人教版九年级上册数学期末复习：解答题专项练习题（含答案解析）

人教版九年级上册数学期末复习：解答题专项练习题

一、解答题。

I.（2021春•靖边县期末）如图，在平面直角坐标系中，AABC三个顶点的坐标分别为A（0,

3）,B（3,4）,C（2,2）.

（1）画出△4/（向卜.平移，个单位所得到的

（2）画出将△ABC绕原点。逆时针方向旋转90°后的AA282c2,并写出点C的对应点

C2的坐标.

2.（2021秋•沈北新区期末）2019年某县投入10（）万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每

年以相同的增长率投入，2021年该县“划投入“扶贫工程”144万元.

（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；

（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶

贫工程”多少万元？

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3.(2021春•济宁期末)某商场从2019年至2021年两年时间里，营业额由1000万元增加

到1440万元，则这两年的平均增长率为多少？

4.(2021春•南召县期末)如图1,将三角板A8c与三角板AOE摆放在一起；如图2,其

中NAC8=30°,ZD4E=45°,NB4C=NO=90°.固定三角板ABC,将三角板AOE

绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角NCAE=a(0°<a<180°).

操作发现:

(1)在旋转过程中，当a为度时，AD//BC,当a为度时，AD1BC；

(2)当△AOE的一边与aABC的某一边平行(不共线)时，直接写出旋转角a的所有

可能的度数;

拓展应用：

当0°<a<45°时，连接3。,利用图3探究N3OE+NCAE+NQ4C值的大小变化情况,

并说明理由.

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5.（2020秋•徐汇区期末）已知，在直角三角形ABC中，NACB=90：4c=8,BC=6,

4B=10,以AB边为直径作半圆，把4个相同的直角三角形通过一定的图形运动拼成四

叶草的形状（如图所示），求阴影部分的周长和面积.（TT取3.14）

6.（2020秋•上虞区期末）如图，48是。0的直径，AB=4,P是A8延长线上一点，且BP

=1,过点户作一直线：分别交。。于C,D两点,已知NP=30°.

（1）求。。与PC的长；

（2）连接8C,AD,求恻内接四边形A8CO的面积.

7.（2021春•新城区校级期末）一个不透明的口袋中放有14个白球，16个黑球，若干个红

球，每个球除颜色外都相同.

（1）某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，

记卜颜色后放回袋子…，如此一共摸球20次，其中摸出红球的次数为4次，求这次摸球

活动中红球出现的频率；

（2）若袋子中白球的数量比红球的数量的2倍还多2个，求从袋中任取一个球是黑球的

概率.

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10.(2021春•渠县校级期末)将两块全等的三角板按如佟1所示摆放，其中N4Cb=N'ACB

=90°,NAi=N4=30°.

(1)将图I中的△/WC按顺时针方向旋转45°得图2,4C与交于点P,AiBi与

BC交于点Q,求证：CP\=CQ,

(2)在图2中，若APi=2,求CQ的长.

Ml图2

11.(2020秋•斗门区期末)如图1,在△ABC中，BA=BC,。、E是AC边上的两点，且满

足NDBE=1/ABC.以点8为旋转中心，将△C8E按逆时针方向旋转得到aAB居连

2

接。足

(1)求证：DF=DE；

(2)如图2,若4B_LBC,其他条件不变.求证：DE2=AD2+EC2.

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12.（2021春•单县期末）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,

使点B落在4。边上的点E处，连接BG交CE于点连接8E.

（1）求证：£8平分NAEC；

（2）求证：点”为BG中点.

13.如图，已知抛物线y=-^+bx+c与一直线相交于A（-1,0）,C（2,3）两点，与y

轴交于点N,其顶点为Z）.

（1）求抛物线及直线AC的函数表达式：

（2）在抛物线对称轴上是否存在一点使以A,N,M为顶点的三角形是直角三角形？

若存在，请求出M点的坐标.若不存在，请说明理由.

