人教版七年级数学下册期末压轴题试题(带答案)培优试卷

一、解答题

1.如图1，已知，点4L。)，4H_Lx轴，垂足为H,将线段4。平移至线段8C,点8：b,

(1)填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A(卜8()、C()：

②直接写出三角形AOH的面积.

(2)如图1,若点。(m,c)在线段04上，证明；4m=n.

(3)如图2,连0C,动点P从点8开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时

点Q从点0开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动.若经过t秒，三角形40P与三

角形C0Q的面积相等，试求t的值及点P的坐标.

2.如图1,AB//CD,茂E、尸分别在A8、。力上,点。在直线AB、C力之间，且

ZEOF=100°.

E

4---------------7--------------------BA—

一

F

;图1图2

/E

图3

(1)求N3EO+NO自。的值;

(2)如图2,直线MN分别交/8石0、的角平分线于点例、N,直接写出

/EMN-NFNM的值;

(3)如图3,EG在NAEO内，ZAEG=mZOEG；FH在NDFO内,

NDFH=m/OFH,直线MN分别交EG、FH分别于点M、N,且

/FMN-/ENM=50。,直接写出〃?的值.

3.已知，如图：射线PE分别与直线AB、。。相交于七、F两点,NPFD的角平分线与

直线48相交于点M,射线1PM交CD于点N,设/仪迎=0。，NEMF=00且

(a-35)2+\^-a\=0.

(1)a=,p=：直线48与。。的位置关系是:

(2)如图，若点G是射线M4上任意一点，且ZMGH=NPNF,试找出NFMN与NGHE

之间存在一个什么确定的数最关系？并证明你的结论.

(3)若将图中的射线尸M绕着端点尸逆时针方向旋转(如图)分别与AB、C。相交于点

叫和点M时，作/月％6的角平分线MQ与射线厂M相交于点Q,问在旋转的过程中

作4G_LAO,垂足为点G.

(1)如图1,求证：NMAG+NPBG=9/;

(2)若点C在线段AO上(不与A、。、G重合)，连接3C,NM4G和NP8c的平分线

交于点，请在图2中补全图形，猜想并证明NC8G与的数量关系；

图1图2

A

MN

Q

备用图

5.已知，如图1,射线P£分别与直线人B,CD相交于£、F两点，NPFD的平分线与直线

48相交于点M,射线PM交8于点M设NPFM=a。，ZEMF=6°,且（40-2a）24-|0

-20|=0

（1）a=,6=；直线48与CD的位置关系是；

（2）如图2,若点G、H分别在射线和线段MF上，且/MGH=NPNF,试找出NFMN

与NGHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3）,分别与48、CO相交于

点Ml和点N1时，作NPM18的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中

乌争的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.

6.已知，4811。£,点C在48上方，连接8C、CD.

（1）如图1,求证：N8CD+NCDE=NA8C；

（2）如图2,过点C作CFJ_8c交E。的延长线于点F,探究NA8c和NF之间的数量关

系；

（3）如图3,在（2）的条件下，NCFD的平分线交CD于点G,连接G8并延长至点M

若BH平分/ABC,求/BGD-ZCGF的值.

DF

图1图3

图2

7.规定两数。，b之间的一种运算,记作(a,b)：如果d那么(a,b)=c.

例如：因为23=8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：

(3,27)=______,(5,1)=______,(2,-)=______.

4

(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3%4D=(3,4)小明给出了如下的证

明：

设(334。)=x,则(3。)、=4。,即(3X)

所以3晒4,即(3,4)=x,

所以(3n,4。)=(3,4).

请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4,5)+(4,6)=(4,30)

8.阅读下列解题过程：

为了求1+2+22+23+...+250的值,可设5=1+2+22+23+...+250,则

2S=2+22+23+24+...+251,所以得2S-S=25i-1,所以

S=25l-b即：1+2+22+23+...+2$°=2”一1；

仿照以上方法计算：

(1)1+2+2?+2,+…+2刈、.

