初中数学九年级下册《图形的相似》单元整体教案（人教版）

初中数学九年级下册《图形的相似》单元整体教案（人教版）

一、单元整体解读与设计理念

1.1课标定位与核心素养分析

《图形的相似》隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域的重要内容。本单元的学习，是学生从全等图形到相似图形认知的一次重大飞跃，是数形结合思想、空间观念、几何直观、推理能力和模型观念等核心素养发展的关键载体。课标明确要求：通过实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比；掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”；了解相似三角形的判定定理和性质定理，并利用它们解决一些简单的实际问题；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。

本单元的学习，承上启下：上承全等三角形、比例线段等知识，下启锐角三角函数、投影与视图以及高中阶段的平面向量、解析几何等，是学生几何认知结构从“形全等”向“量成比例”拓展的重要枢纽。

1.2大单元重构与核心概念网络

传统教学常将“相似”碎片化为判定、性质、应用等孤立课时。本设计基于大单元教学理念，以“图形的放缩与不变性”为大观念，将全章内容重构为一条连贯的认知脉络：

核心问题链：

1.什么是图形的相似？（从生活现象到数学抽象）

2.如何判断两个图形相似？（从直观感知到理性论证，从多边形到三角形特例）

3.相似图形具有哪些不变的性质？（从边角关系到更深刻的周长比、面积比、坐标规律）

4.如何利用相似解决真实世界的问题？（从数学知识到建模应用）

核心概念网络：

图形的相似（上位概念）

│

├──相似多边形：定义（角相等，边成比例）→相似比（k）

│

├──相似三角形的判定（核心工具）

│├──预备定理（平行线分线段成比例推论）

│├──两角相等（AA）

│├──两边成比例且夹角相等（SAS）

│└──三边成比例（SSS）

│

├──相似三角形的性质

│├──对应角相等，对应边成比例

│├──对应高、中线、角平分线之比等于相似比

│├──周长比等于相似比

│└──面积比等于相似比的平方（维度跃迁）

│

└──图形的位似（特殊的相似）

├──定义与性质（对应点连线交于一点）

├──位似中心与位似比

└──在直角坐标系中的表示（以原点为位似中心的坐标变换）

1.3学情深度分析

九年级学生已具备以下认知基础：

1.知识层面：熟练掌握全等三角形的判定（SSS,SAS,ASA,AAS）与性质；理解比例的基本性质；具备一定的几何证明能力。

2.思维层面：初步形成逻辑推理和抽象概括能力，但可能仍依赖直观；具备将复杂图形分解为基本图形的经验（如全等模型）。

3.潜在障碍：

1.4.概念混淆：将“形状相同”的直观理解等同于数学定义，忽视“边成比例”的条件；混淆“全等”与“相似”（全等是相似比为1的特例）。

2.5.维度困惑：对“面积比等于相似比的平方”这一结论难以从一维比例自然推导，需要建立深刻的“量纲”感知。

3.6.应用脱节：难以将抽象的相似条件与复杂的实际情境建立联系，建模能力薄弱。

二、单元教学目标与重难点

2.1单元学习目标

1.理解相似图形（多边形、三角形）的数学定义，能准确辨识相似图形，并解释相似比的意义。

2.掌握相似三角形的四大判定定理，能根据已知条件灵活选择并证明三角形相似，发展严密的几何推理能力。

3.推导并应用相似三角形的性质，特别是周长比、面积比与相似比的关系，理解从一维到二维度量的缩放规律。

4.理解位似图形的概念，能识别和绘制位似图形，掌握以原点为位似中心的图形坐标变化规律。

5.综合应用相似三角形的知识，解决测量、设计、物理光学等跨学科实际问题，构建数学模型，体验数学的广泛应用价值。

6.感悟从特殊（全等）到一般（相似）的数学思想，以及图形变换（缩放）中的不变性（形状），提升几何直观与空间想象力。

2.2单元重难点

1.教学重点：

1.2.相似三角形的判定定理及其证明。

2.3.相似三角形的性质及其应用。

3.4.利用相似三角形解决实际问题。

5.教学难点：

1.6.相似多边形定义的完整理解（角相等且边成比例，二者缺一不可）。

2.7.相似三角形判定定理的证明（特别是需要作辅助平行线构造基本图形的证明）。

3.8.“面积比等于相似比的平方”的深度理解与灵活应用。

4.9.复杂背景下识别或构造相似三角形模型。

三、单元整体教学规划（共12课时）

课时

主题

核心任务

关键问题

素养侧重

第1-2课时

遇见相似：从生活到数学

定义相似多边形，探索相似基本性质。

1.地图、照片放大缩小后，什么变了？什么没变？

2.如何用数学语言精确定义“形状相同”？

抽象能力、几何直观

第3-5课时

判定基石：平行线与相似

