹣1 C．f（x）关于（0，1）中心对称 D．f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）＝202512．（2025•李沧区校级一模）已知定义在R上的函数f（x）不恒等于0，f（π）＝0，且对任意的x，y∈R，有f（2x）+f（2y）＝2f（x+y）f（x﹣y），则（）A．f（0）＝1 B．f（x）是偶函数 C．f（x）的图象关于点（π，0）中心对称 D．2π是f（x）的一个周期三．填空题（共4小题）13．（2025春•浙江期中）已知函数f（x）＝4﹣x﹣4x﹣x+5，若f（m2）+f（m﹣2）＞10，则实数m的取值范围是．14．（2025•湖北模拟）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，且对∀x∈（0，+∞），均有f(x)⋅f(f(x)−1x15．（2025春•温州期中）设函数f（x）＝x2﹣（k2﹣7ak+3）x+7，已知对任意k∈[0，2]，若x1，x2满足x1∈[k，k+2a]，x2∈[k+3a，k+5a]，则f（x1）≥f（x2），则正实数a的最大值为．16．（2025•日照二模）定义在区间D上的函数y＝f（x），若存在正数K，对任意的x1，x2∈D，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤K|x1﹣x2|恒成立，则称函数y＝f（x）在区间D上满足K﹣条件．若函数f（x）＝（x+1）lnx﹣2x+2在区间[1e，1]上满足K﹣条件，则K的最小值为四．解答题（共4小题）17．（2025•湖北模拟）定义：双曲函数是一类与双曲线相关的函数，其中双曲正弦函数sinhx=ex−e−x2，双曲余弦函数coshx=ex+e−x2，双曲正切函数tanhx=sinhxcoshx．利用欧拉公式eix＝cosx+isinx，其中e为自然对数的底数，i为虚数单位），可以将双曲函数与三角函数联系起来．由欧拉公式可得e﹣ix＝cosx﹣isinx，从而cosx=eix+e−这样，可以把双曲函数看作是“虚角”的三角函数．利用以上关系，可将三角函数的结论类比得到双曲函数相应的结论．（1）根据正弦函数的二倍角公式sin2x＝2sinxcosx，类比到双曲正弦函数的二倍角公式，可得到什么结论？请直接写出你得到的结论．（2）请利用题干的信息，把余弦函数的和角公式cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny类比到双曲余弦函数的和角公式．请写出类比的推导过程和结论．（3）已知在三角函数中有不等式：cosx＜(sinxx)3，x∈（﹣π，0）∪（0，π18．（2025春•驻马店期中）设函数f（x）＝Asin（ωx+π12）（A≠0，（1）当ω=π（i）若存在实数M，对任意的x∈I（I是函数y＝f（x）的定义域的子集），都有f（x）≤M，且存在x0∈I，使得f（x0）＝M，则称M为函数f（x）在区间I上的最大值，x0称为最大值点，讨论f（x）在[0，10]上最大值点的个数；（ii）小明利用函数f（x）进行一个棋盘游戏：有一个2025×2025的正方形棋盘，小明将一棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每下一步移动1格，且在第n（n∈N'）步时，若|f（n）|≥12，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求（2）若A＝1，f（x）的最小正周期T∈（8π29，8π5），且曲线y＝f（x）与直线y＝1在区间（π319．（2025•河南模拟）已知函数f（x）的定义域和值域分别为A，B，若函数g（x）满足：（i）g（x）的定义域为B；（ii）g（x）的值域为A；（iii）∀x∈B，x＝f（g（x）），∀x∈A，x＝g（f（x）），则称g（x）与f（x）具有N关系．（1）若f（x）＝2x，判断下列两个函数是否与f（x）具有N关系，并说明理由；①y＝2log2x；②y＝log2x．（2）若g（x）与f（x）具有N关系，证明：函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y＝x对称；（3）已知函数F（x）＝ex，G（x）与F（x）具有N关系，令f（x）＝F（x）G（x）﹣1．①判断函数f（x）的单调性；②证明：∀x＞2，f20．（2025春•铁岭期中）已知函数f（x）＝log2（x2﹣ax+1）．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）为偶函数，求a的值；（3）设g（x）＝4x﹣2x+1，若对于任意x1∈（0，1），存在x2∈[﹣1，1]，使得不等式f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．

