2026年高考数学一轮专题训练：抛物线1 含答案

/抛物线一．选择题（共8小题）1．（2025春•金溪县校级期中）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点（点A在第一象限内），若x轴上存在三点D，E，H满足|AF|＝|AD|，BE⊥EF，∠EBH＝∠EFB，则|EH|•|DF|＝（）A．4 B．8 C．12 D．162．（2025•仁寿县校级三模）已知点D（4，m）在抛物线Ω：x2＝8y上，点A为圆C：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜4）上任意一点，且|AD|的最小值为3，则圆C的半径r为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2025•广西模拟）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，满足∠AFB＝120°，线段AB的中点为M，M到抛物线E的准线的距离为d，则d|A．1 B．2 C．3 D．24．（2025•渝中区校级模拟）过点P（1，0）且与抛物线C：x2＝y有且仅有1个公共点的直线l的条数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（2025•山东模拟）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，在直线x＝﹣3上任取一点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，则F到直线AB距离的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2025春•思明区校级期中）已知斜率为3的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且从上到下与C依次交于A、B两点，AF→=λA．43 B．2 C．527．（2025•和平区二模）双曲线C1：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为直线l：y=3x，若C1的一个焦点到直线l的距离为3，且C1与抛物线C2：y2＝2A．2 B．4 C．8 D．168．（2025•河南模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且PB→=3BF→，|AFA．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•广东期中）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，点M（x0，y0）在C上，则（）A．F（3，0） B．C的准线方程为y＝﹣3 C．若|MF|＝8，则x0＝5 D．以MF为直径的圆与y轴相切（多选）10．（2025•惠州模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点A（x1，y1）反射，再经过C上另一点B（x2，y2）反射后，沿直线l2射出，则（）A．C的准线方程为x＝﹣1 B．y1y2＝﹣4 C．若点M（2，1），则|AB|=11D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线l2上（多选）11．（2025•平凉校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点P满足PF⊥AB，且直线BP与x轴平行，直线AP与x轴交于点M，则下列说法正确的是（）A．OA→B．若|AF|＝2|BF|，则直线l的斜率为24或−C．若Q为C的准线上任意一点，则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列 D．点M到直线PF的距离为1（多选）12．（2025•山东模拟）已知点A(12，1)，B（x0，y0）均在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，A．p＝2 B．直线AF∥y轴 C．若y0＜﹣1，则|AF|＜|BF| D．若|y0|＜2x0，则|AF|＜|BF|三．填空题（共4小题）13．（2025春•湖南期中）设M是抛物线y2＝6x上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，∠OFM＝120°，则|FM|＝．14．（2025春•盐城校级期中）已知抛物线C：x2＝4y焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，则|PF|＝．15．（2025•天津模拟）过点（0，﹣2）且斜率为1的直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，已知直线l经过抛物线C的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为．16．（2025•广东模拟）设抛物线y2＝2x的焦点为F，点A1，A2在抛物线上且FA1→+F四．解答题（共4小题）17．（2025•太原二模）如图，过点P（m，0）（m＞0）倾斜角为45°的直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两个不同点．当m=p2时，|PA（1）求抛物线E的方程；（2）设过点Q（﹣m，0）平行于AB的直线与抛物线E相交于C，D两个不同点，①求证：|PA|•|PB|＝|QC|•|QD|；②求四边形ABCD面积的最大值．18．（2025春•青羊区校级期中）已知抛物线x2＝2py上一点A（2，y0）到抛物线焦点F的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点P的坐标为（0，﹣1），若过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，证明：直线AF平分∠MFN．19．（2025•内蒙古二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M(m，3)，其焦点为F，若|MF（1）求m的值以及抛物线C的方程；（2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、C与B、D四点，求四边形ABCD面积的最小值．20．（2025•日照二模）在平面直角坐标系xOy中，过点M（2，0）的直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线x＝﹣2相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E．（i）证明：∠DEO+∠BMO＝π；（ii）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为152？若存在，说明直线l