探究并证明平行线分线段成比例定理及其推论（相似三角形预备定理）。

1.一组平行线如何“切割”两条直线？

2.平行于三角形一边的直线会产生什么特殊图形？

推理能力、模型观念

第6-8课时

判定全攻略：三角形相似的寻找

探索并证明两角、两边夹角、三边判定定理。

1.类比全等，判定相似最少需要几个条件？

2.有哪些不同的“组合”可以确定相似？

类比思想、逻辑推理

第9课时

性质的深度：从边角到度量

系统探究相似三角形的各类性质，推导周长、面积规律。

1.相似三角形的高、中线有何关系？

2.为何面积比是相似比的“平方”？

运算能力、空间观念

第10课时

综合与应用：测量不可及

运用相似解决高度、宽度、深度的测量问题。

如何利用一面镜子、一根木杆测量金字塔的高度？

应用意识、创新意识

第11课时

图形的位似：一种特殊的相似

认识位似，学习在坐标系中进行位似变换。

1.位似与一般的相似有何异同？

2.如何用坐标描述图形的放大与缩小？

数形结合、抽象概括

第12课时

单元总结与项目实践

梳理知识结构，完成跨学科设计项目。

如何运用相似原理设计一个美观的缩放图案或模型？

综合实践、文化审美

四、核心课时教学实施详案（以第6-8课时为例）

课时主题：三角形相似判定的理性探索（三课时连堂）

第6课时：从“两角”打开突破口

【教学目标】

1.经历探索三角形相似判定定理的过程，类比全等三角形AAS/ASA，提出猜想：两角分别相等的两个三角形相似。

2.理解并能证明“两角分别相等的两个三角形相似”（AA判定定理）。

3.能熟练运用AA定理判定三角形相似，并解决简单问题。

【教学重难点】

1.重点：AA判定定理的发现、证明与应用。

2.难点：定理证明中辅助线的添加思路（在已知三角形内构造已知边比例的三角形）。

【教学准备】

1.教具：几何画板课件、三角板、不同角度的三角尺模型。

2.学具：直尺、量角器、课堂探究任务单。

【教学过程】

一、情境唤醒，类比猜想（10分钟）

1.问题导入：回顾全等三角形的“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定。提问：“对于相似三角形，我们能否减少条件？如果只保证‘角’对应相等，能否确保两个三角形相似？”

2.直观感知：

1.3.活动1：教师用几何画板展示一个△ABC，固定∠A=50°，∠B=70°，让学生观察当边长可以自由拖动时，三角形的形状是否改变。（学生发现形状不变，只是大小变化）。

2.4.活动2：发给学生任务单，上面有两个三角形，∠A=∠D=50°，∠B=∠E=70°，但边长不同。请学生测量对应边的长度，并计算对应边的比值。学生汇报结果，发现比值近似相等。

5.形成猜想：引导学生用数学语言表述猜想：“如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。”

二、逻辑建构，证明定理（20分钟）

1.分析已知与求证：

1.2.已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'。

2.3.求证：△ABC∽△A'B'C'。

3.4.追问：根据相似多边形的定义，我们需要证明什么？（∠C=∠C'，且三组对应边成比例）

5.突破证明难点：

1.6.角度相等：由三角形内角和定理，易得∠C=∠C'。

2.7.边成比例：这是证明核心。引导学生思考：“如何建立两个三角形边之间的联系？”回顾预备定理（平行线截三角形相似），启发学生通过“构造”一条平行线，将一个大三角形与小三角形建立联系。

3.8.师生共析证明思路：

在AB（或A‘B’）上截取AD=A‘B’，过D作DE∥BC交AC于点E。

则△ADE∽△ABC（预备定理）。

此时，只需证明△ADE≌△A'B'C'。

由作法AD=A‘B’，∠A=∠A‘，且因DE∥BC得∠ADE=∠B=∠B’，故△ADE≌△A'B'C'（ASA）。

因此，△ABC∽△A'B'C'（通过△ADE桥梁）。

9.规范书写与明确定理：师生共同完成规范证明过程。板书定理：两角分别相等的两个三角形相似（AA/A）。强调此判定仅需两个独立条件（两个角），是最常用、最便捷的判定方法。

三、初步应用，巩固理解（10分钟）

1.基础辨识：

1.2.例1：如图，∠1=∠2，请找出图中的相似三角形，并说明理由。

A

/\

/\

/____\

B1C

\

\2

\

D

（答案：△ABC∽△ADE，AA判定）

3.简单推理：

1.4.例2：Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'。求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。

（强调直角三角形相似的特定判定：一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，但本质均可归结为AA或SAS）。