(2)计算：1+3+32+334-...+32,||9

(3)计算：5KH+5也+5侬+...+528

2a-b(a>b)

9.对于有理数。、b,定义了一种新运算“※”为：。※匕=2.

a--b(a<b)

2

如：5^3=2x5-3=7,隰3=1——x3=-l.

3

(1)计算：①2※(-1)=：②(T)※(一3)=；

(2)若3※6=-l+3x是关于x的一元一次方程，且方程的解为x=2,求〃?的值；

(3)若A=-f+4/-X+I,B=-?+6X2-A+2,且在※8=-3,求2丁+2》的值.

10.阅读下面文字:

对于卜积闻+吟(词

可以如下计算:

=[(一5)+(-9)+17+(-3)]+

上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？

仿照上面的方法，计算：

(1)-1-+-2-+7-+-4-

4I3)6I2；

(2)^2019-\2018-+^-2017-1+2016-

I3)4I6J2

11.据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到《机邻座的乘客阅读的杂志上有

一道智力题：一个数32768,它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索

给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘、，你知道华罗庚是怎样准确计算出

的吗？请按照下面的问题试一试：

(1)tiilO5=l(XX),l(xr=1(XXXXX),因为1000<32768<1000000,请确定办2768是位

数；

(2)由32768的个位上的数是8,请确定132768的个位上的数是，划去32768

后面的三位数768得到32,因为33=27,4'64,请确定密欣的十位上的数是

⑶已知13824和-110592分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：

V32768=；V-H0592=

12.先阅读下面的材料，再解答后面的各题：

现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文(真

实文)按计算机键盘字母排列分解，其中……,N，用这26个字母依次对应

123,……,25,26这26个自然数(见下表).

QWERTYU/0PASD

12345678910111213

FGHJKLZXCVBNM

14151617181920212223242526

给出一个变换公式：

xJ=1(x是自然数,1<x<26,x被3整除)

4-7

\xJ=-r-+17(X是自然数,1KXK26,N被3除余1)

3

』=答+8(K是自然数,lGW26,x被3除余2)

将明文转成密文，如4n挈+17=19,即R变为乙：11=学+8=12,即八变为5.籽密

33

文转成成明文，如21=3x(21-17)-2=10,即X变为P：13=3x(13—8)-1=14,即。

变为F.

(1)按上述方法将明文译为密文.

(2)若按上方法将明文译成的密文为。附V,请找出它的明文.

13.如图所示，4（1,0）,点8在y轴上，将三角形04B沿x轴负方向平移，平移后的

图形为三角形OEC,点C的坐标为（-3,2）.

（1）直接写出点E的坐标;

（2）在四边形48CD中，点P从点O出发，沿。8今8。今。。移动，若点P的速度为每秒1

个单位长度，运动时间为t秒，请解决以下问题；

①当t为多少秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

②当t为多少秒时，三角形PEA的面积为2,求此时P的坐标

（1）如图①，CD//OE,若NAO8=90。，ZOCD=120°,求/8OE的度数；

（2）在①中，将射线OE沿射线。8平移得OF（如图②），若NAO8=a,探究N。8

与N8OE的关系（用含a的代数式表示）

（3）在②中，过点。，作。8的垂线，与NOCD的平分线交于点P（如图③），若

=90%探究/AOB与980E的关系.

图①图②图③

15.在平面直角坐标系中，已知长方形4区。。，点做4,0）,。（8,2）.

（1）如图，有一动点P在第二象限的角平分线，上，若NPC8=10。，求乙CP。的度数;

（2）若把长方形力BCC向上平移，得到长方形AB'C'D'.

①在运动过程中，求404,的面积与404a的面积之间的数量关系；

②若4c，〃。。，求的面积与的面积之比.

16.我们定义，关于同一个未知数的不等式4和3,若A的解都是8的解，则称A与8存

在“雅含〃关系，且A不等式称为。不等式的“子式

如A:xvO,B:xvT,满足A的解都是〃的解，所以A与8存在“雅含〃关系，A是A的“子

式”.