函数概念与性质答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•青羊区校级期中）已知函数f（x）的定义域是R，满足f（x）＝f（2﹣x），f（﹣x）+f（4+x）＝0，函数f（x）的导函数f′（x）在R上总有意义，则f′（5）＝（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】抽象函数的周期性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】求导后，根据抽象函数的对称性，即可求解．解：因为f（x）＝f（2﹣x），f（﹣x）+f（4+x）＝0，所以f′（x）＝﹣f′（2﹣x），﹣f′（﹣x）+f′（4+x）＝0，所以f′（1）＝﹣f′（1），所以f′（1）＝0，由f′（x）＝﹣f′（2﹣x），﹣f′（﹣x）+f′（4+x）＝0，可得f′（﹣x）＝﹣f′（2+x），f′（﹣x）＝f′（4+x），所以f′（4+x）＝﹣f′（2+x），所以f′（2+x）＝﹣f′（x），所以f′（4+x）＝f′（x），所以f′（5）＝f′（1）＝0．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的性质，属中档题．2．（2025•惠州模拟）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）为奇函数，若f（0）+f（3）＝3，则（）A．f（1﹣x）＝f（x+1） B．f（2024）＝3 C．函数f（x）的周期为2 D．f（2025）＝3【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】由已知结合函数的奇偶性，周期性，利用赋值法检验各选项即可求解．解：因为f（x+1）为奇函数，则f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），若f（1﹣x）＝f（x+1），则f（x+1）＝0，与f（0）+f（3）＝3矛盾，故A选项错误；又f（x）为偶函数，f（﹣x+1）＝f（x﹣1），则f（x﹣1）＝﹣f（x+1），即f（x）＝﹣f（x+2），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，即C选项错误；由f（0）+f（3）＝3，f（0）＝3，f（2024）＝f（0+506×4）＝f（0）＝3，所以B选项正确；由f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），令x＝0，得f（1）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，f（2025）＝f（1+506×4）＝f（1）＝0，即D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性的应用，属于中档题．3．（2025春•浦东新区校级期中）函数y=A． B． C． D．【考点】由函数解析式求解函数图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．【正确答案】A【分析】根据f（x）=sinx解：令f（x）=sinx−1x，则f（﹣x）=sin(−x)+x∈（0，π2）时，f（x）=sinx−1x又f（π3）=32−3π＜f（π）=−1π＜0，f（5π2）＝1−故选：A．【点评】本题主要考查由函数解析式求函数图像，属于中档题．4．（2025•内蒙古二模）已知函数f(x)=12x−1，x＜0A．0＜a≤1 B．0＜a≤12 C．【考点】函数恒成立问题；函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】由题意可得a＞0且a≠1，再由已知可判断函数f（x）在R上单调递减，从而可得关于a的不等式，从而确定0＜a＜1，再由f（﹣2）＝8及f（x）的单调性将不等式转化为logax≥﹣2在[2，4]上恒成立，结合y＝logax为减函数，可得x≤a﹣2在[2，4]上恒成立，则a﹣2≤4，从而可得a的取值范围．解：由题意可知a＞0且a≠1，因为y=12x−1且函数f（x）在R上单调，所以函数f（x）在R上单调递减，所以12−1≥2a，解得a≤1，又a所以0＜a＜1，因为f（﹣2）=1所以f（logax）≤8在[2，4]上恒成立等价于f（logax）≤f（﹣2）在[2，4]上恒成立，即logax≥﹣2在[2，4]上恒成立，即logax≥﹣logaa﹣2在[2，4]上恒成立，因为0＜a＜1，所以函数y＝logax为减函数，所以x≤a﹣2在[2，4]上恒成立，所以a﹣2≤4，解得0＜a≤1故选：B．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．5．