抛物线答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•金溪县校级期中）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点（点A在第一象限内），若x轴上存在三点D，E，H满足|AF|＝|AD|，BE⊥EF，∠EBH＝∠EFB，则|EH|•|DF|＝（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】直线与抛物线的综合．【专题】方程思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【正确答案】B【分析】用设而不求法，然后联立抛物线和直线方程，用韦达定理表示计算即可．解：如图，设l：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2=4xx=my+1，得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1y2＝﹣4，y所以x1x2=(y1y2)2而EF＝1﹣x2，BE＝﹣y2，所以EH=y221−x2=4x21−所以D（2x1﹣1，0），则DF＝2x1﹣2，所以|EH|•|DF|=4x21−x2故选：B．【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．2．（2025•仁寿县校级三模）已知点D（4，m）在抛物线Ω：x2＝8y上，点A为圆C：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜4）上任意一点，且|AD|的最小值为3，则圆C的半径r为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】A【分析】先求出点D的坐标，再根据抛物线的定义计算|CD|，最后求圆外的定点D与圆C上的动点之间的距离的最小值，即点D与圆心之间的距离减去半径，即可求得．解：已知点D（4，m）在抛物线Ω：x2＝8y上，则42＝8m，解得m＝2，即D（4，2），因为圆心C（0，2）恰好为抛物线Ω的焦点，则|CD|＝m+2＝4，又|CD|＝4＞r，所以点D在圆C的外部，又点A为圆C：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜4）上任意一点，且|AD|的最小值为3，所以|AD|的最小值为|CD|﹣r＝4﹣r＝3，解得r＝1．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．3．（2025•广西模拟）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，满足∠AFB＝120°，线段AB的中点为M，M到抛物线E的准线的距离为d，则d|A．1 B．2 C．3 D．2【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解．【正确答案】D【分析】设AF＝m，BF＝n，则根据抛物线的性质以及平面向量的模，可将d和|MN|均用m、n表示，求出(d解：如图，设AF＝m，BF＝n，因为M为AB中点，则由抛物线的性质知，d=m+n2，且因为∠AFB＝120°，所以FM→2=14（FA→2+FB→2+2FA→所以(dMF)2=(m+n所以d|故选：D．【点评】本题主要考查抛物线的焦点弦及焦半径，属于中档题．4．（2025•渝中区校级模拟）过点P（1，0）且与抛物线C：x2＝y有且仅有1个公共点的直线l的条数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】D【分析】由题意，结合导数的几何意义求出切线，进而可解．解：易知直线x＝1与抛物线C有且仅有1个公共点，符合题意；因为抛物线C的方程为x2＝y，所以y′＝2x，设切点坐标为(x0，x02此时切线方程为y−因为点P在切线上，所以−x解得x0＝0或x0＝2，则过点P（1，0）的切线有2条，综上所述：满足条件的直线共有3条．故选：D．【点评】本题考查抛物线的方程以及导数的几何意义，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．5．（2025•山东模拟）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，在直线x＝﹣3上任取一点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，则F到直线AB距离的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与抛物线的综合．【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【正确答案】B【分析】先求出在抛物线E上的点M（x0，y0）处的切线方程为y0y＝2（x+x0），然后表示出抛物线E在点A处的切线方程，代入点P的坐标，即可确定直线AB的方程，再结合函数性质即可求解．解：设点M（x0，y0）是抛物线E上任意一点，则y0过点M的直线与抛物线E相切，设切线方程为x﹣x0＝t（y﹣y0），联立x=t(y−y0)+x0y2=4x则Δ＝16t2﹣4（4ty0﹣4x0）＝0，即(2t−y即切线方程为x−x0=y02(y−设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣3，m），则抛物线E在点A处的切线方程为y1y＝2（x+x1），在点B处的切线方程为y2y＝2（x+x2），因为抛物线E在点A、B处的切线交于点P，所以my1＝2（﹣3+x1），my2＝2（﹣3+x2），所以点A、B的坐标满足方程my＝2（﹣3+x），所以直线AB的方程为my＝2（﹣3+x），即2x﹣my﹣6＝0，当x＝3时，y＝0，所以直线AB过定点（3，0），由抛物线E：y2＝4x可知，焦点F（1，0），则点F到直线AB的距离d=则当m＝0时，d取得最大值，最大值为2．