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14.（2020秋•江城区期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点人，与二次

2

函数的图象交于），轴上的一点8,另一交点为。，二次函数图象的顶点C在工轴的正半

轴上，且OC=2.

（1）求二次函数的表达式；

（2）设尸为x轴上的一个动点，当△P8。为直角三角形，且RtZkPB。面积最小时，求

点尸的坐标；

（3）当0WxW2时，抛物线的一段4C上是否存在一点Q,使点Q到直线的距离等

于泥？若存在，请求出此时点。的坐标；若不存在，请说明理由.

15.（2020秋•铁西区期末）如图，抛物线y=o?+云+3（“，是常数，且“W0）与x轴交

于A,3两点，与），轴交于点C.并且A,8两点的坐标分别是A（1,0）,8（-3,0）,

抛物线顶点为Q.

（1）①求出抛物线的解析式；

②顶点D的坐标为（7,4）；

③直线BD的解析式为v=2x+6；

（2）若E为线段8。二的一个动点，其横坐标为用，过点£作£/_1%轴于点F,求当机

为何值时，四边形EFOC的面枳最大？

（3）若点。在抛物线的对称轴上，若线段以绕点夕逆时针旋转90°后，点A的对应点

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恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标.

16.（2021春•岳麓区校级期末）有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，

正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”.抛物线jMaP+Izr+c

与x轴交于A、8两点（点A在点8的左侧），与），轴交十点C,抛物线的顶点为点。.

（1）当。=・父_,b=l,c=5,请判断四边形COB。是否为“乐学四边形”，如果是，

162

请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由.

（2）在第（1）间的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点£使得也人踮

=*&，若存在，请求出点后的横坐标，若不存在，请说明理由.

（3）四边形CO8。为“乐学四边形"，且8=OC抛物线还满足：

①“V0,〃斤0,c=2；

②为等腰直角三角形；

点P（.ro,yo）是抛物线y=ax2+bx+c上任意一点，且/=）x）-VSvo.若W/n+旦以回恒

8084

成立，求m的最小值.

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参考答案与试题解析

一、解答题。

1.（2021春•靖边县期末）如图，在平面直角坐标系中，AABC三个顶点的坐标分别为A（0,

3）,B（3,4）,C（2,2）.

（1）画出△44C向下平移5个单位所得到的△AiBiCi；

（2）画出将△ABC绕原点。逆时针方向旋转90°后的△A2&Q,并写出点C的对应点

C2的坐标.

【分析】（I）利用点的平移规律写出4、&、。的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、&、C2,从而得到C2点的

坐标.

【解答】解：⑴如图,△4BC1为所作;

（2）如图，282c2为所作，点。2的坐标为（-2,2）.

2.（2021秋•沈北新区期末）2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每

年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元.

（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；

（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶

贫工程”多少万元？

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【分析】（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，利用2021年该县计划投入

“扶贫工程”的资金=2019年该县投入“扶贫工程”的资金X（1+增长率）2,即可得出

关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；

（2）利用2022年该县将投入“扶贫工程”的资金=2021年该县投入“扶贫工程”的资

金X（1+增长率），即可求M2022年该县将投入“扶贫工程”的资金.

【解答】解：（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为X,

依题意得：100（l+x）2=144,

解得：川=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去）.

答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%.

（2）144X（1+20%）=144X1.2=172.8（万元）.

答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”172.8万元.

3.（2021春•济宁期末）某商场从2019年至2021年两年时间里，营业额由100（）万元增加

到1440万元，则这两年的平均增长率为多少？

【分析】设这两年营业额的平均增长率为乂利用2021年的营业额=2019年的营业额X

（1+增长率）2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出这两年营业额

的平均增长率为20%.

【解答】解：设这两年营业额的平均增长率为X，

依题意得：1000（1+42=]440,

解得：A1=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去）.

答：这两年营业额的平均增长率为20%.

4.（2021春•南召县期末）如图1,将三角板A8C与三角板4。月摆放在一起；如图2,其

中NAC8=30°,ZDAE=45°,NB4C=ND=90°.固定三角板A8C,将三角板AOE

绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角NCAE=a（00<a<180°）.

