人教版八年级数学下册举一反三专题216期末复习之填空压轴题十五大题型总结(学生版+解析)(八年级下册)

专题2L6期末复习之填空压轴题十五大题型总结

【人教版】

，题型梳理

【逑型।二次根式的性质与化色】................................................................1

【题型2二次根式的运算】......................................................................1

【题型3利用勾股定理构造直角三角形】.........................................................2

【题型4勾股定理与分类讨论思想结合】.........................................................2

【题型5勾股定理及其逆定理与网格作图】.......................................................3

【题型6由平行四边形的性质求值】.............................................................4

【题型7确定组成平行四边形点的个数】.........................................................5

【题型8平行四边形的应用】....................................................................6

【题型9矩形、菱形、正方形与勾股定理的综合运用】.............................................8

【题型10矩形、菱形、正方形与全等三角形的综合运用】..........................................9

【题型11与一次函数有关的面积问题】...........................................................10

【题型12由一次函数的性质求取值范围】.........................................................11

【题型13一次函数的应用】....................................................................11

【题型14数式或图形中规律问题】...............................................................13

【题型15数式或图形中新定义何题】............................................................14

，举一反三

【题型1二次根式的性质与化简】

【例1】（2024八年级•浙江•期末）已知Q+b+c+3=2Va+4A历=I+2A/C^2,则Q+b+c的值

是.

【变式1-1］（2024八年级•浙江温州•期末）已知77=11一|7-x\+-9尸=3y-2,则2A-18/=.

【变式1-2］（2024八年级•浙江杭州•期末）已知工0,若整数a满足m+a=5企，则

【变式1-3）（2024八年级•四川成都•期末）若m=j==-,则布-病-2017^+2015=

V2016—1

【题型2二次根式的运算】

［ft2］（2024八年级•江苏常州•期末）若（2+遍）（2+7九）的积是有理数，则无理数〃?的值为

【变式2-1］（2024八年级•安徽合肥•期末）化简并计算：〒卡不++

Vx（Vx-l）（Vx+l）（Vx+2）

1（结果中分母不含根式）

(a+2)(C+3)…(Vx+19)(Vx+20)

［变式2-2］（2024八年级•吉林・单元测试）已知6--V4-x2=2近,则V16-N+、4一M二

【变式2-3］（2024八年级•浙江宁波・期末）已知«+义=3,M0<x<1,则下口二

Vx^JX2+9X-1---------

【题型3利用勾股定理构造直角三角形】

【例3】（2024八年级•山东日照・期末）已知｛52+122=13,从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三

角形的两直角边分别为5、12,计算结果为斜边13,同理计算/3>0）可以看成直角边分别为Q、8,

结果为斜边长度，利用此原埋并结合图形解决问题：已知Q+匕=15（。>O.b>0）,计算后转+7bz+25

的最小值为一.

【变式3-1］（2024八年级•广东深圳•期末）如图，ZBAC=9O8,AB=AC,AE1AD,且AE=AD,AF平

分/DAE交BC于凡若BD=6,CF=8,则线段A。的长为.

【变式3-2］（2024•天津滨海新•八年级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A,B为小正方

形边的中点，C,。为格点，E为BA,CO的延长线的交点.

（叵）的长等于；

（（2）若点N在线段86匕点M在线段CE上，且满足4N=NM=MC,请在如图所示的网格中，用无刻度的

直尺，画出线段MN,并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证

明）..

【变式3-3］（2024八年级•湖北恩施•期末）如图，一个长方体纸箱，长是6,宽和高都是4,一只蚂蚁从顶

点A沿纸箱表面爬到顶点B,它所走的最短路线的长是.

