初中数学竞赛整除的判定

在初中数学竞赛中，整除问题是一类常见且基础的题型。熟练掌握数的整除判定方法，不仅能快速解决相关问题，更能培养对数字的敏感度和逻辑推理能力。本文将系统梳理初中阶段常用的整除判定方法，并结合实例进行说明，希望能为同学们提供有力的帮助。一、基本整除判定法则我们首先从最基础的单个数字的整除判定开始，这些是构建更复杂判定方法的基石。1.能被2或5整除的数一个数能否被2或5整除，只需观察其末一位数字。*末一位数字是偶数（0,2,4,6,8），则该数能被2整除。*末一位数字是0或5，则该数能被5整除。**原理简析：*因为10能被2和5整除，所以一个数的大小由其末一位决定其除以2或5的余数。例如，对于数ABCDE（字母代表各位数字），ABCDE=ABCD×10+E，其中ABCD×10显然能被10整除，即能被2和5整除，因此整个数能否被2或5整除，取决于E。例1：判断____能否被2整除，能否被5整除？*末位数字是6，为偶数，故能被2整除。*末位数字不是0或5，故不能被5整除。2.能被4或25整除的数一个数能否被4或25整除，只需观察其末两位数字所组成的数。*末两位数字所组成的数能被4整除，则该数能被4整除。*末两位数字所组成的数能被25整除，则该数能被25整除。**原理简析：*因为100是4和25的公倍数（100=4×25），所以任何整百的数都能被4和25整除。一个数可以表示为“整百的数+末两位数”，因此其能否被4或25整除，完全由末两位数决定。例2：判断____能否被4整除？375能否被25整除？*____的末两位是56，56÷4=14，故____能被4整除。*375的末两位是75，75÷25=3，故375能被25整除。3.能被8或125整除的数以此类推，一个数能否被8或125整除，只需观察其末三位数字所组成的数。*末三位数字所组成的数能被8整除，则该数能被8整除。*末三位数字所组成的数能被125整除，则该数能被125整除。**原理简析：*因为1000是8和125的公倍数（1000=8×125），所以任何整千的数都能被8和125整除。一个数可以表示为“整千的数+末三位数”，因此其能否被8或125整除，由末三位数决定。例3：判断____能否被8整除？1375能否被125整除？*____的末三位是456，456÷8=57，故____能被8整除。*1375的末三位是375，375÷125=3，故1375能被125整除。4.能被3或9整除的数一个数能否被3或9整除，取决于其各位数字之和。*各位数字之和能被3整除，则该数能被3整除。*各位数字之和能被9整除，则该数能被9整除。**原理简析：*我们知道10≡1(mod3或9)，因此10^n≡1^n=1(mod3或9)。所以，数ABCDE=A×10^4+B×10^3+C×10^2+D×10+E≡A×1+B×1+C×1+D×1+E=A+B+C+D+E(mod3或9)。因此，该数与它的各位数字之和模3或9同余。例4：判断____能否被3整除？729能否被9整除？*1+2+3+4+5+6=21，21能被3整除，故____能被3整除。*7+2+9=18，18能被9整除，故729能被9整除。5.能被7整除的数能被7整除的判定方法相对复杂一些，常用的有“截尾法”。*截尾法：把一个数的末位数字截去，再从余下的数中，减去末位数字的2倍。如果差是7的倍数（包括0），则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否为7的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止。**原理简析（供参考）：*设原数为10a+b，截尾减2b后得到a-2b。若10a+b能被7整除，则10a+b=7k。我们希望找到一个关系，使得10a+b与a-2b有相同的整除性。因为10a+b=10(a-2b)+21b，而21b是7的倍数，所以10(a-2b)也必须是7的倍数。由于10与7互质，故a-2b必须是7的倍数。例5：判断133能否被7整除？*133：截去末位3，余下13，减去3的2倍（6），得13-6=7。7是7的倍数，故133能被7整除。6.能被11整除的数能被11整除的数，常用“奇偶位差法”。*奇偶位差法：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差。