人教版中学七年级数学下册期末解答题压轴题试卷含答案

人教版中学七年级数学下册期末解答题压轴题试卷含答案

一、解答题

1.（1）如图1,分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成

一个大正方形，则大正方形的边长为cm；

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2nm"设圆的周长为。.正方形的周长

为CE，则G为〔填或或">"）

（3）如图2,若正方形的面积为900cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面

积为740cm2的长方形纸片.使它的长和宽之比为5:4,他能裁出吗？请说明理由？

（1）大正方形的边长是cm；

（2）请你探究是否能将此大正方形纸片沿着边的方向裁出一个面积为14cm2的长方形纸

片，使它的长宽之比为2:1,若能，求出这个长方形纸片的长和宽，若不能，请说明理

由.

3.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分

米的长方形的工件.

（1）求正方形工料的边长；

（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要？（参考数

据：>/2«1.414,V5»1.732）

4.学校要建一个面积是81平方米的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，现有两种方案：有人

建议建成正方形，也有人建议建成圆形，如果从节省铁栅栏费用的角度考虑（栅栏周长越

小，费用越少），你选择哪种方案？请说明理由.（71取3）

5.如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方

形.

（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？

（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的-1点为圆

心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A,那么点A表示的数是多少？

点A表示的数的相反数是多少？

(3)你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并

求它的边长

二、解答题

6.已知，A811co，点E为射线FG上一点.

(1)如图1,若NE4F=25°,NEOG=45°,贝lj/AE0=.

(2)如图2,当点£在FG延长线上时，此时CD与交于点H,则N4ED、NEAF、

NEDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

(3)如图3,当点E在F6延长线上时，。『平分NEDC,NAED=32"，N『=30"，求/EKD

的度数.

7.如图1,点A在直线MN上，点6在直线ST上，点C在MN,sr之间，且满足

ZMAC+ZAC8+NSBC=360°.

(1)证明：MNVST；

(2)如图2,若NAC8=60。，人。//CA,点E在线段AC上，连接AE,且

/DAE=2NCBT,试判断NC4E与NOW的数量关系，并说明理由；

IQ()O

(3)如图3,若NACB=——(〃为大干等于2的整数)，点用在线段BCR连接

n

图1图2图3

8.如图，直线PQ〃MN,点C是PQ、MN之间(不在直线PQ,MN上)的一个动点.

B

(1)如图1，若N1与Z2都是锐角，请写出NC与Nl,Z2之间的数量关系并说明理由：

(2)把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点。在两条平行线之间，CB与PQ交于点

D,C4与MN交于点E,与PQ交于点产，点G在线段CE上，连接OG,有

乙BDF=4GDF,求/工AF券N的值；

Z.CDG

(3)如图3,若点。是MN下方一点，BC平分/PBD,AM平分NC4。，己知

ZPBC=25°,求NAC8+NAO8的度数.

9.如图1,M/WIPQ,点C、8分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间.

(1)求证：ZC4B=ZMCA+APBA；

(2)如图2,COII八8,点£在PQ上，4ECN=4CAB,求证：NMCA=NDCE；

(3)如图3,8F平分NA8P,CG平分/ACN,AFWCG.若N68=60。，求NAF8的度数.

10.直线4811CD,点P为平面内一点，连接AP,CP.

(1)如图①，点P在直线AB,CD之间，当N84P=60。，NDCP=20。时，求/4PC的度

数；

(2)如图②，点P在直线48,CD之间，/84P与NDCP的角平分线相交于K,写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由；

20

(3)如图③，点P在直线CD下方，当N8AK=§N8AP,NOCK=§/OCP时，写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由.

图①图②图③

三、解答题

11.如图1,由线段组成的图形像英文字母M,称为“M形84例C。”.

(1)如图1,M形84MCO中，若A8〃CQ,NA+NC=50。，则NM=；

(2)如图2,连接M形朋MCZ)中及。两点，若/8+/。=150。,乙4同。=£,试探求4

与NC的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，且AC的延长线与8。的延长线有交点，当点M在线段

的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出4与NC所有可能的数量关系.

12.将两块三角板按如图置，其中三角板边/W=4£,/H4C=NE4/)=90。，ZC=45°,

ZD=30°.

(1)下列结论：正确的是.

①如果NBFD=60°,则有BC//AD；

②N8AE+NG4£>=180。；

③如果则AB平分/£40.