B

【题型4勾股定理与分类讨论思想结合】

【例4】（2024•河南•八年级期末）如图，在△力8c中，Z-BAC=120%48=AC=3,点。为边AB的中点,

点E是边BC上的一个动点，连接DE,将ABDE沿OE翻折得到△夕DE,线段夕。交边BC于点F.当△OEF为

直角三角形时，BE的长为

【变式4-1］（2024八年级•辽宁沈阳•期末）在AABC中，A.ACB=90°,AC=BC,过点C作AB的平行线

点P是直线［上异于点C的动点，连接4P,过点P作4P的垂线交直线BC于点D.若4c=7/，4P=25,则线

【变式4-2］（2024八年级•辽宁大连•期末）如图，在△48C中，AC=BC,^ACB=90°,AB=8,点。是

边力8上的一个动点，连接CD,过点。作CE1C。，使CE=CD,连接。E,点尸是DE的中点，连接C尸并延

长，交力8边所在直•线•于点G,若BG=2,则力。的长为.

【变式4-3］（2024八年级•上海闵行•期末）在△力BC中，AB=AC,BC=4,如果将△48。折叠，使点8

与点A重合，且折痕交边48于点M,交边BC于点M如果△C4N是直角三角形，那么△力8c的面积是.

【题型5勾股定理及其逆定理与网格作图】

【例5】（2024•天津河东•八年级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△力8c的顶点4B,

。均落在格点上.

①线段AC的长等于；

②在射线8C上有两点尸，Q,满足4。_L8。且乙1QC=4B4P,诗用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，

画出点尸，点Q,并简要说明点P,点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.

【变式5-1]（2024八年级•北京朝阳•期末）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线的交点,

则弘BC与aBC。的大小关系为：^ABCWCD.（填“>〃，"="或"V"）

【变式5・2】（2024八年级•浙江•期末）如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：连结三格和两

格的对角线，乙8的度数是

【变式5-3]（2024・山西吕梁•八年级期末））如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段BC,

BD,QE的端点均在格点上，线段48和。£交于点尸，则。尸的长度为

【题型6由平行四边形的性质求值】

【例6】（2024•陕西西安•八年级期末）如图，回力中，AB=3,AD=2,乙DAB=60°,DF1AB,BE1CD；

垂足分别为点/和E.点G和〃分别是DF和8E上的动点，GH\\AB,那么AG+GH+CH的最小值为.

【变式6-1］（2024八年级•海南省直辖县级单位•期末）如图，四边形A8CD是平行四边形，以点8为圆心,

8c的长为半径作弧交AD于点E,分别以点C,E为圆心，大于：CE的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线

8P交40的延长线于点F,Z-CBE=60°,BC=4,则的长为.

【变式6-2］（2024八年级•黑龙江哈尔滨•期末）如图，在团48CD中，E、/在4D,BC边上，DE=2BF,连

接BE交AC于G.LAGB=2LCAF,若BE=5,AF=4,则线段4c的长为.

【变式6-3］（2024八年级•浙江杭州•期末）如图，在财BCD中,对角线"、80相交于点。，点E、尸分别

是边AC、4B上的点，连接0E、OF、EF.若AB=7,BC=572,/-DAB=45°,贝ij

①点。到直线48的距离是.

②△0E/周长的最小值是.

【题型7确定组成平行四边形点的个数】

［例7］（2024八年级•福建泉州•期末）如图，在四边形ABCD中,AD||BC,AD=6cm,BC=10cm,点P从

点力出发，以lcm/s的速度向点。运动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点Q运

动到点B时，点尸也随之停止运动.若设运动的时间为t秒，当亡=时，在＜、B、C、0、P、Q六

点中，恰好存在四点可以组成平行四边形.

【变式7-1]（2024八年级•山东烟台・期末）如图，平行四边形4BC。中，入8=6cm,AD=9cm,点P在人。

边上以每秒1cm的速度从点A向点。运动，点。在4c边上，以每秒3cm的速度从点C出发，在C4间往

返运动，两个点同时出发，当点P到达点。时停止（同时点Q也停止），设运动时间为/秒.在运动以后,

【变式7-2]（2024八年级•河北•课后作业）在△48C中，ZC=90°,AC=3,AB=5,若以A、B、C、P

四点为顶点组成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长为—.

