高等数学d1二重积分的计算

*三、二重积分换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分计算法第十章5/4/2026高等数学课件1/39一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件2/39当被积函数均非负在D上变号时,所以上面讨论累次积分法依然有效.这说明不论被积函数正负皆能够按上述方法定限.因为机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件3/39说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还能够交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件4/39例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,

则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件5/39例2.计算其中D是抛物线所围成闭区域.解1:为简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件6/39例2.计算其中D是抛物线所围成闭区域.解2:先对y后对x积分,及直线则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件7/39例3.计算其中D是直线所围成闭区域.解:

由被积函数可知,所以取D为X–型域:先对x积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分次序.机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件8/39例4.交换以下积分次序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件9/39补充题计算积分其中D由所围成.提醒:如图所表示连续,所以机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件10/39小贴士：关于二重积分对称性：D位于x轴上方部分为D1,当区域关于y轴对称时仍有类似结果.在D上域D关于x轴对称,则则轮换对称性机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件11/39例5.

计算其中D由所围成.解:令(如图所表示)显然,机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件12/39例6.解:机动目录上页下页返回结束求

（08研）将分为曲线5/4/2026高等数学课件13/39练习册.证实证:机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件14/39技巧题设且求提醒:交换积分次序后,利用轮换对称性机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件15/39练习1.提醒:机动目录上页下页返回结束计算可表示为：其中D是由围成。5/4/2026高等数学课件16/39练习2.提醒:机动目录上页下页返回结束交换积分次序练习3.计算D如图所表示。提醒:5/4/2026高等数学课件17/39练习4.提醒:机动目录上页下页返回结束计算5/4/2026高等数学课件18/39二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则及射线

=常数,机动目录上页下页返回结束为在极坐标下计算先讨论积分区域D：分划区域D为即5/4/2026高等数学课件19/39设则尤其,对机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件20/39特例：若f≡1则可求得D面积思索:以下各图中域D分别与x,y答:轴相切于原点,问

应取多少？(1)(2)机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件21/39例6.计算D为由圆所围成及直线解：平面闭区域.机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件22/39例7.计算解:因为对称性，只计算第一象限部分，①机动目录上页下页返回结束分为两个步骤：5/4/2026高等数学课件23/39求交点机动目录上页下页返回结束②5/4/2026高等数学课件24/39例8.计算其中解:在极坐标系下原式原函数不是初等函数,故本题无法用直角因为故坐标计算.机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件25/39注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用反常积分公式实际上,当D为R2时,利用例6结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束原函数不是初等函数,故本题无法用直角因为坐标计算.5/4/2026高等数学课件26/39例9.

求球体被圆柱面所截得(含在柱面内)立体体积.解:设由对称性可知:机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件27/39定积分换元法*三、二重积分换元法

满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应,机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件28/39证:依据定理条件可知变换T可逆.

用平行于坐标轴直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为经过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件29/39同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为机动目录上页下页返回结束所以面积元素关系为5/4/2026高等数学课件30/39从而得二重积分换元公式:比如,直角坐标转化为极坐标时,机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件31/39例9.

计算其中D是x轴y轴和直线所围成闭域.解:令则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件32/39例10.计算由所围成闭区域D面积S.解:令则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件33/39例11.

试计算椭球体解:由对称性令则D原象为体积V.机动目录上页下页返回结束广义极坐标代换5/4/2026高等数学课件34/39内容小结(1)二重积分化为累次积分方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件35/39则(2)普通换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下机动目录上页下页返回结束5/4/2026高等数学课件36/39(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽可能多为坐标线被积函数关于坐标变量