北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》全部导学案

引言：开启有理数的世界亲爱的同学们，从小学到初中，我们对数的认识一直在不断扩展。还记得我们最初认识的自然数，到后来的分数和小数吗？本章，我们将迎来一个新的“数”朋友——负数，由此进入有理数的广阔天地。这不仅是数的范围的扩大，更是我们数学思维的一次重要提升。有理数及其运算是整个初中数学的基础，学好这一章，将为我们后续的数学学习铺平道路。希望通过本导学案的引导，你能主动探索，积极思考，真正理解和掌握有理数的奥秘。2.1有理数学习目标：*理解负数的产生源于实际生活的需要。*掌握有理数的概念，能正确对有理数进行分类。*体会数学与生活的密切联系，培养数感。核心探究：1.情境引入——负数的“诞生”：我们在生活中经常会遇到这样的情况：*天气预报中，北京冬季某天气温是零下5摄氏度，如何表示？*小明家这个月的收入是3000元，支出了1500元，支出如何记录更清晰？*电梯从地面上升5层，又下降3层，下降的层数怎么表示？思考：这些例子中出现的量，有什么共同特点？我们以前学过的数够用吗？需要引入什么样的新数来表示这些与“上升”、“收入”、“零上”意义相反的量？2.有理数的概念：我们把像3，2，+0.5这样大于0的数叫做正数；像-3，-2，-0.5这样在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。特别地，0既不是正数，也不是负数。那么，我们学过的数现在可以分为哪些类型呢？*正整数：如1，2，3，...*零：0*负整数：如-1，-2，-3，...*正分数：如1/2，2/3，0.3（有限小数和无限循环小数都可以化为分数）*负分数：如-1/2，-2/3，-0.3整数和分数统称为有理数。3.有理数的分类：尝试根据上面的描述，对有理数进行分类。可以有不同的分类标准哦！*按定义分：有理数{整数{正整数,0,负整数}分数{正分数,负分数}}*按性质（正数、负数、零）分：有理数{正有理数{正整数,正分数}0负有理数{负整数,负分数}}思考：为什么说“整数和分数统称为有理数”？“有理”二字有什么含义吗？（可以查阅资料或请教老师，了解“有理数”名称的由来）巩固与反思：*你能举出一些正整数、负整数、正分数、负分数的例子吗？*0是有理数吗？为什么？*“所有的小数都是有理数吗？”这个问题你怎么看？（提示：想想无限不循环小数，比如π）2.2数轴学习目标：*理解数轴的概念，掌握数轴的三要素。*能正确地画出数轴，并在数轴上表示有理数。*初步体会数形结合的思想。核心探究：1.数轴的引入：我们已经认识了有理数，包括正数、负数和0。如何直观地表示这些数呢？我们小学时用直线上的点表示过自然数，那么有理数是不是也可以用直线上的点来表示呢？2.数轴的定义与三要素：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。*原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。*正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，用箭头表示。*单位长度：选取适当的长度作为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，...；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，...思考：这三个要素（原点、正方向、单位长度）对于数轴来说，为什么是缺一不可的？3.画数轴的步骤：（1）画一条水平的直线。（2）在直线上选取一点作为原点，并用这点表示数字0。（3）确定正方向（一般向右为正），用箭头表示。（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，...；从原点向左，依次标上-1，-2，-3，...动手画一画：按照上述步骤，画一条数轴。4.在数轴上表示有理数：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。*正数在原点的右边，负数在原点的左边，0用原点表示。例如：在你画的数轴上表示出3，-2，0，1.5，-1.5这些数。思考：数轴上的点是不是都表示有理数呢？（这个问题我们后续会深入探讨）巩固与反思：*画数轴时，要注意哪些常见的错误？（比如：没有原点、没有正方向、单位长度不统一等）*数轴上，表示-3的点在原点的哪一侧？距离原点几个单位长度？表示5的点呢？*你能说出数轴上的点所表示的数吗？（可以同桌互相画数轴并标注点，让对方说出表示的数）2.3绝对值学习目标：*理解绝对值的几何意义和代数定义。*会求一个有理数的绝对值。*能利用绝对值比较两个负数的大小。核心探究：1.绝对值的几何意义——“距离”：观察数轴：*表示3的点到原点的距离是多少？*表示-3的点到原点的距离是多少？*表示0的点到原点的距离是多少？我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。例如：|3|=3，因为表示3的点到原点的距离是3个单位长度；|-3|=3，因为表示-3的点到原点的距离也是3个单位长度。2.绝对值的代数定义：根据绝对值的几何意义，我们可以得到：*一个正数的绝对值是它本身；*一个负数的绝对值是它的相反数；*0的绝对值是0。用式子表示就是：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a。思考：这里的“-a”一定是负数吗？（提示：当a是负数时，-a是正数）3.绝对值的性质：*任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。