【变式7-3]（2024•广东•八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,动点M从点D出发，按

折线D-C-B-A-D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D-A-B-C-D方向以lcm/s

的速度运动.若动点M、N同时发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm,经过一秒钟，

点A、E、M、N组成平行四边形.

【题型8平行四边形的应用】

【例8】（2024八年级•浙江金华・期末）图1是四连杆开平窗较琏，其示意图如图2所示，MN为滑轨，

AB、CE、PC、PD为固定长度的连杆.支点4固定在MN上，支点8固定在连杆CE上，支点。固定在连杆A8

上.支点尸可以在MN上滑动，点P的滑动带动点B、C、D.E的运动.已知MN=30cm,4M=1cm,4D=

15cm,PC=BD=5cm,PD=BC=BE=9cm.窗户在关闭状态下，点8、C、。、七都在滑凯MN上.当

窗户开到最大时，BC1MN.

（1）若乙月员?=90。，则支点户与支点A的距离为cm：

（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为cm.

E

B,

图1图2

【变式8-1]（2024八年级•四川成都•期末）如图,某景区湖中有一段“九曲桥〃连接湖岸A,B两点,“九曲

桥"的每一段与AC平行或BD平行，若AB=100m,团A=E）B=60。，则此“九曲桥〃的总长度为.

【变式8-2]（2024八年级•四川成都・期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个

小等边三角形的顶点为格点.线段4B的端点在格点上，要求以力8为边画一个平行四边形，且另外两个顶点

在格点上，则最多可画个平行四边形.

【变式8-3]（2024•浙江温州•八年级期末）如图1木工师傅将三块不全等的的平行四边形木板拼成了一个

邻边长为5和12的大的平行四边形木板，然后通过裁剪又拼成了一个不重叠，无缝隙的大正方形木板如（图

2）,数据如图所示，记图1中三个小平行四边形的中心分别为4,B,C,点A,C的图2中的对应点记

为公,Ci，连结和CiS当=&CIH、LMN的长为.

4

图1图2

【题型9矩形、菱形、正方形与勾股定理的综合运用】

【例9】（2024八年级•天津西青•期末）如图，在菱形48CD中，点£是的中点，连接BE,点。是82?的

则4P的长等于.

【变式9-1］（2024八年级•重庆北硝•期末）如图，将矩形纸片48co沿EF对折，使点8落在47上点H处,

再次沿对折,对折后点。恰好与点尸重合.若四边形EFG”是菱形，则黑=

【变式9-2］（2024八年级•贵州贵阳•期末）阅读理解：平面内任意两点（右,月），（X2，为）的距离可以表示为

/（/一不）2+（力一为）2,反之，，（勺一0）2+（%—乃）2表示点（小,力）与点（不，为）之间的距离•尝试利用

阅读内容解决问题：如图，在正方形48。。中，M为AD工一点、,且黑=：,七，尸分别为C。上的动点，

MD1

且8E=2DF,若4B=4,则ME+2力尸的最小值是.

【变式9-3］（2024八年级•湖北・期末）如图，四边形48CD中，LABC=^ADC=90°,AD=CD,E点、是B

点关于CO所在直线的对称点，连AE、CE、DE,若48=4,BC=3,则力£的长为.

B

【题型io矩形、菱形、正方形与全等三角形的综合运用】

【例10]（2024八年级•河南渊可•期末）如图,在矩形IBCD中，点E,F分别时边48,IC的中点,连接EC,

FD,点G,H分别时EC,FO的中点，这接GH,苦A8=4,BC=6,则GH的长度为.