（1）在旋转过程中，当a为15度时,AD//BC,当a为105度时,AD1BC；

（2）当AADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角a的所有

可能的度数；

拓展应用：

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当0°VaV45°时，连接BD,利用图3探究NBDE+NCAE+NOBC值的大小变化情况，

并说明理由.

【分析】（I）根据和AO_L4C,再根据三角板的度数即可求出a的度数；

（2）要分5种情况进行讨论，分别画出图形，再分别计算出度数即可；

拓展应用：先设8。分别交AC、AE于点M、N,在中，/AMN+/CAE+/ANM

=180°,再根据N4MM=N£+N3OE,/AMN=NC+/DBC,得出NE+N3O£+NC4£+

ZC+ZD^C=180°,然后根据NC=30°,ZE=45°,即可得出/BOE+NC4E+NO8C

的度数.

【解答】解：（1）如怪（1）,记OE与AC的交点为点凡DE与BC的交点为点、G,

9：AD//BC,

•••NO4/=NC=30°,

VZDAE=45°,

：.ZCAE=\5°,即a=15°,

如图（2）,记与BC的交点为F,

•：AD±BC,

AZADF=90°,

AZDAC=1800-ZAFC-ZC=l80a-90°-30°=60°,

AZCAE=ZDAC+ZEAD=600+45°=105°,即a=105°,

故答案为：15,105.

（2）①当AO〃8C时，如图1所示，由（I）得，a=l5°；

②当DE〃BC时，如图2所示，

由（1）得，ADA.BC,

AZAFC=90°,

VZ4DE=90°,

：.DE//BC,

Aa=105°；

③当/）石〃AN时，如图3所示，a=45°；

④当DE〃/1C时，如图4所示，a=NE4O+NBAC=45°+90°=135°；

⑤NEAC+NC=180。，

V/C=30°.

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r.ZE4C=150°,即a=150°；

综上所述：旋转角a的所有可能的度数是：15°,45°,105°,135°,150°.

拓展应用：当0°Va<45°,N8£>E+NC4E+NOBC=105°,保持不变，理由如下:

如图6,设BO分别交AC、4E于点M、N,

在△AMN中，ZAMN+ZCAE+ZANM=1800,

VZANM=ZE+ZBDE,ZAMN=ZC+ZDBC,

•••NE+N即E+NC心NC+NOBC=180°,

VZC=30°,NE=45°,

・••ZBDE+ZCAE+ZDBC=105°.

5.（2020秋•徐汇区期末）已知，在直角三角形A8C中，N4C8=90°,AC=8,8c=6,

AB=\0,以AB边为直径作半圆，把4个相同的直角三角形通过一定的图形运动拼成四

叶草的形状（如图所示），求阴影部分的周长和面积.（ir取3.14）

【分析】根据圆的面积和三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：。=2叔=2011=62.8；

S=—（IT?-AOXI3O）X4=50n-96=61.

2

答：阴影部分的周长是62.8,面积是61.

6.（2020秋•上虞区期末）如图，48是。。的直径，AB=4,P是A8延长线上一点，且8P

=1,过点。作一直线，分别交于C,。两点，已知NP=30°.

（1）求CO与PC的长；

（2）连接BC,AD,求圆内接四边形A8C。的面积.

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D

C

【分析】（1）过点。作。H_LCO于点〃，连接OC,解直角三角形求得O”，PH,然后

根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC,

（2）求得△人PQ和△PBC的面积，进而即可求得四边形八8。。的面积.

【解答】解：（1）过点。作O”_LC。于点从连接。C,

在RtZ\OP”中，NP=30°,OP=OB+BP=2+\=3,

•••0H=y0P4X34,P"=°尸・cos30°=3X*=斗,

乙乙乙乙乙

在RtAOHC中，CH=A/OC2-OH2=^22-（y）2=-y--

•:CD=2CH,

•,-CD=2X^=V?.

