2025-2026学年下学期天域全国名校协作体2026届高三4月联考数学试卷含答案试卷（含答案）

绝密★使用前高三数学学科练习注意事项:1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.4.结束后,只需上交答题纸.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x∥x∣<A.{0,1}B.{2.已知复数z=1+i，则复数zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在△ABC中，若AB=2,ACA.30°B.120°C.135°D.150°4.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形,图中四边形ABCD的对角线相交于点O，已知AB=BC=CD=A.1B.-1C.0D.25.将椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线,交椭圆的上半部分于A.12B.513C.126.已知cosα+β=1A.-3B.3C.−137.已知函数fx=2x+1,x≤0lnx+1,xA.2−32ln328.已知集合M={1,2,…,9}，现随机选取M中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为X，A.32B.53C.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分.9.如果a,b,A.若a>b,则1a<1bB.若C.若a>b,c>d,则ac>bd10.已知四棱锥B−ACC1A1中,M为BC1的中点,AA1⊥平面ABC,CCA.A1M//B.平面BA1C1C.三棱锥B−CCD.直线A1B与平面BCC111.在平面直角坐标系中,O为坐标原点.在曲线C:y=ex−1x≥0上取点Bnbn,eA.b1=C.∃D.∀三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知等比数列an的公比为q,若a4−a613.若在x+ax5的二项展开式中，x3项的系数为14.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点，P为C上的动点，过点E4,6的直线与C相交于A,B两点，记线段AB四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了100名，统计他们的成绩(满分100分)，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计参加这次竞赛的学生成绩的第85百分位数和平均数;(2)若在抽取的100名学生中，利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于60分的学生中随机抽取8人，再从8人中随机选择3人作为学生代表，设被选中的“航天达人”人数为随机变量X,求X的分布列.16.(本小题15分)如图,四棱锥P−ABCD中,PA=PC,DP=6,BP=63,底面ABCD(2)若E是AP的中点，G是PC的中点，点F满足PF=2FB，平面EFG与棱PD交于点H,求17.(本小题15分)已知函数fx=logax+x,g(1)当a=1e时，求(2)当a>1时，讨论g(3)若不等式fx<gx+2x18.(本小题17分)已知O为坐标原点，点A,B,C是焦距为4的双曲线Γ:x2a2−y2b2=1上的三个点，(1)求双曲线Γ的方程；(2)若直线AB与l1,l2分别交于M和N，求证:(3)判断△PQR19.(本小题17分)已知函数fx(1)若a=0,b=π(2)若a=π4,b=3π4(3)若对于满足a2+b2≥m的所有a,b，都存在x0数学答案与评分标准一、单项选择题:题号12345678答案CCBACDAB二、多项选择题:题号91011答案BDABDABD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.23四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)第85百分位数位于累计频率首次超过0.85的区间[80,设第85百分位数为x,则:0.70+0.02解得:x=87.5平均数=45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.20+95×0.10=72.55分答:第85百分位数约为87.5分,平均数为72.5分.6分(2)非航天达人与航天达人人数比为5:3，故从8人中抽取非航天达人5人，航天达人3人8分X的可能取值为0,1,2,3PPX=2=C5所以随机变量X的分布列为X0123P521515113分16.(1)设AC∩BD=O,AC⊥BD,∵PA=PC,O是AC中点，∴PO⊥AC又∵PD⊂平面PBD∵DP∵AC∩BD=O,AC,BD⊂(2)由(1)得直线DA,DC,DP两两垂直，以点D为原点，直线DA,DCDC=6,则D0,0FE=−由点H∈平面EFG,得FH即−4,−4,t因此t17.(1)f′令xlna+1=0,得x=−1lna当x∈0,1时,f′x<0当x∈1,+∞时,f′x所以x=1是极小值点,无极大值点(2)g′x=axlna−1又因为当a>1时,g所以当x<x0时,g′x<当x>x0时,g′x>0,(3)依题ax+x>logax+x，∴ax>logax恒成立，可得∴ax>x,即g①当a≥e时，g②当1<a<e时，由(2)当x=x0时，gx取得极小值，也是最小值12分所以gx的最小值为gx0=ax0−x0=1lna+lnln所以e1e综上,实数a的取值范围是e1e18.(1)由l1垂直l2，得a双曲线的焦距为4,故c=2知双曲线Γ:x2(2)易知∠MON=90∘，只需证明P为线段MN当AB斜率不存在时显然成立6分一方面,当AB斜率存在时,设AB:y=k1x+m和N−m11+k1,m1另一方面,联立AB:y=k1x+m1结合韦达定理可知Pk1综上可知,P为MN中点,证毕.(3)方法一:由对称性可知，若△PQR外接圆过定点，则定点为坐标原点O下面证明:O,P,Q注意到,AB,AC和BC中,至少有两条直线的斜率存在,不妨AB设AB:y由(2)知，k1kOP=1,tan∠CAB=k2−k11+k2k1故∠PQR+∠POR=π，即方法二:由对称性可知,若▵PQR外接圆过定点,则定点为坐标原点O下面证明:O,P12分14分16分17分-1分19.(1)a=0,b如图所示:P,R△OMN,△记∠PON可知∠=90∠ROP可知∠ROP于是