【变式10-1]（2024八年级•重庆九龙坡•期末）如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,£是8c的中点,

将AECD沿直线ED翻折至矩形ABC。所在平面内，得到△EC'D,连接BC',并延长BC'交40于点F,则

【变式10-2]（2024•辽宁沈阳•八年级期末）如图，在正方形4BCD中，点E是边8C上的一点，点尸在边CD的

延长线上，且BE=DF,连接EF交边4。于点G.过点4作4N1EF,垂足为点M,交边CD于点、N.若BE=5,

CN=8,则线段AB的长为

【变式10-3]（2024八年级•辽宁丹东期末）如图，正方形/4BCD,点E是射线48上的动点，过点E作EFIIDB,

交直线于点入连接。E,取DE中点;G,连接FG并延长交直线DB于点H,若力B=4,EB=3,则FH的长

【题型11与一次函数有关的面积问题】

【例11】（2024八年级•浙江丽水・期末）已知直线Hy=kx+2+k（k芋0）和直线＜：y=x+3.若直线。、

。与y轴所围成的三角形面积记作5.

（1）当k=-l时，S的值是；

（2）当2WSW3时，k的取值范围是.

【变式11-1】（2024八年级•安徽芜湖•期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原

点的一条直线/将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线/和八个正方形的最上面交点为A,则直线

【变式11-2]（2024八年级•辽宁沈阳•期末）如图：在平面直角坐标系内有长方形。力8C,点4C分别在y轴,

》轴上，点。（4,3）在力8上，点E在OC上，沿DE折叠，使点B与点。重合，点C与点G重合.若点P在坐标轴

【变式11-3】（2024八年级•江苏泰州•期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形A8C。点A的坐标

（3.2）,点C的坐标（7,4）,直线y=-x以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过秒该直线可

将平行四边形ABCD的面积平分.

【题型12由一次函数的性质求取值范围】

【例121（2024八年级•甘肃张掖•期末）一次函数为=依-l（k芋0）与力=r+2的图象如图所示,当％<1

时，％<%，则满足条牛的火的取值范围是

【变式12-1】（2024八年级•福建宁德•期末）一次函数丫=kx—3的图象与x轴的交点坐标为（勺，0），且2工

x0<3,则&的取值范围是.

【变式12-2】（2024八年级•安徽合肥•期末）已知一次函数y=kx-4-k（〃H0）.

（1）无论女取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是：

（2）在平面直角坐标系中有一条线段48,其中为（-1,2）,8（4,1）,若这个一次函数的图象与线段4?相交，

则A的取值范围是.

【变式12-31（2024八年级•安徽合肥・期末）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点.已

知一次函数月=-x+2,y2=kx-k+1.

（1）若k=L贝的1、的图象与％轴围成的区域内（包括边界）有个整点；

（2）若％、的图象与x轴围成的区域内恰有6个整点，则k的的取值范围是.

【题型13一次函数的应用】

【例13】（2024八年级•重庆璧山•期末）2019年春，在一次长跑拉力赛中，小明和小赵运动的路程S（千

米）随时间I（分）变化的图象（全程）如图所示.当两人行驶到离出发点4.5千米时第一次相遇，请问两

人比赛开始后分钟时第二次相遇.

【变式13-1】（2024八年级•安徽合肥•期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往8地.乙车出发lh后，甲

车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达B地并停留30分钟后，乂以原速按原路线返回，直至与乙相遇.图

中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离），（km）与甲车行驶的时间大（h）的函数关系的图象，

则

（1）a=.

【变式13-2】（2024八年级•重庆・期末）在一次趣味运动会中，"抢种抢收”的比赛规则如卜.：全程50米的

直线跑道，在起点和终点之间，每隔10米放置一个小桶，共四个，参赛者用手托着放有4个乒乓球的盘子,

在从起点跑到终点的过程中，将四个乒乓球依次放入4个小桶中（放入时间忽略不计），如果中途乒乓球

掉出小桶，则需要返回将乒乓球放回桶中，率先到达终点者获胜.小明和小亮同时从起点出发，以各自的

速度匀速跑步前进，小明在放入第一个乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第一个桶的旁边，且落地后

不再移动，但他并未发现，继续向前跑了一段距离，被裁判员提醒后立即原速返回捡球，并迅速放回桶中

（捡球时间忽略不计），为了赶超小亮，小明将速度提高了1米/秒，小明和小亮之间的距离）（米）和出

发时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则小明在掉出乒乓球后又继续跑了米后开始返回.