(1)若关于x的不等式4:x+2>l,B:x>3,请问A与8是否存在“雅含〃关系，若存

在,请说明谁是谁的“子式”；

(2)已知关于X的不等式C：F〈等，D:2A-(3-X)<3,若C与O存在“雅含〃关

系，且。是。的“子式”，求。的取值范围；

(3)已知2〃?+〃=%,in-/?=3»加之3，〃〈一1,且攵为整数，关于x的不等式

P:履+6>x+4,2：6(2x-l)<4x+2,请分析是否存在A,使得P与。存在“雅含〃关系,

且。是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由.

17.在平面直角坐标系中，4a,1),以43)满足(〃+1)2+后五=0.

(1)直接写出。、力的值：;b=；

(2)如图1,若点23,,?)满足△ASP的面积等丁6,求〃的值；

(3)设线段A8交了轴于C,动点E从点C出发，在y轴上以每秒1个单位长度的速度向

下运动，动点F从点(-8,0)出发，在x轴上以每秒2个单位长度的速度向右运动，若它们同

时出发，运动时间为，秒，问/为何值时，有A、觇=25丫杵？请求出/的值.

18.如图所示，在直角坐标系“丁中，己知A(60),8(8,6),将线段OA平移至C8,连接

OC、AB.CD、BD,且OC//A8,点。在x轴上移动(不与点。、A重合).

(1)直接写出点。的坐标；

(2)点。在运动过程中，是否存在△QDC的面枳是△A3。的面积的3倍，如果存在请求

出点。的坐标，如果不存在请说明理由；

(3)点。在运动过程中，请写出NOCQ、ZABD.NBDC三者之间存在怎样的数量关

系，并说明理由.

19.历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示.例如f(x)=x2+3x-

5,把x=某数时多项式的值用f(某数)来表示.例如x=-l时多项式x2+3x—5的值记为

f(-l)=(-l)2+3x(-l)-5=-7.

(1)已知g(x)=-2x2—3x+l,分别求出g(—1)和g(—2)；

(2)已知h(x)=ax3+2x2—ax—6,当h(g)=a,求a的值；

⑶已知f(x)=一三如一2(a,b为常数)，当k无论为何值，总有f⑴=0,求a,b

36

的值.

20.阅读下列材料，解答下面的问题：

我们知道方程2x+3y=12有无数个解.，但在实际生活中我们往往只需求出其

正整数解.

例：由2x+3y=12,得：)，="言=4号，(x、y为正整数)

•••〈xr>°r八，则有又y=4--2;,x■为正整数，则2丁,x为正整数•由2与3互质，

12-2x>033

可知：X为3的倍数，从而x=3,代入y=4-Y2=2「.2x+3y=12的正整数解为‘一3；

3[y=2

问题：

(1)请你写出方程2.r+)：=5的一组正整数解：.

(2)若二为自然数，则满足条件的x值为____________.

x-2

(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢

笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

21.已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆

B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A型车a

辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和I辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

⑵请你帮该物流公司设计租车方案；

⑶若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车

方案，并求出最少租车费.

22.每年的6月5日为世界环保为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的

新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：

甲型机器乙型机器

价格（万元/台）ab

产量（吨/月）240180

经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3

台乙型机器多6万元.

（1）求。、b的值；

（2）若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一

种最省钱的购买方案.

23.在平面直角坐标系中，点八、3在坐标轴上，其中A（0M）、B9,0）满足

（2）将线段A8平移到CD,点A的对应点为C（-2,f）,如图1所示，若三角形A8C的面

积为9,求点。的坐标；

（3）平移线段48到。力，若点C、。也在坐标轴上，如图2所示.P为线段48上的一

动点（不与A、B重合），连接OP、PE平分NOPB,/BCE=2/ECD.求证：

/BCD=3（ZCEP-ZOPE）.

24.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，A点的坐标为A（m,〃-1）,8点的坐

标为（一砌，其中…是二元一次方程组二二二2的解，过点A作1轴的平行线交，轴

于点C.

yjkJ'Ayjk

cccA

BxBxBOx

（1）求点A8的坐标：

（2）动点P从点8出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线BO的方向运动，连接PC,

设点P的运动时间为Z秒，三角形OPC的面积为S（SHO）,请用含/的式子表示S（不用写

出相应的/的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，在动点P从点8出发的同时，动点。从点C出发以每秒1个单位长

度的速度沿线段C4的方向运动.过点。作直线PC的垂线，点G为垂足；过点。作直线

PC的垂线，点〃为垂足.当OG=2Q〃时，求f的值.

