2026届新高考数学考前冲刺最后一课函数与方程思想

2026届新高考数学考前冲刺最后一课函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究；方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．2．高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查，特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、平面向量、立体几何等题目中．高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算，而在主观题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查．3．常见方法(1)运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．(2)利用函数性质求解方程问题函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．(3)构造函数解决一些数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果．应用一函数与方程思想在方程、不等式中的应用●核心知识1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2．含参不等式恒成立与存在性问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恒成立问题转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程(不等式)的方法．破解此类题的关键点：(1)灵活转化：①“关于x的不等式f(x)<g(a)在区间D上恒成立”转化为“f(x)max<g(a)”；“关于x的不等式f(x)>g(a)在区间D上恒成立”转化为“f(x)min>g(a)”；②“关于存在x∈D使得不等式f(x)<g(a)成立”转化为“f(x)min<g(a)”；“关于存在x∈D使得不等式f(x)>g(a)成立”转化为“f(x)max>g(a)”；(2)求函数值域：利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域；(3)得出结论：列出参数a所满足的方程(不等式)，通过解方程(不等式)，求出a的值(范围)．A．4

B．5

C．6

D．7(2)(2025·昆明高三期末)已知a>0，b∈R，若关于x的不等式(ax－1)(x2＋bx－1)≥0在(0，＋∞)上恒成立，2a－b的最小值是(

)A．c＞b＞a B．b＞c＞a

C．a＞b＞c D．b＞a＞c【答案】

(1)A

(2)D

(3)A应用二函数与方程思想在数列中的应用●核心知识数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决．●典例研析2．(1)(2025·杨浦区二模)设A是由k个二次函数组成的集合，对于连续的正整数1,2,3，…，2025，存在二次函数y＝fi(x)∈A(1≤i≤2025，i∈Z，y＝fi(x)可重复)，使得f1(1)，f2(2)，f3(3)，…，f2025(2025)是等差数列，则k的最小可能值是(

)A．507

B．1013

C．1519

D．2025(2)(2025·闵行区二模)已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2＝t，若a6＋b6＞38，则实数t的取值范围为____.【答案】

(1)B

(2)(2，＋∞)(2)由数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2＝t，得公差d＝t－1，公比q＝t，则a6＝1＋5t－5＝5t－4，b6＝t5，由a6＋b6＞38，得t5＋5t－4＞38，即t5＋5t－42＞0，令f(t)＝t5＋5t－42，该函数为R上的增函数，且f(2)＝0，∴实数t的取值范围为(2，＋∞)．应用三函数与方程思想在解析几何中的应用●核心知识1．解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.2．直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．【答案】

①③④应用四函数与方程思想在立体几何中的应用●核心知识立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．●方法技巧方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．●典例研析4．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(

)【分析】先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值．【答案】

C【解析】方法一：基本不等式方法二：统一变量＋基本不等式方法三：利用导数求最值应用五函数与方程思想在平面向量中的应用●核心知识1．平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：(1)向量代数化：利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)；(2)代数函数(方程)化：利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题；(3)得出结论：根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．2．平面向量中含函数(方程)的相关知识，对

平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．应用六函数与方程思想在概率统计中的应用●核心知识利用概率知识解决实际问题，尤其是生产和经营问题，其实与一般的应用题在本质上没有什么不同，只是因为个别因素由确定变量变成不确定变量，从而导致结果的不确定性，所以才需要作决策优化，抛开概率的烟雾弹，其实题目反映的都是最简单的公式(比如利润＝收入—成本)，所以面对复杂题目要学会审题，还是要回归常识．●典例研析6．(2025·汉中模拟)A，B两人做游戏，每次游戏只需用一只手完成，记A的左，右手分别为s1，s2，B的左，右手分别为t1，t2，每次游戏A，B的得分之和均为0，记A用s1的概率为x(0≤x≤1)，B用t1的概率为y(0≤y≤1)，每次游戏A的得分如下表所示(比如A用s1，B用t1参加游戏，A的得分为5)：

t1t2s15－7s2－13(1)分别求每次游戏A得分的期望与B得分的期望；【解析】

(1)因为A的左，右手分别为s1，s2，B的左，右手分别为t1，t2，每次游戏A，B的得分之和均为0，且A用s1的概率为x(0≤x≤1)，B用t1的概率为y(0≤y≤1)，每次游戏A的得分如下表所示(比如A用s1，B用t1参加游戏，A的得分为5)：

t1t2s15－7s2－13设每次游戏A