(2)如果NC4£>=150。，判断N3/力与NC是否相等，请说明理由.

(3)将三角板ABC绕点A顺时针转动，直到边AC与入。重合即停止，转动的过程中当两

块三角板恰有两边平行时，请直接写出N£4B所有可能的度数.

13.已知：直线411A为直线丸上的一个定点，过点4的直线交4于点8,点C在线段

8A的延长线上.。，E为直线上的两个动点，点。在点E的左侧，连接AD,AE,满足

ZAED=ADAE.点M在上，且在点8的左侧.

(1)如图1,若/84。=25。，N4ED=50。，直接写出/A8M的度数；

(2)射线4F为NCA。的角平分线.

①如图2,当点。在点£右侧时，用等式表示/弘F与/48。之间的数量关系，并证明；

②当点。与点8不重合，且NA8M+NEAF=150。时，直接写出/E4F的度数一.

图1图2

14.已知ABIICD,点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之

间，ZAMP=ZPQN=a,PQ平分NMPN.

(1)如图①，求/MPQ的度数(用含a的式子表示)；

(2)如图②，过点Q作QEIIPN交PM的延长线于点E,过E作EF平分NPEQ交PQ于点

F.请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；

(3)如图③，在(2)的条件下，连接EN,若NE平分NPNQ,请你判断NNEF与NAMP

图①图②图③

15.问题情境

(1)如图1,已知AB//CD,ZPBA=\25,ZPCD=155\求/8PC的度数.佩佩同学的

思路：过点P作PG〃/进而尸G〃CQ,由平行线的性质来求N8PC,求得

/BPC=.

问题迁移

(2)图2.图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两

边重合，乙4C4=90,DF//CG,AB与尸。相交于点E,有一动点/，在边灰:上运动，连

接PE,PA,记NPED=Na,ZPAC=ZJ3.

①如图2,当点。在C,。两点之间运动时，请直接写出乙4。£与Na,/6之间的数量

美系；

②如图3,当点P在B,。两点之间运动时，ZAPE与/a,“之间有何数量关系？请判

断并说明理由；拓展延伸

(3)当点尸在C,。两点之间运动时，若NPED,NPAC的角平分线EN,AN相交于点

N,请直接写出N4NE与Na,N6之间的数量关系.

四、解答题

16.解读基础:

(1)图1形似燕尾，我们称之为"燕尾形"，请写出N4、丽NC、之间的关系，并

说明理由；

(2)图2形似8字，我们称之为“八字形〃，请写出乙4、D"、ZC,NO之间的关系，并

说明理由：

应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题

(3)①如图3,在A48C中，BD、CD分别平分NA8C和ZAC8,请直接写出NA和

的关系—;

②如图4,ZA+Z5+ZC+ZD+ZE+ZF=.

(4)如图5,如。与NBOC的角平分线相交于点尸，NGDC与NC4”的角平分线相交

于点E,已知々=26。，“=54。，求//和NE的度数.

(A、“不与。点重合)，点C在射线ON上且0。=2,过点。作直线〃/PQ.点。在点C的

左边且CO=3

⑴直接写出的ABC。面积;

⑵如图②，若AC_L8C,作NC8A的平分线交OC于E,交4c于尸，试说明

ZCEF=ZCFE;

⑶如图③，若NAOC=ND4C,点8在射线0Q上运动.NAC8的平分线交D4的延长线

于点〃，在点3运动过程中的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，求出变化范围.

Z.ABC

18.如图，在4A区。中，ZAAC与ZAC8的角平分线交于。点.

(1)若4=40。，贝ljNBOC=—。；

(2)若ZA=〃。，则N80C=°；

(3)若NA=〃。，/ABC与ZAC8的角平分线交于。点，NA8O的平分线与N4CO的立分

线交于点。I，­，N。刈68。的平分线与/。20由。5的平分线交于点。20普，则/。237=

A

19.如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,我们把形如图1的图形称之为

"8字形如图2,ZCAB和NBDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相

交于M、N.试解答下列问题：

（1）仔细观察，在图2中有_个以线段AC为边的“8字形〃；

（2）在图2中，若NB=96。，ZC=100°,求NP的度数；

（3）在图2中，若设NC=a,ZB=P，ZCAP=|zCAB,ZCDP=|zCDB,试问NP与/C、

JJ

NB之间存在着怎样的数最关系（用a、0表示NP）,并说明理由；

合），点E在射线AC上运动，且/4。石=/4瓦），设NQAC=〃。.

