初中七年级的下册数学几何压轴题集锦

几何学习，尤其是平面几何，是初中数学的重要组成部分，它不仅锻炼我们的逻辑思维能力，也为后续更复杂的数学学习奠定基础。七年级下册的几何内容，在相交线、平行线的基础上，引入了三角形的初步知识，包括三角形的边、角关系，全等三角形的概念与判定等。这些知识点综合起来，常常构成试卷末尾的“压轴题”，成为检验同学们几何素养和解题能力的试金石。下面，我们就针对七年级下册几何的重点和难点，选取几道具有代表性的压轴题进行分析与探讨，希望能为同学们的学习提供一些帮助。一、相交线与平行线的综合应用相交线与平行线是平面几何的入门基础，但其综合应用题目往往灵活多变，能够很好地考察同学们的逻辑推理能力和空间想象能力。题目1：已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P。求证：EP⊥FP。思路点拨：要证明EP⊥FP，即要证明∠EPF=90°。因为AB∥CD，根据平行线的性质，同旁内角互补，所以∠BEF+∠DFE=180°。又因为EP、FP分别是∠BEF和∠DFE的角平分线，所以可以将∠PEF和∠PFE用∠BEF和∠DFE表示出来，进而求出∠EPF的度数。简要解答：∵AB∥CD（已知）∴∠BEF+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE（已知）∴∠PEF=1/2∠BEF，∠PFE=1/2∠DFE（角平分线定义）∴∠PEF+∠PFE=1/2(∠BEF+∠DFE)=1/2×180°=90°在△EPF中，∠EPF=180°-(∠PEF+∠PFE)=180°-90°=90°（三角形内角和定理）∴EP⊥FP（垂直定义）题目2：如图，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠AOC和∠COB。（1）求∠DOE的度数；（2）若将“∠AOB=120°”改为“∠AOB=α”，其他条件不变，求∠DOE的度数；（3）若OC是∠AOB内任意一条射线，OD、OE分别平分∠AOC和∠COB，∠AOB=α，求∠DOE的度数。由此你能得出什么结论？思路点拨：这道题主要考察角平分线的定义以及角的和差关系。第（1）问是特殊角度，直接计算即可。第（2）问将特殊角改为字母α，方法类似，体现从特殊到一般的思想。第（3）问进一步放宽条件，OC是任意射线，通过同样的方法推导，可以发现∠DOE的度数与OC的位置无关，只与∠AOB的度数有关。简要解答：（1）∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB∴∠AOC=∠COB=60°∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB∴∠DOC=1/2∠AOC=30°，∠COE=1/2∠COB=30°∴∠DOE=∠DOC+∠COE=30°+30°=60°（2）∵∠AOB=α，OC平分∠AOB∴∠AOC=∠COB=α/2∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB∴∠DOC=1/2∠AOC=α/4，∠COE=1/2∠COB=α/4∴∠DOE=∠DOC+∠COE=α/4+α/4=α/2（3）∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB∴∠DOC=1/2∠AOC，∠COE=1/2∠COB∴∠DOE=∠DOC+∠COE=1/2(∠AOC+∠COB)=1/2∠AOB=α/2结论：无论OC在∠AOB内部如何转动，只要OD、OE分别平分∠AOC和∠COB，那么∠DOE始终等于∠AOB的一半。二、三角形内角和与外角性质的深化三角形的内角和定理及其推论（外角性质）是解决三角形角度计算与证明的核心依据，常常与角平分线、高线、中线等知识点结合，形成综合性题目。题目3：如图，在△ABC中，∠A=40°，点D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E。求∠E的度数。思路点拨：要求∠E的度数，需要在△BCE中利用三角形内角和定理。已知∠A的度数，可尝试找出∠E与∠A之间的数量关系。∠ACD是△ABC的外角，等于∠A+∠ABC。而BE、CE分别是∠ABC和∠ACD的平分线，这是重要的突破口。简要解答：∵CE平分∠ACD，BE平分∠ABC（已知）∴∠ECD=1/2∠ACD，∠EBC=1/2∠ABC（角平分线定义）∵∠ACD是△ABC的外角（已知）∴∠ACD=∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠ECD=1/2(∠A+∠ABC)=1/2∠A+1/2∠ABC∵∠ECD是△BCE的外角（已知）∴∠ECD=∠E+∠EBC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠E=∠ECD-∠EBC=(1/2∠A+1/2∠ABC)-1/2∠ABC=1/2∠A∵∠A=40°（已知）∴∠E=1/2×40°=20°题目4：已知：如图，在△ABC中，∠B>∠C，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC。求证：∠DAE=1/2(∠B-∠C)。思路点拨：要证明∠DAE与∠B、∠C的关系，需要将∠DAE用已知角表示出来。AD是高，所以∠ADB=90°，∠BAD=90°-∠B。AE是角平分线，所以∠BAE=1/2∠BAC。