【变式13-3]（2024八年级•重庆巴南•期末）甲、乙两车分别从4B两地同时相向匀速行驶.当乙车到达A地

后，继续保持原速向远离8的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一

段时间后两车同时到达C地.设两车行驶的时间为“（小时），两车之间的距离为y（千米），y与％之间的函

数关系如图中的折线OE-EF-FG所示，其中点。的坐标为（0,300）,点E的坐标为（3,0）,则的面积

为.

【题型14数式或图形中规律问题】

【例14]（2024・广西北海•八年级期末）如图，直线y=-x+l与两坐标轴分别交于A,8两点，将线段04分

成〃等份，分点分别为Pl，P2，P3，…,Pn.1，过每个分点作X轴的垂线分别交直线AB于点71，72，73，…,Tn_1，

用工,$2~3，…,Sn_1分别表示RtATiOPi，Rt2\72PlP2，…,&△G^Pn_2Pn的面积，则S1+S2+S3+

…+Sn-1=-

【变式14-1】（2024八年级•湖南常德•期末）观察下列分母有理化

11­(V2-1)_V2-1

=V2-1

V2+V1-(V2+1)-(V2-1)"(V2)2-P

-F-F=V3-V2

占="一后..

V4+>/3

从计算结果中找出规律

（高+++…+v^023-x^022）«2。23+1）=-------.

【变式14-21（2024八年级•广东云浮・期末）如图，A47C是边长为1的等边三角形，取BC边中点£作

EF//AC,得至IJ四边形EZZ4F,它的周长记作G：取中点£\‘作E】D"/F8,ER〃EF,得到四边形品。】"],

它的周长记作C2.照此规律作下去，则。2。20=.

【变式14-3】(2024八年级•湖南永州•期末)如图，等腰RtAABC中,N4CB=90°,AC=BC=2,且AC

边在直线〃上，将△A3C绕A顺时针旋转到位置①可得到点儿此时AP/=2a；将位置①的三角形绕点

B顺时针旋转到位置②，可得到点B，此时4P2=2+2或；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，

可得到点。3,此时4P3=4+2&;…按此规律继续旋转，直至得到点P2020为止，则A22O2O=.

【题型15数式或图形中新定义问题】

【例15】(2024八年级•北京海淀•期末)定义：对非负实数/四舍五入〃到个位的值记为人。),

即：当n为非负整数时•，如果九一：Wx<n+5则人Q)=n.

如：A(0)=A(0.48)=0,£(0.64)二人(1.49)=1,勿⑷=以3.68)=4，…

试解决下列问题：

①以心)=；②段"32+3)=;

®,^(x/l5+i)/g(V22+2)+/g(V22+2)-^(\32+3)+/z(V32+3)-^(V42+4)+^(\/20172+2017)-^(>/20182+2018)----------,

【变式15-11(2024八年级•安徽合肥•期末)定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P](a,b),P2(c,b),P3(c,d),

这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点Pi，P2,P3的“最佳间距例如：点生(-1,2),P2(l，2)，P3(l,3)

的“最佳间距”是1.

(1)点Q/2,1),。式5,5)的“最佳间距”是:

(2)当点。(0,0),E(m,0),P(m,-2m+1)的"最佳间距”为：时，点P的横坐标为.

【变式15-2](2024•四川乐山•八年级期末)定义:我们把一次函数y=kx+b(kW0)与正比例函数y=%的

交点称为一次函数y=女工+〃攵学0)的“不动点〃.例如求y=2x—1的“不动点”：联立方程解

得则y=2%-1的〃不动点〃为(1,1)’