故选：B．【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．6．（2025春•思明区校级期中）已知斜率为3的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且从上到下与C依次交于A、B两点，AF→=λA．43 B．2 C．52【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】D【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到A，B的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果．解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），斜率为3的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F，可知直线AB方程为y=联立方程y=3(x−1)y2=4显然xA＞xB，得xA所以AF→=3FB故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．7．（2025•和平区二模）双曲线C1：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为直线l：y=3x，若C1的一个焦点到直线l的距离为3，且C1与抛物线C2：y2＝2A．2 B．4 C．8 D．16【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】B【分析】根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求出双曲线C1的方程，结合抛物线的准线方程得到点H的坐标，代入双曲线方程中即可求解．解：易知双曲线C1的渐近线方程为y＝±bax所以ba即b=3a因为C1的一个焦点（c，0）到直线l的距离d=|解得c＝2，②又a2+b2＝c2，③联立①②③，解得a＝1，b=3所以双曲线C1的方程为x2因为抛物线C2的准线方程为x=−p又点H的纵坐标为3，且点H在双曲线上，所以(−p解得p2＝16，因为p＞0，所以p＝4．故选：B．【点评】本题考查圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．8．（2025•河南模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且PB→=3BF→，|AFA．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】C【分析】作出图形，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ，则根据题意易得cosθ＝cos∠PBQ=|解：如图，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ，则由PB→=3BF→，|PB|＝3|BF∴cosθ＝cos∠PBQ=|又|AF|＝p+|AF|cosθ，∴|AF|=p1−cosθ∴抛物线C的方程为y2＝4x．故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•广东期中）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，点M（x0，y0）在C上，则（）A．F（3，0） B．C的准线方程为y＝﹣3 C．若|MF|＝8，则x0＝5 D．以MF为直径的圆与y轴相切【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；抛物线的定义．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】ACD【分析】根据抛物线的定义和几何性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，逐项分析判断，即可求解．解：对于A，因为y2＝12x，所以焦点为F（3，0），故A正确；对于B，由题可得，抛物线C：y2＝12x的准线方程为x＝﹣3，故B错误；对于C，因为点M（x0，y0）在C上，所以|MF|＝x0+3＝8，解得：x0＝5，故C正确；对于D，由抛物线的定义，可得|MF|＝x0+3，则线段MF的中点坐标(x0+32，故以MF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了抛物线简单的几何性质，属于中档题．（多选）10．（2025•惠州模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点A（x1，y1）反射，再经过C上另一点B（x2，y2）反射后，沿直线l2射出，则（）A．C的准线方程为x＝﹣1 B．y1y2＝﹣4 C．若点M（2，1），则|AB|=11D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线l2上【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】ABD【分析】求得抛物线的准线方程可判断A；设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，可判断B；求得A，B的坐标，可判断C，由直线OA的方程求得N的坐标，可判断D．解：对于A，抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，故A正确；对于B，设直线AB的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，故B正确；对于C，若点M（2，1），则A(14则|AB故C错误；对于D，直线OA的方程为y=又y1即y=令x＝﹣1，可得y=−即N（﹣1，y2），而直线l2的方程为y＝y2，则点N在直线l2上，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．（多选）11．（2025•平凉校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点P满足PF⊥AB，且直线BP与x轴平行，直线AP与x轴交于点M，则下列说法正确的是（）A．OA→B．