・373V7373-V7

・・PC=PH-HC音■号=、5-

（2）由（1）知：PD=CD+PC=V7+MS=3声动,以=5,ZP=30°,

22

•"SAPBC=yPBPCsin30°X1xx

Sz皿孝™。得X等立X5X巨咨也,

_5（班位”7_降+砺

••、四边形ABCD-bAPAD_bAPBC=§§=4'

7.（2021春•新城区校级期末）一个不透明的口袋中放有14个白球，16个黑球，若干个红

球，每个球除颜色外都相同.

（1）某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放PI袋子，然后再摸出一个球,

记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球20次，其中摸出红球的次数为4次，求这次摸球

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活动中红球出现的频率；

（2）若袋子中白球的数量比红球的数量的2倍还多2个，求从袋中任取一个球是黑球的

概率.

【分析】（1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数即可；

（2）设口袋中红球的个数为总根据“白球的数量比红球的数量的2倍还多2个”建立

方程求出x的值，再利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）这次摸球活动中红球出现的频率为4・20=0.2；

（2）设口袋中红球的个数为达

根据题意，得：2x+2=14,

解得x=6,

・••袋中红球的个数为6,

・•・从袋中任取一个球是黑球的概率为一屿一='.

14+16+69

8.（2021春•广饶县期末;某商城在2（）21年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500

元，标价为3000元.

（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次

降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；

（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降

50元时,平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000

元，则每台冰箱的定价应为多少元？

【分析】（1）设每次降价的百分率为工，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的

百分率），则第一次降价后的价格是60（1-X）元，第二次后的价格是60（1-A）2元，

据此即可列方程求解；

（2）假设下调。个5。元，销售利润=一台冰箱的利润X销售冰箱数量，一台冰箱的利

润=售价-进价，降低售价的同时.，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利X

销售的件数=5000元，即可列方程求解.

【解答】解：（1）设每次降价的百分率为X,

依胭意得：3000（1r）2=2430,

解得xi=0.1=10%,X2=1.9（不合题意，舍去）

答：每次降价的百分率是10%：

（2）假设下调。个50元，依题意得：5000=（2900-2500-50。）（8+4a）.

解得41=42=3.

所以下调150元，因此定价为2750元.

9.（2021春•沂源县期末）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国.某公司对其生产设备进

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行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量.已知该公司去年第三季度

产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长

率相同.

（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；

（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由.

可能用到的数据计算结果（已取近

似值）

I.1821.39

I.183164

【分析】（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x,列出方程求解即可；

（2）根据（1）求出的漕长率先求出二，三，四季度的产值，再全部相加即可得出答案.

【解答】（1）解：设该公司每个季度产值的平均增长率为x,依题意得：

2300（1+x）2=3200,

解得川=0.18=18%,X2=-2.18（不合题意，舍去），

答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%；

（2）•・•今年第一季度产值是3200万元，

・••第二季度产值是32（X）X（1+18%）=3776（万元），

第三季度产值是3200X（1+18%）2=4448（万元），

第四季度产值是3200X（1+18%）3=5248（万元），

，该公司今年的总产值为3200+3776+4448+5248=16672（万元），

・•・该公司今年总产值能超过1.6亿元.

10.（2021春•渠县校级期末）将两块全等的三角板按如图1所示摆放，其中=

=90°,N4=NA=30°.

（1）将图1中的△ABC按顺时针方向旋转45°得图2,AC与A8交于点P,AIBI与

BC交丁点Q,求证：CPi-CQ:

（2）在图2中，若APi=2,求CQ的长.

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【分析】（1）根据△AIBIC和AABC是两个完全一样的三角形，顺时针旋转45°两个条

件证明△biCQg/kBCPi,然后可求证：CP\=CQ,

(2)作PiOJ_AC于。，根据乙4=30°,NPiCO=45°分别求出P1O=』AP1,CPi=&

2

P|O=返APi,于是得到结论.