25.某治污公司决定购买10台污水处理设备.现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中

每台的价格与月处理污水量如下表：

甲型乙型

价格（万元/台）Xy

处理污水量（吨/月）300260

经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台

乙型设备少2万元.

（1）求x,y的值；

（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买

方案；

（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设

计一种最省钱的购买方案.

26.某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过3km行程的出租车价格），超过3km

行程后，其中除3km的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足Ikn】按

1km计算）.如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过3km,那么顾客还

需付回程的空驶费，超过3km部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米

2.4元计费）.如果往返都乘同•出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费

而加收1.6元等候费.现设小文等4人从市中心4处到相距Akm（x<12）的8处办事，

在8处停留的时间在3分钟以内，然后返回A处.现在有两种往返方案：

方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）；

方案一：4人乘同一辆出租车往返.

问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）

27.阅读理解：

例1.解方程|x|=2,因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方程|%|=2

的解为x=±2.

例2.解不等式在数轴上找出|x-1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对

应的点的距离等于2的点对应的数为・1或3,所以方程|x-1|=2的解为x=-1或乂=

3,因此不等式|x-l|>2的解集为xV-l或x>3.

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x-2|=3的解为；

（2）解不等式：|x-2|d

（3）解不等式：|x-4|+|x+2|>8.

（4）对于任意数x,若不等式|x+2|+|x-4|恒成立，求a的取值范围.

28.在平面直角坐标系中，点｛《1）,,C（c,3）,且a,b,c满足

2力+c=3a+13

a+c=2b+]

（2）当实数。变化时，判断AAAC的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其

变化范围；

（3）如图，已知线段AB与轴相交于点E,直线AC与直线03交于点若

2PAWPC,求实数。的取值范围.

29.（发现问题）已知J：""：%,求4x+5y的值.

方法一：先解方程组.得出X,y的侑，再代入，求出4x+5.v的俏.

方法二：将①x2-②，求出4x+5y的值.

（提出问题）怎样才能得到方法二呢？

（分析问题）

为了得到方法二，可以将①x,〃+②X”，可得（3〃?+2〃）5+（2"?-〃）），=4而+6〃.

令等式左边⑶〃+2〃》+（2〃L〃）），=4x+5y,比较系数可得'「,求得《,

2〃L〃=5[//=-]

（解决问题）

（1）请你选择一种方法，求4八十5），的值;

3x+2y=4

(2)对于方程组《利用方法二的思路,求7x-7y的值;

2x-y=6

(迁移应用)

l<2x+y<2

(3)已知〈求x-3y的范围.

4<3x+2y<7

30.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标分别为(L0)、(-2,0),现同时将点分

别向上平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点48的对应点。、D,连接4C、

4)、CD.

(1)若在)，轴上存在点M,连接MA、MA,使8M=5“88，求出点M的坐标;

(2)若点P在线段“。上运动，连接PC、PO,求S=5“CO+S“O8的取值范围；

(3)若尸在直线3。上运动，请直接写出NCP。、/DCP、N3OP的数量关系.

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一、解答题

1.(1)①1,4；3,0；2,-4；②2；(2)见解析；(3)t=1.2时，P(0.6,0),t=2

时，P(-l,0).

【分析】

(1)①利用非负数的性质求出a,b的值，可得结论.

②利用三角形面积公式求解即可.

(2)连接。H,根据△OOH的面枳+44DH的面积的面枳，构建关系式，可得结

论.

(3)分两种情形：①当点P在线段。8上，②当点。在8。的延长线上时，分别利用面

积关系，构建方程，可得结论.

【详解】

(1)解：①:5/J^+S—3)2=0,

又y]4-a>Q,(b-3)2>0»

a=4,b=3,

/.4(1,4),8(3,0),

••.8是由A平移得到的，

「•A向右平移2个单位，向下平移4个单位得到8,

「•点C是由点0向右平移2个单位，向下平移4个单位得到的,

C(2,-4),

故答案为：1,4；3,0；2>-4.