ZCDE=°：

（2）如图②，当点。运动到点8的左侧时，其他条件不变，请猜想㈤。和NCDE的数

量关系，并说明理由；

（3）当点。运动到点。的右侧时，其他条件不变，和NCOE还满足（2）中的数量

关系吗？请在图③中画出图形，并给予证明.（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）＜；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得•大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的

解析：（1）（2）<；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；

（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可：

【详解】

解：（1）••・小正方形的边长为1cm,

小正方形的面积为1cm2,

」•两个小正方形的面积之和为2cm2,

即所拼成的大正方形的面积为2cm2,

设大正方形的边长为xcm,

AX2=2,

X=yfl

大正方形的边长为&cm：

（2）设圆的半径为r,

由题意得乃产=2产，

:・r=近，

G[]=2/rr=2乃/，

设正方形的边长为a

1.1/=2%，

a=>

G=4。=4\/2^,

.Cj风_2用正_正_&

..=f—=----=~尸<1

C正4疡2V4

故答案为：V;

（3）解：不能裁剪出，理由如下：

正方形的面积为900cm2,

正方形的边长为30cm

长方形纸片的长和宽之比为5:4,

•••设长方形纸片的长为5x,宽为4x,

则5『4x=740,

整理得：X2=37,

（5x）2=25/=25x37=925>900,

（5x）2>3（）2,

5x>30,

长方形纸片的长大于正方形的边长，

...不能裁出这样的长方形纸片.

【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考杳了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较

大小进行了考查.

2.（1）4；（2）不能，理由见解析.

【分析】

（1）根据己知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

（2）先设未知数根据面积=14（cm2）列方程，求出长方形的边长，将长方形

的长与正方形边长比较大小再

解析：（1）4：（2）不能，理由见解析.

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

（2）先设未知数根据面积=14（cm2）列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方

形边长比较大小再判断即可.

【详解】

解：（1）两个正方形面积之和为：2x8=16（cm?）,

.•.拼成的大正方形的面积=16（cm?）,

大正方形的边长是4cm：

故答案为：4；

（2）设长方形纸片的长为2xcm,宽为xcm,

则2x・x=14,

解得；x=B

2/=2/7>4,

「•不存在长宽之比为2:1目.面积为14cm2的长方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根，能够根据题意列出算式是解此题的关键.

3.（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出的值即可：

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求

出长方形的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（

解析：（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面枳可知，求出A的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3。分米，根据面积得出方程，求出求出长方形

的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（1）正方形工料的边长为屈=6分米；

（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3。分米.

则4G3a=24,

解得：a=>/2>

•••长为4。之5.656<6,宽为3。=4.242<6.

」•满足要求.

【点睛】

本题主要考查了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问

题.

4.选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的

周长，根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，

比较大小得到答

解析：选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面枳公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据

圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出国的周长，比较大小得到答案.

【详解】

解：选择建成圆形草坪的方案，理由如下：

设建成正方形时的边长为x米，

由题意得：x2=81,

解得：x=±9,

x>0,

x=9,

「•正方形的周长为4x9=36,

设建成圆形时圆的半径为「米，

由题意得："2=81.

解得：r=土旧，

1/r>0.

•/5<x/27<6,

30<6后<36,

」•建成圆形草坪时所花的费用较少，

故选择建成圆形草坪的方案.

【点睛】

本题考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根概念是解题的关键.

5.(1)5；；(2)；；(3)能，.

【分析】

(1)易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积

的算术平方根即可为大正方形的边长.

(2)求出斜边长即可.

(3)一共有10个小正

解析：(1)5；石；(2)75-1；1-^；(3)能，屈.

【分析】

<1)易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方

根即可为大正方形的边长.

(2)求出斜边长即可.

(3)一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10,边长为10的算术平方

根，画图.

【详解】

试题分析：

解：(1)拼成的正方形的面积与原面积相等lxlx5=5,

边长为石，

如图(1)

(1题图-

(2)斜边长=历了'=2&，

故点A表示的数为：2夜-2;点A表示的相反数为：2-2夜

(3)能，如图

拼成的正方形的面积与原面积相等1X1X10=10,边长为M.