(1)由定义可知，一次函数y=3*+2的“不动点〃为；

(2)若直线y=kx-3(kH0)与x轴交于点/，与y轴交于点8,且直线y=kx-3上没有"不动点"，若P点

为无轴上一个动点，使得SAABP=3SAABO，求满足条件的P点坐标

【变式15-3】(2024八年级•江西南昌•周测)定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰

三角形，那么称这个凸四边形为"等腰四边形"，把这条对角线称为“界线已知在“等腰四边形中，

AB=BC=AD,乙BAD=90°,且AC为"界线"，则的度数为

专题2L6期末复习之填空压轴题十五大题型总结

【人教版】

，题型梳理

【题型।二次根式的性质与化简】................................................................1

【题型2二次根式的运算】......................................................................1

【题型3利用勾股定理构造直角三角形】.........................................................2

【题型4勾股定理与分类讨论思想结合】.........................................................2

【题型5勾股定理及其逆定理与网格作图】.......................................................3

【题型6由平行四边形的性质求值】.............................................................4

【题型7确定组成平行四边形点的个数】.........................................................5

【题型8平行四边形的应用】....................................................................6

【题型9矩形、菱形、正方形与勾股定理的综合运用】.............................................8

【题型10矩形、菱形、正方形与全等三角形的综合运用】..........................................9

【题型11与一次函数有关的面积问题】...........................................................10

【题型12由一次函数的性质求取值范围】.........................................................11

【题型13一次函数的应用】.....................................................................11

【题型14数式或图形中规律问通】...............................................................13

【题型15数式或图形中新定义府题】............................................................14

，举一反三

【题型1二次根式的性质与化简】

【例1】（2024八年级•浙江•期末）已知Q+b+c+3=2y/a+4\历=1+2正=1,则Q+b+c的值

是

【答案】9

［分析］先将原等式变形为（迎-1）2+（“=！-2）2+（GI-1）2=0.再根据平方的非负性可得迎-

1=0,VF^l-2=0,VT^2-I=0,由此可求得b、C的值，进而可求得答案.

【优尖升-详解】解：团a+b+c+3=+4跖=1+

0a-2Va+l+b-l-4Vb-1+4+c—2—27c-2+1=0,

a(v«-l)2+-2)2+(y[F^2-l)2=0,

0Va-1=0,Vb-1-2=0,-1=0,

□Va=1,—1=2>y[c~-2=1,

0a=1,b=5,c=3>

团a+b+c=l+5+3=9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此

题的关键.

【变式1-1](2024八年级•浙江温州•期末)已知Jx—11—|7—x|+y/(x—9)2=3y-2,则2x-18)?=.

【答案】22

【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案.

【优尖升-详解】解：•••GTT一定有意义，

•F211,

:.Vx-11-|7-x|+7(%-9)2=3y-2,

Vx—11-A+7+A-9=3y-2,

整理得：V7^TT=3V，

AA-11=9/,

贝lj2x-18/=2x-2(x-11)=22.

故答案为：22.

【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题.

【变式1-2](2024八年级•浙江杭州•期末)已知V^=W(m-3)W0,若整数a满足m+a=5/，则

a=.

【答案】5

【分析】先根据后二I(m-3)<0确定m的取值范围，再根据m+a=5或，推出5注一3WaW5/一2,

最后利用7<5&V8来确定a的取值范围.

【优尖升・详解】解：y/m-2(ni-3)<0

A2<m<3

•••TH+a=5V2

：•a=5V2-m

5\/2-3<a<5V2-2

v7<5V2<8

4<a<6

•••Q为整数

:.a为5

故答案为：5.

【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用〃逼近法"得出5鱼的取值范围是解此题

的关键.

【变式13］（2024八年级•四川成都・期末）若贝疗-〃/-2017201S=____.

V2016-1/M+

【答案】4030

【分析】利用平方差公式化简相，整理要求的式子，将机的值代入要求的式子计算即可.

［优尖开-详解］m=-^-=ft1==720164-1,

\^2016-1f\2016-l?”2016+1，

^ur'-rn2-2017/z/+2015

-2017/W+2015

=（V2016+1）2xV2016-2017（V2016+1）+2015

=（2024+2/2016）xV2016-2017V2016-2017+2015

=2C17V2016+2X2016-2017,2016-2

=4C30.