（2025•聊城二模）函数f（x）定义域为R，且满足f（﹣x）＝﹣f（x），若y＝f（x）﹣x+ex是偶函数，则不等式f（xex﹣2）+f（2ex﹣x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】抽象函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】根据题意可求出f（x）=x解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），又y＝f（x）﹣x+ex是偶函数，所以f（﹣x）+x+e﹣x＝f（x）﹣x+ex，所以﹣f（x）+x+e﹣x＝f（x）﹣x+ex，所以f（x）=x所以f′（x）＝1−1所以f（x）为R上的减函数，又f（x）为R上的奇函数，所以不等式f（xex﹣2）+f（2ex﹣x）＜0可化为：f（xex﹣2）＜f（x﹣2ex），所以xex﹣2＞x﹣2ex，所以（x+2）（ex﹣1）＞0，所以x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性的应用，属中档题．6．（2025•宝安区模拟）已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（x﹣1）+6≥f（x+5），f（x+1）﹣3≥f（x﹣2），若f（3）＝2，则f（2025）＝（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【考点】抽象函数的周期性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】C【分析】根据赋值法，即放缩法，化归转化思想，即可求解．解：因为f（x﹣1）+6≥f（x+5），则f（x）+6≥f（x+6），令x＝﹣3，则f（﹣3）+6≥f（3），因为f（3）＝2，所以f（﹣3）≥﹣4，又f（x+1）﹣3≥f（x﹣2），则f（x）﹣3≥f（x﹣3），即f（x）≥f（x﹣3）+3，令x＝0，则f（0）≥f（﹣3）+3，即f（0）≥﹣1，令x＝3，则f（3）﹣3≥f（0），所以f（0）≤﹣1，故得f（0）＝﹣1，又f（2025）＝f（2019+6）≤f+6≤f（2013）+6+6≤…≤f（3）+337×6＝2024；又f（2025）≥f（2025﹣3）+3＝f（2022）+3≥f+3+3≥…≥f（0）+675×3＝﹣1+2025＝2024，所以2024≤f（2025）≤2024，即f（2025）＝2024．故选：C．【点评】本题考查抽象函数的性质的综合应用，属中档题．7．（2025•深圳模拟）已知函数f（x）＝aex﹣e﹣x（a为常数），则（）A．∀a∈R，f（x）为奇函数 B．∃a∈R，f（x）为偶函数 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，f（x）为减函数【考点】奇函数偶函数的判断．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】由已知结合函数的奇偶性及单调性的定义及性质，导数与单调性关系及指数函数性质检验各选项即可判断．解：当a＝2时，f（x）＝2ex﹣e﹣x显然不是奇函数，A错误；当a＝﹣1时，f（x）＝﹣ex﹣e﹣x为偶函数，B正确；当a＝﹣1时，f（x）＝﹣ex﹣e﹣x，f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣e−1e，显然f（0）＞f（1），若f（x）为减函数，则存在a∈R，使得f′（x）＝aex+e﹣x≤0恒成立，不论a为正还是负，当x→+∞和x→﹣∞时，总存在f′（x）＞0的情况，即不存在a，使得a≤﹣e﹣2x恒成立a，D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题．8．（2025•淮北模拟）已知函数f（x）和g（x）的定义域均为R，f（x+2）为偶函数，g（x+2）+2为奇函数，若f（x）+g（x）＝3x+log6（x2+2）﹣40，则f（0）＝（）A．4 B．2 C．0 D．﹣2【考点】抽象函数的奇偶性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】根据抽象函数的性质，赋值法，方程思想，即可求解．解：因为函数f（x）和g（x）的定义域均为R，f（x+2）为偶函数，g（x+2）+2为奇函数，所以f（﹣x+2）＝f（x+2），g（﹣x+2）+2+g（x+2）+2＝0，所以f（0）＝f（4），g（4）＝﹣4﹣g（0），又f（x）+g（x）＝3x+log6（x2+2）﹣40，所以f（0）+g（0）＝1+log62﹣40，f（4）+g（4）＝34+log618﹣40，即f（0）﹣4﹣g（0）＝34+log618﹣40，两式相加可得2f（0）﹣4＝1+log62﹣40+34+log618﹣40＝4，所以f（0）＝4．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的综合应用，属中档题．二．多选题（共4小题）9．（2025•张家口二模）已知函数f（x）的定义域为R，当p＞0时，f（p）＞0，且对于任意的pq＜1，都有f（p）+fA．f（0）＝0 B．