而∠BAC=180°-∠B-∠C，由此可以建立起∠DAE=∠BAE-∠BAD的关系式，进而推导。简要解答：∵AD是BC边上的高（已知）∴∠ADB=90°（高的定义）∴∠BAD=90°-∠B（直角三角形两锐角互余）∵AE平分∠BAC（已知）∴∠BAE=1/2∠BAC（角平分线定义）∵在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C（三角形内角和定理）∴∠BAE=1/2(180°-∠B-∠C)=90°-1/2∠B-1/2∠C∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=[90°-1/2∠B-1/2∠C]-[90°-∠B]=90°-1/2∠B-1/2∠C-90°+∠B=1/2∠B-1/2∠C=1/2(∠B-∠C)三、三角形全等的判定与性质的应用全等三角形的判定（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）及其性质（对应边相等，对应角相等）是七年级下册几何的重点和难点，也是压轴题的常客。这类题目往往需要通过构造辅助线、利用等量代换等方法来寻找全等条件。题目5：已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点E、F。求证：OE=OF。思路点拨：要证明OE=OF，可以考虑证明它们所在的三角形全等，比如△AOE和△COF。已知O是AC的中点，所以AO=CO。根据AB=CD，AD=BC，可以先证明△ABC和△CDA全等，从而得到AD∥BC，进而得到内错角相等，为证明△AOE和△COF全等提供条件。简要解答：在△ABC和△CDA中，AB=CD（已知）BC=DA（已知）AC=CA（公共边）∴△ABC≌△CDA（SSS）∴∠DAC=∠BCA（全等三角形对应角相等）即∠EAO=∠FCO∵O是AC的中点（已知）∴AO=CO（中点定义）在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO（已证）AO=CO（已证）∠AOE=∠COF（对顶角相等）∴△AOE≌△COF（ASA）∴OE=OF（全等三角形对应边相等）题目6：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。（1）求证：DE+DF=AB；（2）若点D在BC的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，DE、DF、AB之间又有怎样的数量关系？请说明理由。思路点拨：第（1）问，要证明DE+DF=AB。由于AB=AC且∠BAC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形。DE⊥AB，DF⊥AC，可考虑证明四边形AEDF是矩形，或者通过证明△BDE与△CDF的关系，再结合线段的和差来推导。第（2）问是变式探究，点D在BC延长线上，图形发生变化，结论可能也会变化，需要重新画图分析。简要解答：（1）∵∠BAC=90°，DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠AED=∠AFD=∠BAC=90°∴四边形AEDF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）∴DF=AE（矩形对边相等）∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C=45°（等边对等角，三角形内角和定理）∵DE⊥AB（已知）∴∠BED=90°∴∠BDE=180°-∠BED-∠B=45°（三角形内角和定理）∴∠B=∠BDE∴DE=BE（等角对等边）∵AB=BE+AE∴AB=DE+DF（2）当点D在BC的延长线上时，（1）中的结论不成立，此时DE-DF=AB。理由如下：∵∠BAC=90°，DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠AED=∠AFD=∠BAC=90°∴四边形AEDF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）∴DF=AE（矩形对边相等）∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠DCF=∠ACB=45°（对顶角相等）∵DF⊥AC（已知）∴∠DFC=90°∴∠CDF=180°-∠DFC-∠DCF=45°（三角形内角和定理）∴∠DCF=∠CDF∴DF=CF（等角对等边）同理可证，∠B=∠BDE=45°，∴DE=BE∵BE=AB+AE=AB+DF∴DE=AB+DF∴DE-DF=AB学习建议与总结几何压轴题的解决，不仅仅依赖于知识点的记忆，更重要的是思维能力的培养和解题方法的积累。以下是几点建议：1.夯实基础，串联知识：熟练掌握相交线、平行线的性质与判定，三角形的边、角关系，全等三角形的判定方法与性质是解决压轴题的前提。要将这些知识点融会贯通，形成知识网络。2.仔细审题，分析图形：拿到题目后，要仔细阅读题干，明确已知条件和求证（或求解）目标。认真观察图形，识别基本图形，挖掘图形中隐含的条件（如对顶角、公共边、公共角等）。3.学会转化，添加辅助线：当直接证明或求解有困难时，要学会通过添加辅助线构造全等三角形、直角三角形或平行线等，将复杂问题转化为简单问题。辅助线的添加是几何学习的难