2

【解答】(1)证明：・・・NBiCB=45°,Z5ICAI=90°,

：,ZB\CQ=ZBCP\=450；

乂B1C=BC,NBi=NB,

.,.△BiCg^ABCPi(ASA),

；・CQ=CPi；

(2)解：如图：作尸1D_LAC于。,

VZA=30°,

.\PiD=-^APli

2

VZPiCD=45°,

又4Pl=2,CQ=CP\,

:・CQ=屈.

11.（2020秋•斗门区期末）如图1,在△A8C中，BA=BC,。、E是AC边上的两点，且满

足ND8E=』NABC.以点3为旋转中心，将△C3E按逆时针方向旋转得到△八台「，连

2

接。立

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(1)求证：DF=DE；

(2)如图2,若A8_LBC,其他条件不变.求证：DE^=AD2+EC2.

【分析】(1)先根据/。8七=2/48。可知/48。+/。8£=/。8七=2/48。，再由图

22

形旋转的性质可知8£=8立ZABF=ZCBE,故可得出/。8r=NO8£,由全等三角形

的性质即可得出△£)/拓法△。8”，故可得出结论；

(2)把△CBE逆时针旋转90°,由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点

C与点A重合，ZMfi-ZBCE-450,所以ZDA尸一90°,由(1)UEDE-DF,再根

据勾股定理即可得出结论.

【解答】(1)证明:'：ZDBE=—ZABC,

2

・•・NABD+NCBE=ZDBE=—ZABC,

2

•・•^ABF由△CBE旋转而成，

:.BE=BF,NABF=NCBE,

：,NDBF=ZDBE,

在ADBE与ADBF中,

BE=BF

'NDBE=NDBF，

BD=BD

:.ADBE@ADBF(SAS),

:・DF=DE；

(2)证明：•・•将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF,

:,BA=BC,NABC=90°,

：.ZBAC=ZBCE=45°,

・•・图形旋转后点。与点A重合，CE与AF重合，

：.AF=EC>

，/R8=NBCE=45°,

AZDAF=90°,

第17页共29页

在RtAAO尸中，。尸=人尸+八。2,

\*AF=EC,

：,DF2=EC2+AD2,

同（1）可得OE=QR

:.DE^=AD2+EC2,

12.（2021春•单县期末）如图，将矩形A8CO绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形/ECG,

使点A落在4。边I-的点E处.连接AG交CE干点机连接AE.

（1）求证：EB平分NAEC；

（2）求证：点”为BG中点.

【分析】（1）根据旋转的性质知BC=CE,再由等腰三角形的性质得到NC8£=NC£8,

根据矩形的性质得NAE8=NC8£再等品转化可得结论；

（2）过点B作8P1CE于点P,根据角平分线的性质得出NAEB=NCEB,由全等三角

形的判定得△8PHgZ\GC”（AAS）即可得到结论.

【解答】解：（1）根据旋转的性质得8C=C£

:・/CBE=/CEB,

又・・・A8C。为矩形，

：,AD//BC,

・•・NAEB=NCBE,

・•・NAEB=NCEB,

••・3£平分NA£C；

（2）过点B作BPLCE于点P,

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:,/\AEB沿APEB（AAS）,

:・BP=AB,

:.BP=CG,

又,：/BHP=/GHC,

NBPH=/GCH,

:.△BPH/XGCH（A4S）,

：・BH=HG,

:•点、H为BG中点.

13.如图，已知抛物线尸-^bx+c与一直线相交于人（-1,0）,C（2,3）两点，与y

轴交于点N,其顶点为D

（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；

（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M,使以A,N,M为顶点的三角形是直角三角形？

若存在，请求出M点的坐标.若不存在，请说明理由.

【分析】（1）利用待定半数法即可得到函数解析式；

（2）根据抛物线解析得对称轴，然后分三种情况：当AM是斜边时，当4N是斜边时，

当是斜边时，由公股定理得方程式，求解可得答案.