(2)△AOH的面积=gxlx4=2,

故答案为：2.

,/△ODH的面积+△ADH的面积=△OAH的面积，

/.；xlx〃+gx4x(l-m)=2,

/.4m=n.

(3)解:①当点P在线段08上，

由三角形AOP与三角形C0Q的面积相等得：

yOP-yA=7OQxc,

2*(32t)x4=:x2t,

解得t=1.2.

此时P(0.6,0).

②当点P在8。的延长线上时，

由三角形40P与三角形C0Q的面积相等得：

21COCPyA=-I”OQxc,

gx(2t-3)x4=gx2xt,

解得t=2,

此时P(-1,0),

综上所述，t=1.2时，P(Q6,0),t=2时，P(-l,0).

【点睛】

本题考查坐标与图形变化.平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会

利用参数构建方程解决问题.

2.(1)ZBEO+ZDFO=260°；(2)NEMN-NFNM的值为40。；(3)

【分析】

(1)过点。作0GII48,可得A8IIOGWCD,利用平行线的性质可求解;

(2)过点M作MKW4B,过点N作NHWCD,由角平分线的定义可设NBEM=NOEMw

ZCFN=AOFN=yf由N8E0+NOFO=260°可求x-y=40°,进而求解；

(3)设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点、K,根据平行线的性质即三角形外角的性

质及/FMN-NENM=50,,可得NKF£>-NAEG=50。，结合

ZAEG=〃NOEGDFK=nZ.OFK,NBEO+NO尸0=260°,可得

ZAEG+-ZAEG+\SO°-^KFD--ZKFD=\OO°

nnf

即可得关于〃的方程，计算可求解〃值.

【详解】

证明：过点。作。GII48,

图1

74811CD,

.)811OGWCD,

ZBEO+ZEOG=180°,ZDFO+ZFOG=180°,

N3£O+N£OG+NL>"O+N/・OG=360°,

即ZBEO+/EOF+ZDFO=360°,

ZEOF=100°,

：.ZBEO+ZDFO=260°：

(2)解：过点乂作”(1148,过点N作MYII8,

图2

,/EM平分/BEO,FN平分/CFO,

设NB£M=NOEM=.r,£CFN=/OFN=y,

•••"EO+/DFO=2gc

ZBEO+ZDFO=2x+180o-2y=260°,

/.x-y=40°,

,/MKWAB,NHWCD,ABWCD,

/.AB\lMKWNHWCD,

NEMK=/BEM=x,ZHNF=4CFN=y,NKMN=NHNM,

/.4EMN+/FNM=NEMK+4KMN-(/HNM+/HNF)

=x+4KMN-NHNM-y

=x-y

=40°,

/EMN—/FNM的值为40°：

(3)如图，设直线成与EG交于点H,FK与AB交于点、K,

图3

,「4811CD,

ZAKF=/KFD,

ZAKF=/EHK+/HEK=/EHK+ZAEG,

/KFD=/EHK+ZAEG,

•//EHK=ANMF-4ENM=50°,

/.ZKFD=5O0+ZAEG,

即/KFD-ZAEG=50。,

ZAEG=n/OEG,FK在NDFO内，ZDFK=n^OFK.

：.ZCFO=180°-ZDFK-ZOFK=180°-ZKFD--ZKFD,

n

^AEO=ZAEG+乙OEG=Z4EG+-NAEG,

n

NBEO+/DFO=20)。,

：.ZAEO+ZCFO=100°,

ZAEG+-ZAEG+\S0°-^KFD--ZKFD=100°,

nn

即f1+-l(Z/fFD-ZAFGi=80°,

1

1+-x50°=80°,

In)

解得〃].