考点：1.作图一应用与设计作图：2.图形的剪拼.

二、解答题

6.（1）70°；（2）,证明见解析；（3）122°

【分析】

（1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得；

（2）过过作，根据平行线的性质得到，，即；

（3）设，则，通过三用形内角和得到，由角平分线

解析：（1）70。；（2）/EAF=ZAED+/EDG,证明见解析；（3）122°

【分析】

（1）过E作EF//A3,根据平行线的性质得到NE4F=44E〃=25。，NE4G=/。切=45。，

即可求得NA£。；

（2）过过E作EM//A4,根据平行线的性质得到尸=180。-/“切，

/EDG+ZAED=180。一MEH,gpZEAF=ZAED+ZEDG：

（3）设则=通过三角形内角和得到的K=x2。，由角平分线定义及

A8//CD得至”3了=32。+2A-4。，求出工的值再通过三角形内角和求NEK£）.

【详解】

解：（1）过E作即〃"，

ABUCD,

:.EF//CD,

...ZE4F=ZAEH=25°,ZEAG=ZDEH=45°,

/.ZAED=ZAEH+4DEH=70°,

故答案为：70°；

图1

(2)Z1EAF=ZAED+Z1EDG.

理由如卜.：

过E作EM//AB,

-AB//CD,

:.EM//CD,

:.^EAF+AMEH=\W,ZEDG+ZAED+MEH=180°,

:.^EAF=\S(f-^MEH,ZEDG+ZAED=\W-MEH,

:.ZEAF=ZAED+ZEDG；

图2

(3)ZE4P:ZEAP=1:2,

设NE4P=x,则/班E=3x,

•.•ZA£D-ZP=32°-3(r=2o,ZDKE=ZAKP,

又一.ZEDK+ZDKE+ZDEK=180°,ZKAP+ZKPA+ZAKP=180°,

;.NEDK=ZEAP-2?=x-h,

DP平分/EDC,

Z.CDE=2乙EDK=2M-4。，

•・•AB//CD,

/FHC=/F.AF=/AFD+/F.DG,

即3*=32。+2'—4。，解得R=28。，

.•.NEDK=280-2°=26。，

NEKD=180O-260-320=122°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和判定，正确做出辅助线是解决问题的关键.

7.(1)见解析；(2)见解析；(3)n-1

【分析】

(1)连接AB,根据已知证明NMAB+NSBA=180。，即可得证；

(2)作CFIIST,设NCBT=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根据

解析：(1)见解析；(2)见解析；(3)n-1

【分析】

(1)连接48,根据已知证明NM48+NS8A=180。，即可得证；

(2)作CFIIS7,设NCBT=a,表示出NC4V,AACF,N8CF,根据八Dll8C,得到

Z047=120。，求出NCAE即可得到结论;

(3)作CFIIS兀设/CBT=8,得到/CB丁=/BCF=8.分别表示Ml/CAN和N即可■得到

比值.

【详解】

解：(1)如图，连接A3,

•.ZMAC+ZACH+ZSBC=360°,

ZACB+ZABC+NBAC=180°,

.•.NM44+N54A=180°,

:.MN//ST

(2)ZCAE=2ZCAN,

理由：作C尸//ST,则MN//CF//ST,如图,

设NW=a,则ND4E=2a.

ZBCF=ZCBT=a,NOW=ZACF=60°-a,

VAD//BC,ZZMC=1800-ZACB=120°,

/.ZG4E=120°-/DAE=120,-2a=2(60°-a)=2NC4N.

即ZC4£=2ZCW.

(3)作CF/AS7,则MN//C尸〃ST,如图,设NCRT=0,则=

CF//ST,

：./CBT=/BCF=。、

/A3180。\W-nfl

ZACF=/CAN=--------/3=-----------,

nn

ZC4E=l80o-ZM4F-ZC4^=180°-n/7--+^=—(180°-/?^),

nn

〃一11

ZC4E:ZC4N=——：一=〃一1,

nn

故答案为〃—1.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定,解题关键是角度的员活转换,构建数量关系式.

8.（1）见解析；（2）；（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以

解析：（1）见解析；（2）（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.