【解答】解：（1）由抛物线），=-/+公+。过点A（-1,（））及C（2,3）得［T-b+c=°,

-4+2b+c=3

解得产2,

Ic=3

2

故抛物线的函数表达式为），一・X+1¥+3.

设直线AC的函数表达式为）=依+〃，将A（-1,0）、C（2,3）分别代入y=Ri+〃中可

得「40

I2k+n=3

解得共=1,

n=l

故直线AC的函数表达式为y=x+\.

（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x=l,设点M（l,〃?），

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TA(-1,0),M(1,加)，N(0,3),

/.AM2=(1+1)2+m2=4+m2,同理4储=10,MN?=1+(/n-3)2

当AM是斜边时，贝lj4+/〃2=io+i+(〃?-3)2,

当AN是斜边时，4+W+1+(m-3)2=10,

解得：〃?=1或2；

故点M的坐标为(1,&)或(1,1)或(1,2)或(1,-2).

33

14.(2020秋•江城区期末)如图，已知一次函数y=£x+2的图象与x轴交于点A,与二次

函数的图象交于了轴上的一点从另一交点为。，二次函数图象的顶点。在X轴的正半

轴上，且OC=2.

(1)求二次函数的表达式；

(2)设〃为x轴上的一个动点，当△P4Q为直角三角形，且RtZiP8Q面积最小时，求

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点尸的坐标；

（3）当0W%W2时，抛物线的一段BC上是否存在一点Q,使点Q到直线A。的距离等

【分析】（1）根据坐标系中点的坐标特点得8点坐标，然后由待定系数法可得二次函数

解析式；

（2）分三种情况：当点B为直角顶点，过B作8Pi_LAQ交x轴于Pi点；当。为直角

顶点，作P1DLBD,连接BP2；当P为直角顶点.通过比较得点P1到BD的距离最短.最

后根据相似三角形的性质可得答案；

（3）过。作x轴的垂线交直线A8于点N.设Q点的坐标为（x,yi）,N点的坐标为（x,

.V2）,利用数形结合思想可得答案.

【解答】解：（1）・・・了4X+2交汇轴于点4，

.八1C

••0干x+2，

-4,

y=~Lx+2与y轴交于点B,

乙

•・"=（）,

・・・y=2,

点坐标为（0,2）,

・・・A（-4,0）,B（0,2）.

一次函数图象的顶点C在r轴的正半轴上，且OC=%

・•・可设二次函数解析式为：），=〃（x-2）2,把B（0,2）代入得aj,

2

・,.二次函数的解析式为：y^x-2x+2-

（2）分三种情况：

当点8为直角顶点，过B作APiJ_A。交x轴于Pl点；

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y

当p为直角顶点.

以上三种情况中，和比较，从△48Pis2\AOP2可知点Pl到BD的距离最短.和比较,

点尸3只能在Pi的右边，否则NP38D将为钝角，故点Pi到8。的距离最短.

由RL^408sRt/\B0Pi,得要一^7，

BOP10

.42

••二一得OPi=l,

2OP1

・••点P的坐标为1(1,0).

(3)存在.

过Q作工轴的垂线交直线AB于点M

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设Q点的坐标为(x,yi),N点的坐标为(筋户)，

则NQ=Y2・yi=(―x+3)-(―x2-2x+2)=-x--.r,

2222

119

S=S-S

・•・AABQAANQABNQ=y(4+x)NQ-yX*NQ=5x-x，

VAB=2V5，

・•・当SD3Q=5时，Q到直线AD的距离等于近.

由5.”/=5解得X1与度＜2，xo旦屋(舍去)，

勺222

:.Q(三运三运).

24

15.(2020秋•铁西区期末)如图，抛物线丁=水2+云+3(a,》是常数，目。W0)与％轴交

于A,8两点，与)，轴交于点C.并且A,8两点的坐标分别是4(I,0),8(-3,0),

抛物线顶点为D.