经检验，符合题意，

故答案为：|.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

3.(1)35,35,平行；(2)NFMN+NGHF=180°,证明见解析；(3)不变，2

【分析】

(1)根据(«-35)2+|6句=0,即可计算覆和6的值，再根据内错角相等可证A8IICD：

(2)先根据内错角相等记GHIIPN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

ZFMN+NGHF=18Q\

(3)作NPEMi的平分线交MQ的延长线于R,先根据同位角相等证ERIIFQ,得

ZFQM尸NR,设NPERMREB=x,ZPMiR=NRMyB=y,得出/EPMi=2NR,即可得

乙卜PN、

~^(T=2'

【详解】

解:(1)(a-35)2+16-ct|=0,

a=6=35,

ZPFM=ZMFN=35°,ZEMF=35°,

ZEMF=ZMFN,

：.AB\\CD；

（2）ZFMN+NGHF=180。；

理由：由（1）得4811CD,

/.ZMNFMPME,

,/ZMGH=ZMNF,

ZPME=NMGH,

：.GHWPN,

ZGHM=/FMN,

■：ZGHF+Z.GHM=180°,

ZFMN+Z.GHF=180°：

ZFPN

（3）的值不变，为2,

理由：如图3中，作NPE%的平分线交MiQ的延长线于R,

'：ABWCD,

ZPEM1=NPFN,

•；4PER=；4PEM1,NPFQ=*4PFN,

NPER=NPFQ,

ERIIFQ,

图3

ZFQ/Vfi=ZR,

设NPER=Z.REB;x,ZPMiR=NRM\B-y,

ml.[y=x+ZR

[2y=2x+ZEPM,,

可得/EP/Vh=2NR,

ZEPMi=2NFQMi,

NEPM1乙FPN、

，‘"QM=NQ-

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

4.(1)证明见解析；(2)补图见解析；当点。在AG上时，2ZAHB-ZCBG=90°；当

点C在OG上时，2NA/7B+NC8G=90。.

【分析】

(1)过点G作GE//MN,根据平行线的性质即可求解；

(2)分两种情况：当点C在AG上，当点。在QG上，再过点〃作即可求解.

【详解】

(1)证明：如图，过点、G作GE//MN,

NM4G=ZAGE,

•/MN//PQ,

/.GE//PQ.

NPBG=NBGE.

BG±AD,

/.ZAGB=90°,

ZMAG+ZPBG=ZAGE+Z.BGE=ZAGB=9()°.

(2)补全图形如图2、图3,

猜想：-NC3G=90°或2Z4〃A+NCAG=90°.

证明：过点、H作HF//MN.

图2图3

N1=NAHF.

•「MN//PQ,

：.HF//PQ

Z2=/BHF,

ZAHB=ZAHF+NBHF=Nl+N2.

「A〃平分/M4G,

ZAMG=2Z1.

如图3,当点。在AG上时，

BH斗分乙PBC,

ZPBC=/PBG+NCBG=2Z2,

•「MN//PQ,

/MAG=NGDB,

2/AHB=2/1+2Z2=ZMAG+NPBG+ZCBG

=NGDB+NPBG+NCBG

=90°4-ZCBG

即2ZAHB-/CBG=90°.

如图2,当点C在QG上时，

,/BH平分NPBC,

APBC=ZPBG-ZCBG=2Z2.

2ZAHB=2Z1+2Z2=ZMAG+/PBG-/CBG=90°-/CBG.

即2ZAHB+4CBG=90°.

【点睛】

本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及足的运算，解题的关键是准确作出

平行线，找出角与角之间的数量关系.