【详解】

解：（1）NC=Z1+Z2,

证明：过C作/IIM/V,如下图所示，

,//IIMN,

Z4=Z2（两直线平行，内错角相等），

•//IIMN,PQIIMN,

/./IIPQ,

AZ3=Z1（两直线平行，内错角相等），

Z3+Z4=Z1+Z2,

ZC=Z1+Z2：

（2）,1•Z8DF=NGDF,

Z8DF=NPDC,

：.ZGDF=NPDC,

,/ZPOC+NCDG+ZGDF=180°,

NCDGI2ZPDC=180°,

/.ZPDC=90°--jZCDG,

由（1）可得，NPOC+NC£M=NC=90。，

ZAEN=ACEM,

：.ZAEN/CEM_90。-_"o一（9。°,

~ZCDG-ZCDG-ZCDG-NCDG-2

（3）设8D交MN于J.

BO

•/8c平分NPBD,AM平分NCAD,ZP8c=25。，

ZP8D=2NP8C=50°,ZCAMSMAD,

,/PQIIMN,

ZBJA=Z.PBD=5Q°,

ZADB=NAJB-AJ4D=50#-ZJAD=500-ACAM,

由（1）可得，ZACB=ZPBC+NCAM,

/.ZACB+Z.ADB=NPBC+Z.CAM+SO^Z.C4M=250+50°=75°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关

系.

9.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°.

【分析】

（1）过点A作ADIIMN,根据两直线平行，内错角相等得到NMCA=NDAC,

ZPBA=ZDAB,根据角的和差等量代换即可得解；

（2）

解析：（1）证明见解析：（2）证明见解析；（3）120£.

【分析】

（1）过点4作AOIIMN,根据两直线平行，内错角相等得到NMCA=NOAC,ZPBA=

NM8,根据角的和差等量代换即可得解；

（2）由两直线平行，同旁内角互补得到「.、NC48+NACD=180。，由邻补角定义得到

/ECM+NEQV=180。，再等量代换即可得解：

（3）由平行线的性质得到，/以8=120。・/GC4再由角平分线的定义及平行线的性质

得到/GCA-ZABF=60°,最后根据三角形的内角和是180。即可求解.

【详解】

.\AD\\MNIIPQ,

ZMCA=Z.DAC,ZPBA=Z.DAB,

ZCAB=ADAC+ADAB=NMCA+^PBA,

即：匕CAB=NMCA+NPBA；

(2)如图2,•「CDIIAB,

/.ZC/AB+Z4CD=180°,

,/ZECM+N£C/V=180°,

•「ZECN=ACAB

ZECM=NACD,

即NMCA+AACE=Z.DCE+NACE,

ZMCA=ADCE；

(3)AFWCG,

ZGCA+Z.FAC=18Q°,

,/ZCAB=6Q°

BPzGCA+ZCAB+Z以8=180°,

...ZFAB=180°-60°-ZGCA=120°-ZGCA,

山(1)可知，ZCAB=^MCA\^.ABP,

,「8F平分NA8P,CG平分N4CN,

：.AACN=2AGCA,NABP=2NABF,

又•••NMCA=180°-NACN,

/.ZCAB=130°-2ZGC4+2/ABF=60°,

ZGCA-ZABF=60°,

'：ZAFB+ZABF+N£48=180°,

ZAFB=180°-FAB-FBA

=1800-(120“-ZGCA)-ZABF

=180°-120°+NGCA-ZABF

=120°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关

键.

10.(1)80°；(2)NAKC=NAPC,理由见解析；(3)NAKC=NAPC,理由

见解析

【分析】

(1)先过P作PEIIAB,根据平行线的性质即可得到NAPE=NBAP,ZCPE=

ZDCP,再根据N

解析：(1)80。；(2)Z.AKC=^AAPC,理由见解析；(3)NAKC=：NAPC,理由见解

析

【分析】

(1)先过P作PfllA8,艰据平行线的性质即可得到NAPE=NBAP,乙CPE=2DCP,再根

据NAPC=4APE+Z.CPE=N8AP+NDCP进行计算即可；

(2)过K作KEII48,根据KEII4811CD,可得NAKE=2BAK,4CKE=4DCK,进而得到

ZAKC=AAKE+NCKE=NBAK+NDCK,同理可得，ZAPC=ZBAP+ZDCP,再根据角平分线

的定义，得出N8AK+/OCK=^N8AP+；NDCP=；(ZBAP+ZDCP)=|ZAPC,进而得

到N4KC=；/4PC；

(3)过K作KEW48,根据KEWABWCD,可得NBAK=Z.AKE,ZDCK=ACKE,进而得到

4AKC=4BAK-4DCK,同理可得，ZAPC=ZBAP-ZDCP,再根据已知得出N8AK-

2222

ZDCK=-Z.BAP--ZDCP=-ZAPC,进而得到/BAK-ZDCK=-ZAPC.