(1)①求山抛物线的解析式；

②顶点D的坐标为(7,4)；

③直线BD的解析式为y=2t+6；

(2)若E为线段B。二的一个动点，其横坐标为用，过点E作瓦\Lx轴于点凡求当〃?

为何值时，四边形EFOC的面枳最大？

(3)若点P在抛物线的对称轴上，若线段布绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点

恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标.

【分析】(1)①把A(I,0),8(-3,0)代入)，=6/+也计3,即可求解；

②由y=-』-2x+3=-(x+l)2+4,可求顶点坐标；

③设直线BD的解析式为y=kx+b,将点B、D的坐标代入即可求解；

(2)求出点E(〃?，2w+6),C(0,3),则5=—X(OC+EF)=-(/n+—)2+H,

2416

当时，S最大值不；

(3)抛物线的对称轴为％=-1,当P点在x轴上方时，过点4作/TM_Lx=-1交于点

M,证明△MFCgZkQA"(AAS),则“Q=l,求得尸(-1,I)；当产点在x轴下方时，

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△AAT为等腰直角三角形，求得AP=2,则尸(-1,-2).

【解答】解：(1)①把A(1,0),8(・3,0)代入产加+队+3,

得a+b+3=0

19a-3b+3=0*

解得(a=T,

b="2

-x2-Zv+3；

②•・》=-2x+3=-(x+1)2+4,

・・・。的坐标为(-I,4),

故答案为：(■1，4)；

③设直线BD的解析式为y=kx+b,

将点以。的坐标代入得：

f-3k+b=0>

I-k+b=4

解得尸2,

b=6

・•・直线BD的表达式为y=2x+6,

故答案为：>,=2.r+6；

(2),・•点♦的横坐标为m,则点E的纵坐标为2羽+6,

当x=0时，y=0+0+3=3,

AC(0,3),

由题意可知：OC=3,OF=-w,EF=2w+6,

.・.S=_lx(OC+EF)=—X(2/H+6+3)X(-加)=-(川+❷)？+更，

22416

工当*■时，s最大值嗡

(3)抛物线的对称轴为x=-1,

当P点在x轴上方时，如图I,

过点4作A'MA,x=-1交于点M,

VZAM'=90°,

AZMPA'+ZMCP=9(r,NMPC+NAPQ=90",

；・NMCP=ZAPQ,

a

：AP=A'Pt

g4QAP(AAS),

：,PQ=MC,

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:.p（-1,1）;

当P点在X轴下方时，如图2,

*：AP=A'P,NA%'=90°,

•••△ARV为等腰直角三角形，

，AP=PQ,

：,AP=2,

：.P（-1,-2）；

综上所述：P点坐标为（-1,1）或（-1,-2）.

16.（2021春•岳麓区校级期末）有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，

正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”.抛物线），=aA/zr+c

与x轴交于A、8两点（点A在点B的左侧），与），轴交于点C,抛物线的顶点为点

（1）当h=l,。=5,请判断四边形CO5O是否为“乐学四边形”，如果是，

162

请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由.

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（2）在第（1）间的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得打A8E

=理返，若存在，请求出点£的横坐标，若不存在，请说明理由.

3

（3）四边形C08。为“乐学四边形"，且CO=OC.抛物线还满足：

①々VO,"WO,c=2；

②△AB。为等腰直角三角形；

点P（xo.和）是抛物线y=々.&6工+<?上任意一点，且f=_yo-若忘/“+1°505,恒

8084

成立，求/〃的最小值.

【分析】（1）先求得A（4■生国，0）,B（4+生历，0）,C（0,5）,D（4,8）,由勾

33

股定理得。。=5,运用新定义“乐学四边形”，“善思线段”即可得出答案.

（2）过点E作EH_Lx轴于点儿连接AE,BE,利用S.A8E=2・A3・EH,求出EH,令

2

)=2,得・H-(x-4;2+8=2,解方程即可.

16

2

（3）在抛物线y=o?+法+2中，顶点。的坐标为（-上，8af）,。（0,2）,根据

2a4a