f（x）为偶函数 C．当﹣1＜x＜0时，f（x2）＞f（x） D．当0＜x＜1时，f（x2）＜f（x）【考点】抽象函数的奇偶性．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】ACD【分析】对于A，令p＝q＝0，求得f（0）＝0，即可判断；对于B，令q＝﹣p，可得f（p）+f（﹣p）＝0，即可判断；对于C，当﹣1＜x＜0时，x2＞0＞x，结合函数的奇偶性，即可判断；对于D，设﹣1＜x1＜x2＜0，结合函数为奇函数，可得f（x）在（﹣1，1）上单调递增，即可判断．解：对于A，令p＝q＝0，则f（0）+f（0）＝f（0），解得f（0）＝0，故A正确；对于B，令q＝﹣p，则f（p）+f（﹣p）＝f（0）＝0，所以f（x）为奇函数，故B错误；对于C，当﹣1＜x＜0时，x2＞0＞x，因为当p＞0时，f（p）＞0，且f（x）为奇函数，所以当p＜0时，f（p）＜0，所以f（x2）＞0＞f（x），故C正确；对于D，设﹣1＜x1＜x2＜0，令p＝x1，q＝﹣x2，则pq＝﹣x1x2＜1，因为f（x2）＝﹣f（﹣x2），所以f（x2）﹣f（x1）＝f(因为x2−x因此f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x）在（﹣1，0）上单调递增，因为f（x）为奇函数，所以f（x）在（﹣1，1）上单调递增，所以当0＜x＜1时，x2＜x，故f（x2）＜f（x），故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了利用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性及单调性，属于中档题．10．（2025•郑州模拟）已知对于任意非零实数x，函数f（x）均满足f(x)=f(2xA．f（1）＝1 B．f（2x）关于点（0，1）中心对称 C．f（2x）关于x＝1轴对称 D．f（2）+f（22）+f（23）+⋯+f（210）＝10【考点】抽象函数的周期性；奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】ABD【分析】由f(x)=2−f(1x)中令x＝1可得A正确；由f（2x）+f（2﹣x）＝2可得B正确；由f（2x）＝f（21﹣x）可得C错误；换元法求出f（2x解：因为对于任意非零实数x，函数f（x）均满足f(x)=f(2x所以对于A，因为f（1）＝2﹣f（1），所以f（1）＝1，所以A正确；对于B，由f(x)=2−f(1x)可得f(x所以f（2x）关于点（0，1）中心对称，所以B正确；对于C，由f(x)=f(2x)可得f所以f（2x）关于x=12对于D，因为f（1）＝f（2）＝1，设g(又g(由①②可得g（1﹣x）＝2﹣g（﹣x），所以g（1+x）＝2﹣g（x），所以g（x+2）＝2﹣g（x+1）＝2﹣[2﹣g（x）]＝g（x），所以f（2x）＝f（2x+2），所以f（2）＝f（22）＝f（23）＝⋯所以f（2）+f（22）+f（23）+⋯+f（210）＝10，所以D正确．故选：ABD．【点评】本题考查抽象函数的性质，赋值法的应用，化归转化思想，属中档题．11．（2025春•观山湖区校级月考）已知函数f（x）、g（x）定义域为R，函数f（x+1）是偶函数，函数g（x+1）是奇函数，且f（x）+g（x+1）＝1，则（）A．f（0）＝1 B．g（﹣5）＝﹣1 C．f（x）关于（0，1）中心对称 D．f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）＝2025【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】ACD【分析】根据题意可得f（﹣x+1）＝f（x+1），g（﹣x+1）+g（x+1）＝0，从而可得f（x）关于直线x＝1对称，g（x）关于点（1，0）对称，且g（1）＝0，再结合f（x）+g（x+1）＝1，化归转化，即可求解．解：因为函数f（x）、g（x）定义域为R，函数f（x+1）是偶函数，函数g（x+1）是奇函数，所以f（﹣x+1）＝f（x+1），g（﹣x+1）+g（x+1）＝0，所以f（x）关于直线x＝1对称，g（x）关于点（1，0）对称，且2g（1）＝0，所以g（1）＝0，又f（x）+g（x+1）＝1，所以f（0）+g（1）＝1，所以f（0）＝1，所以A选项正确；因为f（x）+g（x+1）＝1①，f（﹣x）+g（﹣x+1）＝1②，又g（﹣x+1）+g（x+1）＝0③，所以由①②③可得f（x）+f（﹣x）＝2，所以f（x）关于点（0，1）对称，所以C选项正确；因为f（﹣x+1）＝f（x+1），所以f（﹣x）＝f（x+2），又f（x）+f（﹣x）＝2，所以f（x）+f（x+2）＝2，所以f（x+2）+f（x+4）＝2，所以f（x+4）＝f（x）所以f（x）的周期为4，又f（x）+g（x+1）＝1，所以f（﹣6）+g（﹣5）＝1，又f（﹣6）＝f（2）＝f（0）＝1，所以g（﹣5）＝0，所以B选项错误；因为f（x）的周期为4，所以f（0）＝f（2）＝f（6）＝f（4）＝1，又f（x）关于点（0，1）对称且对称轴为直线x＝1，所以f（1）+f（3）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4，又f（0）＝1，所以f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）＝506×4+f（0）＝2025，所以D选项正确．