故答案为4030.

【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.

【题型2二次根式的运算】

【例2】（2024八年级•江苏常州期末）若（2+b）（2+771）的积是有理数，则无理数〃?的值为.

【答案】-显（答案不唯一）

【分析】对（2+⑹（2+m）进行化简，由题意令26+27九+通血=a,（a是有理数）即可求解.

【优尖升-详解】解：（24-73）（24-m）

=4+2V5+2m+

（2+遍）（2+巾）的积是有理数，〃?是无理数，

•••2V3+2m+是有理数，

令2V5+2m+百m=a,（a是有理数）

解得：m=::油=（a-2A/3）（2-V3）=（2a+6）-（Q+4）V3,

当2a+6=0即a=-3,

时n=一6，

故答案为：-圾（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则

即有理数的性质.

【变式2-1］（2024八年级•安徽合肥•期末）化简并计算：^^+「3，.+

Vx（Vx-l）（Vx+l）（Vx+2）

（《+2）（衣+3）+…+（依+19）（4+20）（结果中分母不含根式）

400\X-20x

【分析】根据&岛石炭-品，将原式进行拆分，然后合并可得出答案.

【优尖升•详解］解:原式=

近Vx+1Vx+1Vx+2Vx+19Vx+20-VxVx+20-Vx（Vx+20）一400x-x2

【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔

细观察.

22

【变式2-21（2024八年级•吉林・单元测试）已知V16-工2-V4-x=2vL则V16-2+74-X=.

【答案】3V2

【优尖升-详解】设4一/=。，则J16中一海^中=2/可化为：后不运-6=2企，

0-7124-a=2>/2+y/a,

两边同时平方得：12+Q=8+Q+4&H,即：4=4V2a,

032a=16,解得：。5

0\/16-x2+V4-x2=J12+|+J1=1V2+^V2=3V2.

故答案为3>/Z

点睛：本题的解题要点是：设原式中的4-x2=a,从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运

算法则化简变形即可求得a的值，使问题得到解决.

【变式2-3］（2024八年级•浙江宁波・期末）已知近+%=3,且则*J二

Vxyjx2+9x-l-----

/5+1

【答案】

【分析】利用题目给的；求出《-右，再把它们相乘得到X-L再对原式进行变形凑出X-2的形式

Vxvxxx

进行计算.

【优尖升・详解】团底+京=3,

2

团（五+专）=X+2+^=32=9,

舐+工=7,

X

2

团（五一烹）=、-2+）=7-2=5,

[HO<x<1,

团底-=-V5,

团（6+专）（爪-*）="-；-3府

⑦原式=扃三=J5

6+265+26+1_l(V5+I)2

~i=J4-

后+i

2

故答案是：早

【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关健是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运

算.

【题型3利用勾股定理构造直角三角形】

【例3】（2024八年级•山东日照・期末）已知V52+122=13,从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三

角形的两直角边分别为5、12,计算结果为斜边13,同理计算依F/（Q>0）可以看成直角边分别为Q、8,

结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知Q+b=lS（a>0,b>0）,计算4-"）2+25

的最小值为—.

【答案】17

【分析】在一条长为15的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角

边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为3和5,利用两点之间线

段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值.

【优尖升-详解】构造两宜角三角形如图,

/.CAE=Z.DBE=90°,AB=15,AC=3,8D=5,点E为48上一个动点，AE=a,BE=b,则：

CE=>/AC2+AE2=Va2+9,DE=>/BD2+BE2=Vb24-25,a+b=15,

由图可知：+9+，匕2+25=/〃+OE=CD,

0V^T9+7b2+25的最小值为线段CD的长,

过点。作。F1交。1的延长线于点F,则四边形48DF是矩形，

团DF=AB=15,AF=BD=5,

团C/=C4+AF=3+5=8,

在CDF中，由勾股定理得：CD=，。尸2+c/72=“is?+82=17,

0V«2T9+"）2+25的最小值为17,

故答案为：17.