3333

【详解】

(1)如图1,过P作PEIIAB,

,/4811CD,

/.PEIIA8IICD,

ZAPE=Z.BAP,ZCPE=ZDCP,

：.ZAPC=Z.APE+ACPE=NBAP+N0cp=600+20°=80°；

(2)ZAKC=^ZAPC.

理由：如图2,过K作KEII48,

,/4811CD,

/.KEIIA8IICD,

/.ZAKE=ZBAK,ZCKE=ZDCK,

ZAKC=NAKE+Z.CKE=Z.BAK+NDCK,

过P作PFIIAB,

同埋口［得，ZAPC=ZBAP+NDCP,

•7/BAP与/DCP的角平分线相交于点K,

/BAK+NDCK=；NBAP+；NDCP=；(ZBAP+Z.DCP)=g/4PC,

/AKC=；/4PC；

2

(3)Z.AKC=-^APC

3

理由：如图3,过K作KEWAB,

ADWCD,

：.KE\lABWCD,

/.ZBAK=AAKE,ZDCK=NCKE,

ZAKC=AAKE-ZCKE=NBAK-ZDCK,

过P作PFIIAB,

同理可得，ZAPC=Z.BAP-ZDCP,

22

•••ZBAK=-ZBAP,ZDCK=-ZDCP,

33

2222

ZBAK-ZDCK=-ABAP--ZDCP=-QBAP-NDCP)=-ZAPC

3333f

2

：.^AKC=-AAPC.

3

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关健是作出平行线构造内错角相等计

算.

三、解答题

11.(1)50°；(2)ZA+ZC=30°+a,理由见解析；(3)NA-NDCM=30°+ct或

30°-a

【分析】

(1)过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长BA,DC交于E,

解析：(1)50。；(2)Z/^+ZC=30°+a,理由见解析；(3)/4/DCM=3(T+cz或30”

【分析】

(1)过M作MNII48,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长84DC交于£,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

(3)分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：(1)过M作MNIM8,

V

M

BD

图1

•「A8IICD,

MNWCD,

Z1=Z4Z2=ZC,

：.ZAMC=A1+Z2=ZA+ZC=50°；

故答案为：50°；

(2)Z4+ZC=30°+a,

延长84,DC交于E,

图2

,/ZB+Z0=150°,

.•・Z£=30。，

,/ZBAM+NDCM=360°-(ZEAM+Z.ECM)=360°-(360°-/£-ZM)=30°+a；

即N4+ZC=300+a：

(3)①如下图所示:

Z8+ND=150°,ZAMC=afZE=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Z1=30°+/2

Z2=Z3+a

Zl=30°+Z3+a

Z1-Z3=30°+a

即：Z4-zC=30°+a.

②如图所示，210-/4=(180°-ZDCM)+a,即N4NOCM=30°-a.

BD

综上所述，Z4/DCM=3Q0+a或30°-a.

【点睛】

本题考查了平行线的性质.解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线川48,利用平行

线的性质(两直线平行内错角相等)将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得的度数.

12.(1)②③；(2)相等，理由见解析；(3)30。或45。或75。或120。或

135°

【分析】

(1)根据平行线的判定和性质分别判定即可；

(2)利用角的和差,结合NCAB=NDAE=90。进行判断

解析：(1)(2)(3)：(2)相等，理由见解析：(3)30,或45。或75。或120。或135。

【分析】

(1)根据平行线的判定和性质分别判定即可；

(2)利用角的和差,结合NCAB=N以£=90。进行判断;

(3)依据这两块三角尺各有一条边互相平行，分五种情况讨论，即可得到N&8角度所有

可能的值.