如果这个差是11的倍数（包括0），那么原数就能被11整除。**原理简析（供参考）：*因为10≡-1(mod11)，所以10^n≡(-1)^n(mod11)。因此，数ABCDE=A×10^4+B×10^3+C×10^2+D×10+E≡A×1+B×(-1)+C×1+D×(-1)+E=(A+C+E)-(B+D)(mod11)。即奇位和与偶位和的差能被11整除，则原数能被11整除。例6：判断121能否被11整除？____能否被11整除？*121：奇位（从右往左，或从左往右均可，只要统一）数字和1+1=2，偶位数字和2，差为2-2=0，0是11的倍数，故121能被11整除。*____（从右往左数，个位为第一位）：奇位（1st,3rd,5th）数字为4、5、1，和为4+5+1=10；偶位（2nd,4th）数字为7、3，和为7+3=10。差为10-10=0，故____能被11整除。二、组合数的整除判定对于一些合数的整除判定，可以将其分解为几个互质的因数（即它们的最大公约数为1），然后分别判断能否被这些因数整除。1.基本思路如果一个数N能同时被互质的两个数a和b整除，那么N就能被a×b整除。反之，如果N能被a×b整除，且a和b互质，那么N能同时被a和b整除。例如，要判断一个数能否被12整除，因为12=3×4，且3和4互质，所以只需判断这个数能否同时被3和4整除。2.常见组合数举例*能被6整除：能同时被2和3整除。*能被12整除：能同时被3和4整除。*能被15整除：能同时被3和5整除。*能被18整除：能同时被2和9整除。*能被21整除：能同时被3和7整除。*能被22整除：能同时被2和11整除。*能被25整除：直接看末两位（如前所述）。*能被45整除：能同时被9和5整除。例7：判断____能否被6整除？能否被12整除？*被6整除：____是偶数（能被2整除），各位和21（能被3整除），故能被6整除。*被12整除：各位和21（能被3整除），末两位56（能被4整除），故能被12整除。三、其他特殊数的整除判定对于一些更大的质数，如13、17、19等，也有相应的截尾法或其他判定方法，但其规则相对复杂，在初中竞赛中不常深度考察，但了解其思路有助于拓展思维。1.能被13整除的数（截尾法）*截去末位数字，再从余下的数中，加上末位数字的4倍。如果和是13的倍数（包括0），则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出，就需要继续上述过程。**例*：判断234是否能被13整除。23+4×4=23+16=39，39是13的3倍，故234能被13整除。2.能被17整除的数（截尾法）*截去末位数字，再从余下的数中，减去末位数字的5倍。如果差是17的倍数（包括0），则原数能被17整除。**例*：判断289是否能被17整除。28-9×5=28-45=-17，-17是17的-1倍，故289能被17整除。四、综合运用与技巧1.灵活选择方法：面对一个整除问题，首先观察被除数和除数的特点，选择最简便的判定方法。例如，判断能否被5整除，优先看末位，而不是复杂的截尾法。2.分解与转化：对于不熟悉的除数，尝试分解为熟悉的互质因数。例如，判断能否被26整除（26=2×13），可分别判断能否被2和13整除。3.结合数字特征：在竞赛中，有些题目不会直接问能否整除，而是隐含在数字谜、应用题中，需要我们主动运用整除知识。例如，一个多位数的末位是0，通常意味着它能被2和5整除。4.多次验证：对于复杂的数字，一次判定后可以用另一种方法进行验证，确保结果正确。例8：一个五位数3ABAB能被15整除，求A、B的值（A、B为0-9的数字）。*分析：15=3×5，且3和5互质。故该数需同时被3和5整除。*被5整除：末位B只能是0或5。*被3整除：各位数字之和3+A+B+A+B=3+2A+2B能被3整除。*当B=0时：3+2A+0=3+2A能被3整除→2A能被3整除→A能被3整除（0≤A≤9）。故A=0,3,6,9。此时五位数为____,____,____,____。*当B=5时：3+2A+10=13+2A能被3整除。13÷3余1，故2A≡2mod3→A≡1mod3。A=1,4,7。此时五位数为____,____,____。*综上，A、B有以下可能：(0,0),(3,0),(