*互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|。你能举例说明这两条性质吗？4.利用绝对值比较两个负数的大小：我们知道，在数轴上，右边的数总比左边的数大。对于两个负数，例如-5和-3，哪个更大呢？在数轴上表示出-5和-3，-3在-5的右边，所以-3>-5。观察它们的绝对值：|-5|=5，|-3|=3。因为5>3，所以-5<-3。结论：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。试一试：比较-2和-1.5的大小。巩固与反思：*计算：|5|=？|-2.5|=？|0|=？|-1/3|=？*若|x|=4，那么x等于多少？*比较下列各组数的大小：（1）-3和-7（2）-0.5和-0.3（3）-1/2和-2/32.4有理数的加法学习目标：*经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法的意义。*掌握有理数加法法则，并能熟练进行有理数的加法运算。*能运用有理数加法解决简单的实际问题。核心探究：1.情境引入——有理数加法的“魅力”：我们已经会计算正数与正数的加法，如3+2=5。如果引入负数，加法会变得怎样呢？*小明在一条东西走向的跑道上跑步，向东为正。（1）如果他先向东跑了3米，又向东跑了2米，他现在在起点的哪个方向？距离起点多远？可列式为：(+3)+(+2)=?（2）如果他先向西跑了3米，又向西跑了2米，他现在在起点的哪个方向？距离起点多远？可列式为：(-3)+(-2)=?（3）如果他先向东跑了3米，又向西跑了2米，他现在在起点的哪个方向？距离起点多远？可列式为：(+3)+(-2)=?（4）如果他先向西跑了3米，又向东跑了2米，他现在在起点的哪个方向？距离起点多远？可列式为：(-3)+(+2)=?（5）如果他先向东跑了3米，又向西跑了3米，他现在在哪里？可列式为：(+3)+(-3)=?（6）如果他先向西跑了3米，然后原地不动，他现在在哪里？可列式为：(-3)+0=?2.有理数加法法则的归纳：结合上面的例子，以及更多的尝试，我们来总结有理数的加法法则：*同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。即：(+a)+(+b)=+(a+b)(a,b为正数)；(-a)+(-b)=-(a+b)(a,b为正数)。*异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。即：(+a)+(-a)=0；(+a)+(-b)=+(a-b)(a>b,a,b为正数)；(-a)+(+b)=-(a-b)(a>b,a,b为正数)。*一个数同0相加，仍得这个数。即：a+0=a。3.有理数加法的运算步骤：（1）确定和的符号；（2）求出和的绝对值（根据法则进行加减）。例题：计算（1）(-4)+(-5)（2）(+6)+(-8)（3）(-3)+9（4）0+(-7)巩固与反思：*计算下列各题：（1）(-7)+(-3)（2）(+5)+(+8)（3）(-12)+(+12)（4）(-6)+0（5）(-3.5)+(+2.5)（6）1/4+(-3/4)*两个有理数相加，和一定大于每个加数吗？举例说明。*小明在计算a+(-3)时，误算成a-(-3)，结果为5，则正确的结果应该是多少？2.5有理数的减法学习目标：*理解有理数减法的意义。*掌握有理数减法法则，能熟练进行有理数的减法运算。*体会转化的数学思想（将减法转化为加法）。核心探究：1.温故知新——减法的“前世今生”：在小学，我们知道减法是加法的逆运算。例如，5-3=2，因为2+3=5。那么，有理数的减法是否也是加法的逆运算呢？如何计算3-(-2)这样的式子呢？2.有理数减法法则的探究：我们来看一个问题：某地一天的气温是-3℃~4℃，这天的温差（最高气温减最低气温）是多少？最高气温是4℃，最低气温是-3℃，温差就是4-(-3)。我们知道，温差也可以理解为最高气温+最低气温的绝对值，即4+3=7℃。所以，我们有理由猜想：4-(-3)=4+3=7。再举几个例子：*(-5)-2=?我们希望找到一个数x，使得x+2=-5。因为(-7)+2=-5，所以(-5)-2=-7。而(-5)+(-2)=-7。所以(-5)-2=(-5)+(-2)。*3-5=?因为(-2)+5=3，所以3-5=-2。而3+(-5)=-2。所以3-5=3+(-5)。由此，我们可以归纳出有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示：a-b=a+(-b)3.有理数减法的运算步骤：（1）将减号变为加号；（2）将减数变为它的相反数；（3）按照有理数加法的法则进行计算。例题：计算（1）(-3)-(-5)（2）0-7（3）7.2-(-4.8)（4）-3/4-1/2巩固与反思：*计算下列各题：（1）6-9（2）(-4)-(-9)（3）(-5)-0（4）1-(+3)（5）(-2.5)-4.5（6）-1/3-(-2/3)*海拔高度为-50米，表示比海平面低50米，若某地海拔高度为200米，那么两地的高度差是多少米？*若a=-2，b=-3，则a-b的值是多少？2.6有理数的加减混合运算学习目标：*理解有理数加减混合运算统一为加法运算的意义。*掌握有理数加减混合运算的方法，并能熟练进行计算。*能运用运算律简化运算。核心探究：1.从“代数和”看加减混合运算：我们已经学习了有理数的加法和减法。对于一个含有加减混合运算的式子，例如：(-8)-(+10)+(-6)-(-4)，如何进行计算呢？根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，我们可以把式