【详解】

解：(1)①:ZBFD=60\Z8=45°,

ZBAD+Z.D=ZBFD+N8=105°,

ZBAD=1050-30o=75°,

ZBAD^Z.B,

」.8C和4?不平行，故①错误；

②•「/RAC+ZD4F=180°,

/.ZBAE+/CAD=Z.BAE+NCAE+ZDAE=180°,故②正确；

③若8CIIAD,

则/8AD=N8=45°,

ZB4E=45°,

即48平分NEA。，故③E确；

故答案为：②③：

(2)相等，理由是：

,/ZCAD-1500,

Z8AE=180°-150°=30°,

ZBAD=60°,

,/ZBAD+Z.D=ZBFD+NB,

：.Z8FD=60o+30o-450=45<,=ZC；

(3)若八GlDE,

则NCAE=4E=60°,

ZE4e=90°-60°=30o；

若BCWAD,

则NB=Z840=45%

Z£48=45°；

若BCWDE,

则NE=Z〃8=60°,

ZEA8=180°-60°-45°=75°；

若八8IIDE,

则ND=Z0/48=30°,

ZMB=30°+90o=120°；

若4EIIBC,

则NC=ZCA£=45°,

ZE48=45°+90°=135°；

E

综上：ZEAB的度数可能为30。或45。或75。或120。或135。.

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，分情况画出

图形，学会用分类讨论的思想思考问题.

13.(1)；(2)①，见解析；②或

【分析】

(1)由平行线的性质可得到：，，再利用角的等量代换换算即可；

(2)①设，，利用角平分线的定义和角的等是代换表示出对比即可；②分类

讨论点在的左右两侧的情况，

解析：(1)125°；(2)①见解析；②30°或110°

【分析】

(1)由平行线的性质可得到：ZDEA=ZEAN,NMBA=/BAN,再利用角的等量代换

换算即可；

(2)①设NE4尸=a,ZAED=ZDAE=J3,利用角平分线的定义和角的等量代换表示出

乙钻力对比即可；②分类讨论点。在3的左右两侧的情况，运用角的等量代换换算即叽

【详解】

解：(1)设在4上有一点N在点4的右侧，如图所示：

/.ZDEA=ZEAN,/MBA=/BAN

ZAED=ZDAE=ZEAN=50°

...NK4N=NBA1)+NDAE+NEW=25°+50°+50°=l25°

ZBAM=\250

(2)@ZABD=2^EAF.

证明：设/石4f=a,AAED=^DAE=p.

./必。=/EAF+NO心a+』.

・A/「为/CAD的角平分线，

.ACAD=2ZFAD=2«+2/?.

乙EAN二/AED二p.

/./CAN=4CAD—4DAE-/EAN=2a+2D—B—D=2a.

：.ZABD=NCAN=2a=2/EAF.

②当点。在点“右侧时，如图：

ZAI3M+2ZEAF=\^°

•「ZAB/W+ZE4F=150°

「.NE4尸=180。-150。=30。

当点。在点3左侧，E在B右侧时，如图:

DB\E

为NCAD的角平分线

ZDAF=-^CAD

2

/.NAED=NNAE,/CAN=NABE

ZDAE=ZAED=ZNAE

ZDAE=1(ZDAE+ANAE)=iZDAN

：.ZEAF=ZDAF+ZDAE=1(ZCAD+/DAN)=；(360。-ACAN)

=\SO°--ZABE

2

ZABE+ZABA/=18O°

/.ZE4F=180°--(180°-ZABM)=90°+-

22

乂...ZE4F+ZABM=150°

Z£^F=90o4--x(150o-ZE4F)=165°--Z£XF

22

ZZL4F=110°

当点。和尸在点4左侧时，设在〃上有一点G在点B的右侧如图：

此时仍有NDAE=LNDAN,ZDAF=-ZCAD

22

ZEAF=ADAEZDAF=」(360。一NGAN)=180°--ZA/^G

.22

=18O°--(18O°-ZABM)=90°+-ZABM

22

ZEAF=110°

综合所述：/£4b=30。或110。

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性

质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键.

14.(1)2a；(2)EF±PQ,见解析；(3)NNEF=NAMP,见解析

【分析】

1)如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

（2）根据已知条件可得2NEPQ+2ZPEF=

解析：（1）2a；（2）EF±PQ,见解析；（3）NNEF=^NAMP,见解析

【分析】

1）如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

（2）根据已知条件可得2NEPQ+2NPEF=180。，进而可得EF与PQ的位置关系；

（3）结合（2）和已知条件可得NQNE=NQEN,根据三角形内角和定理可得NQNE=g

(180°-ZNQE)=j(1800-3a),可得NNEF=1800-NQEF-NNQE-NQNE,进而可

得结论.

