2026年湖南省衡阳市高考数学第二次联考试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年湖南省衡阳市高考数学第二次联考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x||x−2|<2}，则A∪B=(

)A.(−2,3) B.(−2,4) C.(0,3) D.(2,4)2.已知复数z满足z⋅z−=8，则|z|=A.22 B.23 C.3.若函数f(x)=2|x−a|在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(

)A.(−∞,0] B.[0,+∞) C.(−∞,1] D.[1,+∞)4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，则tan(α−π4A.−3 B.−13 C.135.已知抛物线y2=mx(m>0)上的点P(4,y0)到抛物线焦点F的距离为5A.4 B.3 C.2 D.16.已知向量a=(1,−1)，b=(2,x)，若向量a+b在向量a上的投影向量为3aA.−1 B.−12 C.−37.已知点P是直线l：x+y+1=0上一点，过点P作圆C：(x−5)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，BA.26 B.223 8.已知函数y=ex与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，函数f(x)=g(x)+(a−1)x，a>1，若方程f[f(x)]=x在区间[2,4]上有解，则实数a的取值范围为(

)A.[1+ln22,1+1e] B.(1,1+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)和f(x+1)均为偶函数，且当x∈[0,1]时f(x)=−(x−1)2+2，则A.f(−12)=74 B.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称

C.函数f(x)是周期为2的周期函数 D.10.在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b≠c，sinA=sin2B，则(

)A.A=2B

B.若a=3，b=2，则c=52

C.若三角形ABC为锐角三角形，则ab的取值范围是(2,2)

11.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E为BC的中点，将△BAE沿AE向上翻折到△PAE，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是(

)A.若平面PAE⊥平面ABCD，则PA⊥DE

B.四棱锥P−AECD的体积最大值为42

C.点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为2π

D.三棱锥P−AED的外接球表面积的最小值为16π

三、填空题：本题共3小题，每小题12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P13.已知样本数据x1，x2，⋯，x2026的平均数为a，设k=λa，当函数f(k)=i=12026(x14.某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为23，派出技能题的概率为13.若某选手答对素养题的概率为25，答对技能题的概率为15，各轮答题正确与否相互独立.记该选手在第n(n≥3)轮答题结束时挑战依然未终止的概率为pn，记f(n)=3p四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9=81，a3+a5=14，数列{bn}的前n项和为Tn，满足2Tn+1=3bn．

16.(本小题15分)

每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌α和致病菌β共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈．

(1)现有一种对疾病S的试剂检测方法，该检验方法对患病S的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病S的人进行化验，检测结果有98%呈阴性.检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率.若某地区疾病S的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率(结果精确到0.001)；

(2)对疾病S有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天(药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗(无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率).若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌α和致病菌β的概率分别为12,34，药物B杀灭致病菌α和致病菌β的概率均为2317.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AB=2AD=6，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，PF=λPD．

(1)证明：BE⊥平面PAC；

(2)当λ=23时，求点P到平面EFH的距离；

(3)若λ∈[118.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，椭圆C经过点(3,0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l交椭圆C于M，N两点(与A，B不重合).设直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，且k2=3k1．

(i)求证：BM⊥BN19.(本小题17分)

已知函数f(x)=a(x+1)lnx−x+1．

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−3y+1=0垂直，求实数a的值；

(2)若函数f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3．

(ⅰ)参考答案1.B

2.A

3.C

4.B

5.A

6.D

7.D

8.C

9.ACD

10.ABD

11.AD

12.513.1

14.(−115.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

因为S9=81，a3+a5=14，

所以9a1+9×82d=81a1+2d+a1+4d=14，即a1+4d=9a1+3d=7，解得a1=1d=2，

所以an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1；

因为2Tn+1=3bn，

所以当n=1时，2b1+1=3b1，即b1=1；

当n≥2时，2Tn−1+1=3bn−1，

两式相减得，2Tn+1−(2Tn−1+1)=3bn−3bn−1，

所以2bn=3bn−3bn−1，即bn=3bn−1(n≥2)，

又b1=1≠0，所以bnbn−1=3,n≥2，

所以数列{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，

所以bn=3n−1．

(2)由(1)知，an=2n−1，bn=3n−1，

所以cn=2bn(an−1)an⋅an+1=3n−1(4n−4)(2n−1)(2n+1)=−(3n−12n−1−3n2n+1)，

所以Rn=c1+c2+⋯+cn=−(301−313+313−325+325−337+⋯+3n−12n−1−3n2n+1)

=−(1−3n2n+1)=3n2n+1−1，

故数列{cn}的前n项和Rn=3n2n+1−1．

16.解：(1)记事件A：检测结果阳性，事件B：患病S，

由题意可知，P(B)=0.004,P(B−)=0.996，P(A|B)=0.96，P(A|B−)=0.02，

∴P(A)=P(B)P(A|B)+P(B−)P(A|B−)=0.004×0.96+0.996×0.02=0.02376，

∴这种检验方法在该地区的误诊率为P(B−|A)=P(AB−)P(A)=P(B−)P(A|B−)P(A)=0.996×0.020.02376≈0.838．

(2)药物A杀灭致病菌α和致病菌β的概率分别为12,34，药物B杀灭致病菌α和致病菌β的概率均为23，

对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，

设P(A)表示药物A能治愈疾病S的概率，P(B)表示药物B能治愈疾病S的概率，

则有P(A)=1−(1−12)(1−34)=78，P(B)=1−(1−23)2=89．

设先用药物A再用药B来治愈疾病S所需的天数为X1，X1的可能取值为3，6，9，

则P(X1=3)=P(A)，P(X1=6)=[1−P(A)]×P(B)，

P(X1=9)=[1−P(A)]×[1−P(B)]，

∴E(X1)=3P(A)+6[1−P(A)]×P(B)+9[1−P(A)]×[1−P(B)]

=9−6P(A)−3P(B)+3P(A)P(B)=9−6×78−3×89+3×78×89=4112．

设先用药物18.解：(1)设椭圆的半焦距为c，则依题意有e=ca=633a2=1a2=b2+c2，解得a=3b=1c=2，

所以椭圆C的方程为x23+y2=1．

(2)(i)证明：连接MB，由(1)知：A(−3,0)，B(3,0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

因为x123+y12=1，所以x12−3=−3y12，

所以k1⋅kBM=y1x1+3⋅y1x1−3=y12x12−3=y12−3y12=−13，

又k2=3k1，所以13k2⋅kBM=−13，即k2⋅kBM=−1，所以BM⊥BN；

(ii)易知直线MN斜率不为0，则设直线MN方程为x=my+t，

联立x=my+tx23+y2=1，消去x得(3+m2)y219.解：(1)由题得f′(x)=a(lnx+x+1x)−1，

因此f′(1)=a(ln1+1+11)−1=2a−1，

因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−3y+1=0垂直，

因此13×(2a−1)=−1，得a=−1，因此a的值为−1；

(2)(ⅰ)f(x)=0(x>0)等价于alnx−x−1x+1=0(x>0)，

令g(x)=alnx−x−1x+1，又g(1)=0，可知g(x)除了1之外还有两个零点，

又g′(x)=ax2+(2a−2)x+ax(x+1)2，令h(x)=ax2+(2a−2)x+a(x>0)，

当a≤0时，h(x)<0恒成立，故g(x)在(0,+∞)上单调递减，不合题意；

当a>0时，若函数f(x)有三个零点，则其等价函数g(x)必有除1外的两