若|AF|＝2|BF|，则直线l的斜率为24或−C．若Q为C的准线上任意一点，则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列 D．点M到直线PF的距离为1【考点】直线与抛物线的综合．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；综合法；三角函数的求值．【正确答案】ACD【分析】A选项，联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算进行求解；B选项，由|AF|＝2|BF|得|y1y2|=2，结合韦达定理求出y1，y2，代入y1+y2＝2t求出t即可求得直线l的斜率；C选项，设Q(−12，m)，分别写出直线QA，QF，QB的斜率，代入2kQF﹣kQA﹣kQB解：由题意知抛物线C：y2＝2x的焦点为F(显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=联立x=ty+12y2=2设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2t，y1y2＝﹣1，则x1x2=y因为|AF|＝2|BF|，所以|y1y2|=2，所以y1＝﹣2y2，又解得或y2=−2所以t=y1+y22=24或设Q(−12，m所以2=−2=−2即2kQF＝kQA+kQB，则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列，故C正确；如图所示，过点M作MH⊥FP，垂足为H，又|AM||MP|所以|AF||MH|故选：ACD．【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想、转化思想及数形结合思想，属于中档题．（多选）12．（2025•山东模拟）已知点A(12，1)，B（x0，y0）均在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，A．p＝2 B．直线AF∥y轴 C．若y0＜﹣1，则|AF|＜|BF| D．若|y0|＜2x0，则|AF|＜|BF|【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】BCD【分析】选项A，将点A坐标代入C：y2＝2px求出p的值即可；选项B，写出F的坐标，根据点A，F的横坐标相同，即可判断；选项C，根据抛物线的焦半径公式求解即可；选项D，由|y0|＜2x0，结合抛物线的方程解出x0的取值范围，再根据选项C所得即可判断．解：选项A，将点A(12，1)代入C：y2＝2px中，得选项B，由p＝1，知F(所以点A，F的横坐标相同，所以直线AF∥y轴，故选项B正确；选项C，因为点A，B均在C上，所以|AF|=12+p要使|AF|＜|BF|，只需x0若y0＜﹣1，由于y02=2x0，所以2x0选项D，若|y0|＜2x0，因为x0≥0，所以y02＜4x0由选项C知，当x0＞12时，|AF|＜|故选：BCD．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握焦半径的求法，抛物线的定义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•湖南期中）设M是抛物线y2＝6x上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，∠OFM＝120°，则|FM|＝2．【考点】抛物线的焦点弦及焦半径；抛物线的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】6．【分析】依题意确定直线FM的倾斜角，写出直线FM的方程，再与抛物线方程联立，求出M的坐标，利用抛物线的定义即可求解．解：由抛物线方程得抛物线的焦点F（32因为∠OFM＝60°，所以直线FM的倾斜角为60°，其斜率为3，M在第一象限，所以直线FM的方程为y=3（x−y2=6xy=3(x−解得x=92或x所以M（92，3所以|MF|=9故6．【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想，属于基础题．14．（2025春•盐城校级期中）已知抛物线C：x2＝4y焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，则|PF|＝2．【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】2．【分析】利用抛物线的定义进行距离转化即可求得．解：由抛物线的定义，因为抛物线C：x2＝4y焦点为F，所有|PF|等于点P到抛物线的准线y＝﹣1的距离，因为点P的横坐标为2，代入x2＝4y，解得yP故|PF|＝yP﹣（﹣1）＝1+1＝2．故2．【点评】本题考查抛物线定义的应用，属于中档题．15．（2025•天津模拟）过点（0，﹣2）且斜率为1的直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，已知直线l经过抛物线C的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣4）2＝64．【考点】抛物线的弦及弦长；根据抛物线上的点求抛物线的标准方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（x﹣6）2+（y﹣4）2＝64．【分析】根据直线l经过抛物线C的焦点，以及直线的斜率和所过点，可确定l的方程以及抛物线方程，联立l和抛物线方程，可得线段AB中点坐标以及线段AB长度，即圆心坐标和半径，故可求出以线段AB为直径的圆的标准方程．解：由已知，直线l：y＝x﹣2，l与x轴交于点（2，0），所以抛物线的焦点（2，0），抛物线C：y2＝8x，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线C，y=x−2y2=8所以y1+y2＝8，y1y2＝﹣16，所以线段AB中点坐标为（6，4），|AB|=2所以线段AB为直径的圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣4）2＝64．故（x﹣6）2+（y﹣4）2＝64．【点评】本题主要考查抛物线的弦及弦长，属于中档题．16．（2025•广东模拟）设抛物线y2＝2x的焦点为F，点A1，A2在抛物线上且FA1→+F【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；抛物线与平面向量．