【详解】

解：(1)如图①，过点P作PRIIAB,

图①

ABIICD,

/.ABIICDIIPR,

/.ZAMP=ZMPR=a,/PQN=NRPQ=a,

/.ZMPQ=ZMPR+ZRPQ=2a；

(2)如图②，EFJ_PQ,理由如下：

图②

,/PQ平分/MPN.

ZMPQ=NNPQ=2a,

,/QEIIPN,

ZEQP=ZNPQ=2a,

ZEPQ=NEQP=2a,

EF平分NPEQ,

ZPEQ=2/PEF=2ZQEF,

,/ZEPQ+ZEQP+ZPEQ=180°,

2ZEPQ+2ZPEF=180°,

ZEPQ+ZPEF=90°,

...ZPFE=180°-90°=90°,

EFJ_PQ；

(3)如图③，ZNEF=^ZAMP,理由如下:

图③

由(2)可知：ZEQP=2a,/EFQ=90°,

ZQEF=90°-2a,

zPQN=a,

ZNQE=NPQN+NEQP=3a,

NE平分NPNQ,

/.ZPNE=ZQNE,

,/QEIIPN,

ZQEN=NPNE,

ZQNE=NQEN,

ZNQE=3a,

ZQNE=y(1800-ZNQE)=,(180°-3a),

ZNEF=1800-ZQEF-ZNQE-ZQNE

=180°-(90°-2a)-3a--j(180°-3a)

=180°-90°+2a-3a-90c+-a

2

=1a

2

=yZAMP.

ZNEF=；/AMP.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

15.(1)；(2)①，②，理由见解析；(3)

【分析】

(1)过点作，则，由平行线的性质可得的度数；

(2)①过点作的平行线，依据平行线的性质可得与，之间的数量关系；

②过作，依据平行线的性质可得，，即

解析：(1)80；(2)①44PE=Na+N力，(2)ZAPE=Z/7-Za,理由见解析：(3)

【分析】

(1)过点尸作PG///W,则PG//C。，由平行线的性质可得N4PC的度数；

(2)①过点。作/。的平行线，依据平行线的性质可得44尸E与/。，4?之间的数量关

系；

②过P作尸。//。/，依据平行线的性质可得N〃=NQPA,4a=4QPE,即可得到

公PE=^APQ—乙EPQ=乙0—乙a、

(3)过P和N分别作尸。的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到

ZANE与Na,4?之间的数量关系为乙4NE=g(Na+N/力.

【详解】

解：(1)如图1,过点尸作PG//A8,则PG//C。，

由平行线的性质可得NB+4BPG=180,NC+ZCPG=180：,

又「NPBA=125,NPCD=155°,

/BPC=360°-1250-155°=80°,

故答案为：80°;

(2)①如图2,44尸£与Na,之间的数量关系为4P£=Na十：

过点P作PMIIFD,贝IJPMIIFDIICG,

,/PMIIFD,

zl=za,

,/PMIICG,

/.Z2=ZP，

Z1+Z2=Za+ZB，

即：ZAPE=Za+Z/7,

②如图，ZAPE与/a,//之间的数量关系为乙4PE=N〃-Na；理由:

过/，作PQ//OP,

B

'：DF//CG,

PQ//CG,

邛=ZQPA,乙a=NQPE,

ZAPE=ZAPQ-/EPQ=〃一Na；

(3)如图,

由①可知，ZN=Z3+Z4.

,/EN平分/DEP,AN平分NPAC,

Z3=g/a,Z4=；NB，

/.Z4NE=：(Na+N〃)，

ZANE与4a,N夕之间的数量关系为/ANE=；（Na+/4）.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得

出结论.

四、解答题

16.（1）,理由详见解析；（2）,理由详见解析：（3）①；②360。；

（4）；.

【分析】

（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；

（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结

解析：（1）〃>=ZA+N8+NC,理由详见解析；（2）ZA+ZD=Zfi+ZC,理由详见解

析：（3）①NO=900+g"；②360°;（4）ZF=124°；ZF=I4°.

【分析】

(1)根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；

(2)根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；

(3)①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；

②连结8E,由(2)的结