故选：ACD．【点评】本题考查抽象函数的综合应用，属中档题．12．（2025•李沧区校级一模）已知定义在R上的函数f（x）不恒等于0，f（π）＝0，且对任意的x，y∈R，有f（2x）+f（2y）＝2f（x+y）f（x﹣y），则（）A．f（0）＝1 B．f（x）是偶函数 C．f（x）的图象关于点（π，0）中心对称 D．2π是f（x）的一个周期【考点】抽象函数的周期性；抽象函数的奇偶性．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】ABC【分析】利用赋值法，令x＝y结合表达式可判断A正确；再根据偶函数定义可得B正确；取x+y＝π并根据对称中心定义可得C正确；由对称中心以及偶函数性质可判断4π是f（x）的一个周期，可得D错误．解：由f（2x）+f（2y）＝2f（x+y）f（x﹣y），令x＝y，可得f（2x）+f（2x）＝2f（2x）f（0），解得f（0）＝1，故A正确；令x＝﹣y，可得f（2x）+f（﹣2x）＝2f（0）f（2x）＝2f（2x），则f（2x）＝f（﹣2x），即可得对任意的x∈R，满足f（x）＝f（﹣x），即f（x）是偶函数，故B正确；令x+y＝π，则由f（2x）+f（2y）＝2f（x+y）f（x﹣y），可得f（2π﹣2y）+f（2y）＝2f（π）f（π﹣2y）＝0，即f（x）满足f（2π﹣x）+f（x）＝0，因此可得f（x）的图象关于点（π，0）中心对称，故C正确；由于f（x）是偶函数，得f（x﹣2π）+f（x）＝0，即f（x）+f（x+2π）＝0，可得f（x﹣2π）＝f（x+2π），也即f（x）＝f（x+4π），所以4π是f（x）的一个周期，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查抽象函数的性质及应用，考查逻辑思维能力及运算求解能力，是中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•浙江期中）已知函数f（x）＝4﹣x﹣4x﹣x+5，若f（m2）+f（m﹣2）＞10，则实数m的取值范围是（﹣2，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】（﹣2，1）．【分析】由函数的奇偶性和单调性进行求解即可．解：设g（x）＝4﹣x﹣4x﹣x，则g（x）为奇函数，且在R上递减，由f（m2）+f（m﹣2）＞10，可得g（m2）+5+g（m﹣2）+5＞10，得g（m2）＞﹣g（m﹣2）＝g（﹣m+2），所以m2＜﹣m+2，即m2+m﹣2＜0，解得m∈（﹣2，1），即实数m的取值范围是（﹣2，1）．故（﹣2，1）．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，属中档题．14．（2025•湖北模拟）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，且对∀x∈（0，+∞），均有f(x)⋅f(f(x)−1x)=−1【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】e2【分析】记y=f(x)−1x，由f(y)⋅f(f(y)−1y)=−12和f（x）f（y）=−12，得解：记y=用y替换f(x)⋅得f(且f（x）f（y）=−1所以f（f（y）−1y）＝f（又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，所以f（y）−1y=x，f（y）＝x+由f（x）f（y）=−12，得f（y）所以x2所以xf（x）﹣1+2x2f2（x）＝0，所以[2xf（x）﹣1][xf（x）+1]＝0，解得f（x）=−1x或f（x）又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，所以f（x）=1所以不等式f（x）≥a即为12x≥a令φ（x）=ex2所以φ'（x）=e所以当0＜x＜1时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，当x＞1时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，所以φ（x）min＝φ（1）=e所以a≤e即实数a的最大值为e2故e2【点评】本题考查转化思想及不等式恒成立问题，考查了导数的综合运用，属于难题．15．