【点睛】此题考查了最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是用数形结合思想，构造

出图形.

【变式3-1］（2024八年级•广东深圳•期末）加图，ZBAC=9O度.AB=AC,AE_LAD,且AE二AD,4b平

分，DAE交8c于R若BD=6,CF=8,则线段AO的长为.

【答案】6V5

【分析】由"SAS"可证△ABD团△ACE,△DAF0z\EAF可得BD=CE,Z4=ZB,DF=EF,由勾股定理可求痔

的长，即可求的长，由勾股定理可求A。的长.

【优尖升-详解】解：如图，连接£立过点A作AG1BC于点G,

4

H

vAE1AD,

/.ZDAE=ZDAC+Z2=90。，

又•；ZBAC=ZDAC+zl=90°,

:.Z1=Z2,

在AABD和△ACE中

(AB=AC

jZ1=z.2»

UD=AE

ABD0AACE(SAS).

•••BD=CE,z.4=zB

•••ZBAC=90°,AB=AC,

0ZB=z3=45°

z4=ZB=45°,

AzECF=z34-z4=90。，

CE2+CF2=EF2,

•••BD2+FC2=EF2,

•••AF平分iDAE,

•••zDAF=zEAF,

在ADAF^IAEAF中

(AD=AE

\LDAF=LEAF,

(AF=AF

.*.△DAF0AEAF(SAS).

・•.DF=EF.

BD2+FC2=DF2.

DF2=BD2+FC2=62+82=100,

团DF=10

・•・BC=BD+DF+FC=6+10+8=24,

AB=AC»AG1BC»

BG=AG=1BC=12,

ADG=BG-BD=12-6=6,

0AD=VAGZ+DG2=6V5

故答案为6遍

【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

【变式3・2】（2024•天津滨海新•八年级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，4B为小正方

形边的中点，C,。为格点，E为BA,CD的延长线的交点.

（E）CD的长等于；

（（?）若点N在线段BE上，点M在线段CE上，且满足4N=NM=MC,请在如图所示的网格中，用无刻度的

直尺，画出线段MN,并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证

明）..

【答案】2V5CE与网格线相交，得点M,取格点F,连结CF并延长与BE交于N,连接MN,则线

段MN即为所求.图见解析；

【分析】（0）根据勾股定理可求CD的长；

建）找到特殊点，M为小正方形边的中点，N为小正方形边的中心，得到M、N的水平距离会垂直距离3,

即可得AN=CM=MN=J32+似=175

【优尖升-详解】解：（回）CD=J42+22=2V5；

（（Z）如图，CE与网格线相交，得点M,取格点F,连结CF并延长与BE交于N,连接MN,则线段MN即为所

求.

N为小正方形边的中心;

【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，勾股定理，根据网珞的特点找出小正方形中心点N构成，花长

的线段是解题的关键.

【变式3-3］（2024八年级•湖北恩施•期末）如图，一个长方体纸箱，长是6,宽和高都是4,一只蚂蚁从顶

点A沿纸箱表面爬到顶点B,它所走的最短路线的长是.

【答案】10

【分析】根据题意画出图形，求出AC、BC的长，根据勾股定理求出AB即可.

【优尖升-详解】有两种情况，如图所示：

图3

(1)如图1,由题意知AC=4,BC=6+4=10

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=x<116

(2)如图2,由题意知:AC=4+4=8,BC=6

由勾股定理得：AB=\IAC2+BC2=VlOO=10

(3)如图3,由题意知：AC=4+4=8,BC=6

由勾股定理得：AB=>JAC2+BC2=V100=10

0Vn6>71OO

团最短是10

故答案为10

【点睛】本题考查利用勾股定理解决最短路径问题，画出平面展开图，分类讨论是解题关键.

【题型4勾股定理与分类讨论思想结合】

【例4】(2024•河南•八年级期末)如图，在A/WC中，Z.BAC=120°,48=AC=3,点。为边A8的中点,

点。足边OC上的一个动点，连接DZ7,将A。。/?沿