福建宁德市第五中学等校2025-2026学年第二学期适应性练习高一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建宁德市第五中学等校2025-2026学年第二学期适应性练习高一数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z1+i=−2i，则z的虚部为(

)A.1 B.i C.−1 D.−i2.已知非零向量a，b，则“a⋅b=a⋅cA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件3.在▵ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且a,b是方程x2−5x+5=0的两个根，C=60∘，则A.10 B.210 C.104.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形用斜二测画法得到的直观图A′D′=4,A′B′=B′C′=2，则平面图形ABCD的面积为(

)

A.4 B.6 C.33 5.一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西60∘方向行驶20千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A､C两处之间的距离是(

)A.20千米 B.102千米 C.106千米6.已知向量a、b的夹角为π3，且(a−b)⊥(a+bA.12b B.32b 7.如图，在▵ABC中，AC=3,AB=2,BD=2DC，则sin∠CADsin∠BAD=(

)A.3 B.2 C.32 D.8.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知▵ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，以下结论正确的是(

)A.OH=OA−OB+OC B.OH二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于复数z，下面是真命题的是(

)A.若z=z，则z∈R B.z2=|z|2

C.若z2∈R，则10.四边形ABCD是边长为2的正方形，M是线段BC上的动点(包括端点B､C)，则(

)A.AM⋅DC=4

B.当AB+MC=AM时，M为BC中点

C.MA11.锐角▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,▵ABC的面积为S，若a2−b2A.A=2B B.B=2A

C.若cb=54，则cosB=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知▵ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件A=π3，b=2的三角形有两解，则边长a的取值范围为

．13.矩形ABCD中，AB=6,BC=8，现将▵ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体D−ABC，则该四面体外接球的体积为

．14.如图，C,D是以AB为直径的圆O上的动点，已知AB=4，则AC⋅BD的最大值是

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，F是BC上一点，且DE=2EC，BF=3(1)用基底a,b分别表示向量(2)若EG=4EF，用平面向量方法证明A,B,G16.(本小题15分)已知i为虚数单位，复数z1=m+2im∈R(1)若z1z2(2)在复平面内，复数z1,z2,z3对应的点分别是17.(本小题15分)如图是一个正四棱台ABCD−A1B1C1D1的铁料，上(1)求四棱台ABCD−A(2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．18.(本小题17分)在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，满足bcosA−acos(1)求角B的大小；(2)D为AC边上的一点，BD=3，且__________，求(从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①BD是角B的平分线；②D为线段AC的中点．(3)若▵ABC为锐角三角形，求AC边上高的取值范围．19.(本小题17分)设两个非零向量a､b,OA=a,OB=b，定义伪叉积：a×b=a⋅(1)设a=3,1,(2)设a=x1(3)如图所示，四边形ABCD的外接圆圆心为O，半径为4，对角线AC､BD相互垂直且交点为E,OE=2，直线AB､CD交于点F,M､N分别为AC､BD的中点，求三角形FMN面积的最大值．

参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.B

6.A

7.D

8.C

9.AD

10.ABC

11.ACD

12.313.500π314.2

15.解：(1)由向量的减法可得DB=由向量的加法可得AE=同理EF=(2)由BG=则BG=AB，所以又B为公共点，即A,B,G三点共线．

16.解：(1)z∵z∴m−2=0;m+2≠0，解得∴z1=2+2i(2)复数z1=m+2im∈R，z2=1+i所以z则Am,2，B1,1，∵▵ABC为直角三角形，显然AB⊥BC．∴AB⋅BC解得m=1±

17.解：(1)如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取B1C1,BC中点过点M作MH⊥ON，交ON于点H．则O1所以MN=所以四棱台的表面积S=10(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台OO则圆台OO1上底面圆半径为O1高O1O=15cm，则圆台OO又正四棱台的体积V所以削去部分的体积V2所以削去部分与圆台的体积之比为3500−875π875π

18.解：(1)由bcosA−acossinB−A故sinB−A+sin得sinA=2cosBsinA∵B∈0,π(2)若选①：由BD平分∠ABC得：S△ABC又BD=3，∴12ac在▵ABC中，由余弦定理得b2又b=2，则a2联立ac=a+ca2+c2∴S若选②：D为线段AC的中点，则BD=则BD2由(1)知∠ABC=π所以a2在▵ABC中，由余弦定理得b2又b=2，则a2联立a2+c∴S(3)由(1)知B=π3，已知由正弦定理得2R=b故ac=4R2=8由于▵ABC为锐角三角形，故0<A<π20<因此2A+π3则ac=故三角形的面积为S▵ABC故AC边上的高为h，h=S

19.解：(1)由平面向量数量积的坐标运算可得cos∠AOB=由于∠AOB为锐角，则∠AOB=π故a×b×(2)不妨设射线OA,OB分别为角α,β的终边，则θ=β−α+2kπk∈Z设a=m，b=n，则a=则a=mnsin故a×b=