（2025春•温州期中）设函数f（x）＝x2﹣（k2﹣7ak+3）x+7，已知对任意k∈[0，2]，若x1，x2满足x1∈[k，k+2a]，x2∈[k+3a，k+5a]，则f（x1）≥f（x2），则正实数a的最大值为26−4【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】26【分析】由f（x1）≥f（x2），可得（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣（k2﹣7ak+3）]≥0，由x1，x2的取值范围可得x1＜x2，进而得k2﹣7ak+3≥x1+x2恒成立，又因为（x1+x2）max＝2k+7a，参变分离得7a≤k+1+6解：因为f（x1）≥f（x2），即x12−（k2﹣7ak+3）x1+7≥x22−（k即（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣（k2﹣7ak+3）]≥0，又因为足x1∈[k，k+2a]，x2∈[k+3a，k+5a]，所以x1＜x2，所以x1+x2﹣（k2﹣7ak+3）≤0恒成立，即k2﹣7ak+3≥x1+x2恒成立，又因为（x1+x2）max＝k+2a+k+5a＝2k+7a，所以k2﹣7ak+3≥2k+7a，即7a（k+1）≤k2﹣2k+3，所以7a≤k2−2k又因为k∈[0，2]，所以k+1+6k+1−4≥2当且仅当k+1=6k+1，即k=所以7a≤26−解得0＜a≤2所以正实数a的最大值为26故26【点评】本题考查了转化思想及基本不等式的应用，属于中档题．16．（2025•日照二模）定义在区间D上的函数y＝f（x），若存在正数K，对任意的x1，x2∈D，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤K|x1﹣x2|恒成立，则称函数y＝f（x）在区间D上满足K﹣条件．若函数f（x）＝（x+1）lnx﹣2x+2在区间[1e，1]上满足K﹣条件，则K的最小值为e﹣2【考点】函数恒成立问题．【专题】新定义；函数思想；转化思想；综合法；定义法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．【正确答案】e﹣2．【分析】由题意可得K≥|f(x1)−f(x2)||x1−x2|在[1e，1]上恒成立（x1≠x解：则题意可得|f（x1）﹣f（x2）|≤K|x1﹣x2|在[1e当x1＝x2时，满足题意；当x1≠x2时，则有K≥|设m=|f(则m表示函数f（x）在[1e因为f（x）＝（x+1）lnx﹣2x+2，所以f'（x）＝lnx+x+1x−令φ（x）＝f'（x）＝lnx+1x−1，x∈则φ'（x）=1所以φ（x），即f'（x）在x∈[1e所以f'（x）∈[e﹣2，0]，所以m∈[e﹣2，0]，所以K≥e﹣2，即K的最小值为e﹣2．故e﹣2．【点评】本题考查了转化思想及导数的几何意义，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025•湖北模拟）定义：双曲函数是一类与双曲线相关的函数，其中双曲正弦函数sinhx=ex−e−x2，双曲余弦函数coshx=ex+e−x2，双曲正切函数tanhx=sinhxcoshx．利用欧拉公式eix＝cosx+isinx，其中e为自然对数的底数，i为虚数单位），可以将双曲函数与三角函数联系起来．由欧拉公式可得e﹣ix＝cosx﹣isinx，从而cosx=eix+e−这样，可以把双曲函数看作是“虚角”的三角函数．利用以上关系，可将三角函数的结论类比得到双曲函数相应的结论．（1）根据正弦函数的二倍角公式sin2x＝2sinxcosx，类比到双曲正弦函数的二倍角公式，可得到什么结论？请直接写出你得到的结论．（2）请利用题干的信息，把余弦函数的和角公式cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny类比到双曲余弦函数的和角公式．请写出类比的推导过程和结论．（3）已知在三角函数中有不等式：cosx＜(sinxx)3，x∈（﹣π，0）∪（0，π【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；新定义类．【正确答案】（1）sinh（2x）＝2sinhxcoshx．（2）cosh（x+y）＝coshxcoshy+sinhxsinhy．（3）不等式cosh【分析】（1）类比正弦函数的二倍角公式，即可得到双曲正弦函数的二倍角公式；（2）用ix和iy替换cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny中的x和y，即可得解；（3）不等式coshx＜(sinhxx)3(x≠0)成立，由不等式左、右两边都是偶函数，故只需证明x＞0时的情况即可，当x＞0时，将不等式转化为解：（1）类比正弦函数的二倍角公式，可得到双曲正弦函数的二倍角公式：sinh（2x）＝2sinhxcoshx．