4FPN

5.(1)20,20,ABHCD；(2)NFMN+NGHF=180。；(3),的值不变,

ZFP7V,__

/。-L

【分析】

(1)根据(40-24+|6-20|=0,即可计算a和4的值，再根据内错角相等可证A4〃CO；

（2）先根据内错角相等记G////PN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

Z™v+ZGHF=18O°；

（3）作NPEM的平分线交MQ的延长线于R，先根据同位角相等证EH〃尸Q，得

NFQM『NR,设/PER=/REB=X,NPMM=NR%B=y,得出NE/>M=2NR,即可

得*

【详解】

解；(1)•,•0O-2a)2+|/7-2O|=O,

.\40-2a=0,P-20=0,

二.a=尸=20,

NPFM=NMFN=20°,ZEMF=20°,

；2EMF=/MFN,

:.ABHCD；

故答案为：20、20,AB//CD；

(2)"MN+NGH”=18O°；

埋由：由(1)得A6//C。，

:.ZMNF=NPME,

••,ZMGH=4NF,

：2PME=,GH,

：.GH!/PN,

Z.GHM=乙FMN,

4GHF+NGHM=180°,

.•.NFMN+NGHF=180°；

/FPNZ.FPN

（3）的值不变，2」=2；

理由：如图3中，作/「EM1的平分线交MQ的延长线干扭,

-AB//CD,

：."EM】=4PFN,

•;NPER=；NPEMi，ZPFQ=^ZPFN,

二NPER=NPFQ,

：.ER//FQ,

,R

03

NFQM、=4R,

设/PER=/REB=x,NPM\R=NRM1B=y,

（y=x+ZR

则有：k°，

2y=2x+//ErDPMAX|

可得"PM】=2/R,

:.NEPM'=2"QM,

./EPM、_?

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

6.（1）证明见解析；（2）ZABC-ZF=90°：（3）45°.

【分析】

（1）过点。作b〃A8,先根据平行线的性质可得乙4BC+N8（才=180。，再根据平行公

理推论可得。后，然后根据平行线的性质可得NCOE+N8b+N8C£>=180。，由此即

可得证；

（2）过点C作CG〃44,同（1）的方法，先根据平行线的性质得出

ZABC+ZBCG=180°,Z.F+ZBCG+ZI3CF=180°,从而可得ZABC—NF=NBCF,再

根据垂直的定义可得N3W=90。，由此即可得出结论；

（3）过点6作6"||48,延长叩至点N,先根据平行线的性质可得NA4H=NMGH,

4MGN=4DFG,从而可得ZMGH-NMGN=ZABH-NDFG,再根据角平分线的定义、

结合（2）的结论可得NMG”-/MGN=45。，然后根据角的和差、对顶角相等可得

/BGD-/CGF=/MGH-NMGN,由此即可得出答案.

【详解】

证明：（1）如图，过点。作。/〃48,

B,

ED

;.NABC+NBCF=180。,

VABIfDEt

/.CFPDE,

:.NCDE+/DCF=180°,K|JZCDE+Z.BCF+ZBCD=1S0°,

/.ZCDE+ZBCF+ZBCD=ZABC+ZBCF,

/.ZBCD+ZCDE=ZABC；

(2)如图，过点C作CG〃A8,

.\ZABC+ZBCG=180°,

•••ABIIDE,

:.CG\\DE,

ZF+ZFCG=180。，即ZF+/BCG+ZBCF=180°,

/.ZF+4BCG+ZBCF=ZABC+/BCG,

;.ZABC-/F=/BCF,

vCFlBC,

/.NBC产=90。，

.­.ZA^C-ZF=90°：

(3)如图，过点G作GM||A8,延长AG至点N,

D

:.ZABH=4MGH,

vAB\\DEt

；.GM||DE,

:.ZMGN=ZDFG,

平分NABC,FN平分乙CFD,

NABH=-NABC,NDFG=-NCFD,

22

由(2)可知，/ABC—NC产。=90。，

/./MGH-/MGN=NABH-NDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

"BGD=NMGH+AMGD

又，,

4CGF=NDGN=/MGN+4MGD'

:./BGD—NCGF=/MGH-NMGN=45°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性

质是解题关键.

7.(1)3,0,-2(2)(4,30)

【解析】

分析：(1)根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；

(2)应用规定和同底数察相乘的性质逆用变形计算即可.

详解：(1),/33=27

(3,27)=3

,/50=1

(5,1)=1

(2,-)=-2

4

(2)设(4,5)=x»(4.6)=y

则4、=5,4y=6

...4x+y=4x-4y=30

(4,30)=x+y

(4,5)+(4,6)=(4,30)

点睛：此题是一个规定计算的应用型的题H,关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记

忆基的相关性质.

彳2020_[i?201_irlOI

8.(1)2M°-1;(2)-——；(3).

24

【分析】

仿照阅读材料中的方法求出所求即可.