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】2．【分析】根据题意可得线段A1A2为抛物线y2＝2x的通径，从而可得解．解：因为抛物线y2＝2x的焦点为F，点A1，A2在抛物线上且FA所以线段A1A2为抛物线y2＝2x的通径，所以|A1A2故2．【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025•太原二模）如图，过点P（m，0）（m＞0）倾斜角为45°的直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两个不同点．当m=p2时，|PA（1）求抛物线E的方程；（2）设过点Q（﹣m，0）平行于AB的直线与抛物线E相交于C，D两个不同点，①求证：|PA|•|PB|＝|QC|•|QD|；②求四边形ABCD面积的最大值．【考点】由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数；抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）y2＝4x；（2）①证明过程见解析；②323【分析】（1）由题意，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可；（2）设出直线AB，CD的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式进行求证即可；②结合①中信息得到|AB|，|CD|的表达式，代入面积公式中，得到四边形ABCD面积的表达式，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解．解：（1）当m=设直线AB的方程为x=y+p2，A（x1，y1），B（x联立x=y+p2y2=2px，消去x由韦达定理得y1+y2＝2p，y1因为|PA|=(所以|PA解得p＝2，则抛物线E的方程为y2＝4x；（2）①证明：由（1）知抛物线E的方程为y2＝4x，设直线AB的方程为x＝y+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立x=y+my2=4x，消去x此时Δ＝16+16m＞0，由韦达定理得y1+y2＝4，y1y2＝﹣4m，此时|PA|=(所以|PA|•|PB|＝﹣2y1y2＝8m，设直线CD的方程为x＝y﹣m，C（x3，y3），D（x4，y4），联立x=y−my2=4x，消去x此时Δ＝16﹣16m＞0，解得0＜m＜1，由韦达定理得y3+y4＝4，y3y4＝4m，因为|QC|=2所以|QC|•|QD|＝2y3y4＝8m，则|PA||PB|＝|QC|•|QD|；②由①知|AB|CD直线AB与CD的距离d=因为AB∥CD，所以SABCD=1设f(可得f′(当0＜m＜223时，f′（m当223＜m＜1时，f′（m所以当m=223时，f（则四边形ABCD面积取最大值323【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．18．（2025春•青羊区校级期中）已知抛物线x2＝2py上一点A（2，y0）到抛物线焦点F的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点P的坐标为（0，﹣1），若过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，证明：直线AF平分∠MFN．【考点】直线与抛物线的综合；根据定义求抛物线的标准方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）x2＝4y；（2）证明过程见解析．【分析】（1）由题意，求出点A的坐标，利用抛物线的定义列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程；（2）将问题转化成求证kFM+kFN＝0，设出直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和斜率公式进行求证即可．解：（1）因为点A在抛物线上，所以A(2，因为点A(2，2p所以2p解得p＝2，则抛物线的方程为x2＝4y；（2）证明：因为F（0，1），所以AF∥x轴，要证直线AF平分∠MFN，需证kFM+kFN＝0，当直线l斜率不存在时，此时直线l与抛物线只有1个交点，不符合椭圆；所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立y=kx−1x2=4y，消去此时Δ＝16k2﹣16＞0，解得k＞1或k＜﹣1，由韦达定理得x1+x2＝4k，x1x2＝4，此时k=x则直线AF平分∠MFN．【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．19．（2025•内蒙古二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M(m，3)，其焦点为F，若|MF（1）求m的值以及抛物线C的方程；（2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、C与B、D四点，求四边形ABCD面积的最小值．【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）m=32，抛物线C的方程为y2（2）8．【分析】（1）根据题目所给信息，列出等式求解即可；（2）设出直线AC，BD的方程，将直线方程与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式以及四边形面积公式求解即可．解：（1）因为抛物线C过点M(所以(3因为抛物线C的焦点为F，且|MF|＝2，所以m+p解得p=1m=因为m＞p，所以p＝1，m=则抛物线C的方程为y2＝2x；（2）易知过F点的两条相互垂直的直线斜率均存在，且不等于零，设直线lAC：y=k(x−12)，直线lBD：y=−1k(x−12)，A（x1，y1），B联立y=k(x−12)y2=2x，消去y并整理得4k由韦达定理得x1因为|AC|＝|AF|+|CF|＝p+x1+x3，所以|AC联立y=−1k(x−12)y2由韦达定理得x2因为|BD|＝|BF|+|DF|＝p+x2+x4，所以|BD|＝2+2k2，因为AC⊥BD，所以S四边形当且仅当k2=1k2则四边形ABCD面积的最小值为8．【点评】