（2）用ix和iy替换cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny中的x和y，可得cos（ix+iy）＝cos（ix）cos（iy）﹣sin（ix）sin（iy）．由题干条件知cos（ix）＝coshx，sin（ix）＝isinhx，从而得到cos（ix+iy）＝coshxcoshy﹣isinhx•isinhy，即cosh（x+y）＝coshxcoshy+sinhxsinhy．（3）不等式cosh因为不等式左、右两边都是偶函数，故只需证明x＞0时的情况即可．当x＞0时，cosh令f(因为（sinhx）'＝coshx，（coshx）'＝sinhx，则f′(故f（0）＝f'（0）＝0．因为f=−4所以f'（x）在（0，+∞）上单调递减，从而f'（x）＜f'（0）＝0，进而f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（0）＝0，证毕．【点评】本题主要考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，属于难题．18．（2025春•驻马店期中）设函数f（x）＝Asin（ωx+π12）（A≠0，（1）当ω=π（i）若存在实数M，对任意的x∈I（I是函数y＝f（x）的定义域的子集），都有f（x）≤M，且存在x0∈I，使得f（x0）＝M，则称M为函数f（x）在区间I上的最大值，x0称为最大值点，讨论f（x）在[0，10]上最大值点的个数；（ii）小明利用函数f（x）进行一个棋盘游戏：有一个2025×2025的正方形棋盘，小明将一棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每下一步移动1格，且在第n（n∈N'）步时，若|f（n）|≥12，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求（2）若A＝1，f（x）的最小正周期T∈（8π29，8π5），且曲线y＝f（x）与直线y＝1在区间（π3【考点】函数恒成立问题；正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【正确答案】（1）（i）答案见解析；（ii）(−∞，−2（2）(29【分析】（1）（i）根据正弦函数的性质结合函数最大值的定义，分A＞0和A＜0两种情况讨论即可；（ii）根据正弦函数的单调性比较|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|的大小，进而可得出答案；（2）方程sin(ωx+解：（1）（i）x∈[0，10]，则πx3当A＞0时，y＝sint在[π12，41π12]上有两个最大值点x故f（x）在[0，10]上有2个最大值点；同理当A＜0时，f（x）在[0，10]上有1个最大值点；（ii）|f（n）|＝|f（n+3）|，棋子移动的周期为3，若棋子停在棋盘最上边的边界线，则|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有两个大于或等于12因为|f(1)|=|A|sin由正弦函数的单调性得|f（1）|＞|f（2）|＞|f（3）|，故|f则A≥22故A的取值范围是(−∞，−2（2）曲线y＝f（x）与直线y＝1在(π即方程sin(ωx+由x∈(π3又因为T∈(8π所以54故π2则只需令5π解得299即ω的取值范围为(29【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．19．（2025•河南模拟）已知函数f（x）的定义域和值域分别为A，B，若函数g（x）满足：（i）g（x）的定义域为B；（ii）g（x）的值域为A；（iii）∀x∈B，x＝f（g（x）），∀x∈A，x＝g（f（x）），则称g（x）与f（x）具有N关系．（1）若f（x）＝2x，判断下列两个函数是否与f（x）具有N关系，并说明理由；①y＝2log2x；②y＝log2x．（2）若g（x）与f（x）具有N关系，证明：函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y＝x对称；（3）已知函数F（x）＝ex，G（x）与F（x）具有N关系，令f（x）＝F（x）G（x）﹣1．①判断函数f（x）的单调性；②证明：∀x＞2，f【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．【正确答案】（1）f（x）＝2x与①y＝2log2x不具有N关系，详细见解析；f（x）＝2x与②y＝log2x具有N关系，详细见解析；（2）证明见解析；（3）①单调递增，详细见解析；②证明见解析．【分析】（1）根据定义可判断函数g（x）与f（x）是否具有N关系；（2）要证明函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y＝x对称，只需证明f（x）上任意一点关于y＝x对称点在g（x）上即可，即g（x）与f（x）互为反函数；（3）要证明∀x＞2，f(x+1)e＞x2