【详解】

解：(1)根据1+2+22+2'+…+25O=2”-1

得：1+2+22+23+...+230'9=22020-1

(2)设5=1+3+3、33+...+3刈9,

则3s=3+3?+3,+34+...+32020，

3*

2

o2020।

即；1十3十3?十33十…十3初——

2

(3)设5=l+5+52+53+...+52CO,

贝IJ55=5+52+53+54+...+5如，

5S-S=5刈-1,

.«5刈-1

..5=--------

4

即：1+5+52+53+...+5.=1

4

5*1

同理可求团1+5+5?+5'+...+5m

~7~

..5,0,+5,024-5,03+...+5200=(1+5+52+53+...+5200)-(1+5+52+53+...+5,0°)

.•.5—.+5200

44~~4

【点睛】

此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键.

9.(1)①5；②-2；(2)1；(3)16.

【分析】

⑴根据题中定义代入即可得出；

(2)根据x=2,讨论3和阳的两种大小关系，进行计算；

⑶先判定A、B的大小关系，再进行求解.

【详解】

(1)根据题意：2>-1,

2※㈠)=2x2_(-l)=5,

-4<-3,

(-4)^(-3)=-4-jx(-3)=-4+2=-2.

(2)x=2,

3X"?=-l+3x2=5,

①若3>〃？，

则2x3—/〃=5,解得〃7=1,

②若3<6，

2

则3-§x/〃=5,解得〃2=-3(不符合题意),

・・m=

(3)'//\-«=(-X3+4X2-X+1)-(-X3+6X2-X+2)=-2X2-1<0,

A<B,

2o

B=A—B=-x^+4x~—x+1——(-x，+6A*--x+2)=—3,

得x，+x—8=0,

2f+2.r=2x8=16.

【点睛】

本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键.

10.(1)--(2)-2^

44

【分析】

(1)根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答：

(2)根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.

【详解】

]_

4

<2^51

(2)原工弋=(—2019+2018—2017+2016)+-

【点睛】

此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.

11.(1)两；(2)2,3；(3)24,-48.

【分析】

(1)根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；

(2)继续分析求出个位数和十位数即可；

(3)利用(1)(2)中材料中的过程进行分析可得结论.

【详解】

解：(1)由103=1000,1003=1000000,

,/1000<32768<100000,

10<V32768<100,

「•V32768是两位数;

故答案为：两；

(2)V只有个位数是2的立方数是个位数是8,

.・・^32768的个位上的数是2

划去32768后面的三位数768得到32,

因为33=27,43=64,

•/27<32<64,

「•30<</32768<40.

#32768的十位上的数是3.

故答案为：2,3；

(3)由103=1000,1003=1000000,

1000<13824<1000000,

10<V13824<100,

W3824是两位数;

・「只有个位数是4的立方数是个位数是4,

加砺的个位上的数是4

划去13824后面的三位数824得到13,

因为23=8,33=27,

・「8<13<27,

20<V13824<30.

33824=24；

由103=1000,1003=1000000,

1000<110592<1000000,

10<^110592<100,

110592是两位数:

只有个位数是8的立方数是个位数是2,

#110592的个位上的数是8,

划去110592后面的三位数592得到110,

因为43=64,53=125,

•/64<110<125,

40<Vl3824<50.

...V-110592=-48；

故答案为：24,-48.

【点睛】

此题考查立方根，解题关健在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的

个位数.

12.(1)N,E,T密文为M,Q,P;(2)密文D,W,N的明文为F,Y,C.

【分析】

⑴由图表找出N,E,T对应的自然数，再根据变换公式变成密文.

⑵由图表找出N=M,Q,P对应的自然数，再根据变换.公式变成明文.

【详解】

解：(1)将明文NET转换成密文：

95+2

N->25->-------+17=26->M

3

3

3

—+8=10->P

3

即N,E,T密文为M,Q,P;

(2)将密文D,W,N转换成明文：

D->13->3x(13-8)-l=14->F

Wf2f3x2=6-丫

N—2573x(25-17)-2=22-C

即密文D,W,N的明文为F,Y,C.

【点睛】

本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字

母，正确运用