5.课堂小结：引导学生总结本课核心——AA判定定理的内容、证明思想（构造过渡图形）及应用方向（已知两角相等时优先考虑）。

第7课时：探索“边角边”与“边边边”判定

【教学目标】

1.通过尺规作图与测量计算，探索两边成比例且夹角相等、三边成比例两种情况下三角形的相似性。

2.理解并证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（SAS判定定理）和“三边成比例的两个三角形相似”（SSS判定定理）。

3.能根据给定条件，灵活选择合适的判定定理。

【教学过程】

一、实验探究，再作猜想（15分钟）

1.回顾导入：判定全等有SAS，判定相似是否也需要“两边成比例且夹角相等”？

2.分组实验（任务单活动二）：

1.3.组A（探究SAS）：画△ABC，使AB=4cm，AC=5cm，∠A=60°。画△A‘B’C‘，使A’B‘=6cm，A’C‘=7.5cm，∠A’=60°。测量∠B与∠B‘，∠C与∠C’，计算BC与B‘C’的比值。观察两三角形形状。

2.4.组B（探究SSS）：画△ABC，使AB=3cm，BC=4cm，CA=5cm。画△A‘B’C‘，使A’B‘=4.5cm，B’C‘=6cm，C’A‘=7.5cm。测量三个内角，比较对应角大小。观察两三角形形状。

3.5.组C（反例组）：画△ABC，使AB=3cm，AC=4cm，∠A=60°。画△A‘B’C‘，使A’B‘=6cm，A’C‘=8cm，∠A’=120°。计算两边比值，观察形状是否相似。

6.汇报与猜想：各组汇报数据与结论。组A、组B发现对应角相等，形状相同。组C发现虽然两边比值相等(1:2)，但夹角不相等，形状不同。从而形成两个猜想：

1.7.猜想SAS：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

2.8.猜想SSS：三边成比例的两个三角形相似。

3.9.强调夹角相等的必要性（反例价值）。

二、证明定理，深化理解（20分钟）

1.证明SAS判定定理：

1.2.思路引导：类比AA定理的证明，能否继续使用“截取、作平行线”的策略？

2.3.学生尝试分析：已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A‘，且AB/A’B‘=AC/A’C‘=k。在AB上截取AD=A’B‘，在AC上截取AE=A’C‘，连接DE。

3.4.关键推理：由AD=A‘B’，AE=A‘C’，∠A=∠A‘，可得△ADE≌△A’B‘C’（SAS全等）。由比例关系AD/AB=AE/AC=1/k，且∠A公共，能否得到DE∥BC？（需用预备定理逆思考或平行四边形性质，此处引导学生用相似预备定理的逆命题思路，或直接证明△ADE∽△ABC）。最终链条：△ADE≌△A‘B’C‘且△ADE∽△ABC⇒△ABC∽△A’B‘C’。

4.5.教师精讲证明关键步骤，学生理解构造思想。

6.证明SSS判定定理：

1.7.思路引导：已知三边成比例，如何联系到角？能否转化为SAS或AA的情形？

2.8.师生共析：同样采取“截取”策略。在AB、AC上分别截取AD=A‘B’，AE=A‘C’。连接DE。由两边比例相等，可证DE∥BC（需利用更一般的平行线分线段成比例定理的逆定理，此处可作为接受性结论或略证）。从而∠ADE=∠B，∠AED=∠C。又由三边比例可证DE=B‘C’（通过比例计算），故△ADE≌△A‘B’C‘（SSS全等）。进而得到角相等，证明相似。

3.9.强调SSS判定是通过“边”的关系最终转化为“角”的关系来证明相似。

三、对比归纳，形成体系（10分钟）

1.判定方法汇总表：引导学生完成下表，对比全等与相似判定。

条件

全等三角形判定

相似三角形判定

内在联系

两角

ASA,AAS

AA

相似要求更低，无需边相等

两边夹角

SAS

SAS（比例）

全等是k=1的特例

三边

SSS

SSS（比例）

全等是k=1的特例

直角边斜边

HL

类似HL（比例）

特殊三角形的特化判定

2.方法选择策略讨论：

1.3.有等角（平行、公共角、对顶角等）→优先考虑AA。

2.4.有等角及成比例夹边→考虑SAS。

3.5.只有边的关系→考虑SSS或计算角度。

4.6.直角三角形→除上述外，还可考虑“斜边直角边成比例”。

第8课时：判定定理的综合应用与变式训练

【教学目标】

1.能综合运用多种判定方法，在复杂图形中识别或证明三角形相似。

2.掌握常见的相似基本图形（如“A型”、“X型”、“母子型”、“双垂直型”），提高识图能力。

3.通过变式训练，发展分析、转化和解决几何问题的能力。

【教学过程】

一、模型建构，识图破题（15分钟）

1.展示“基本相似图形”模型：

1.2.A型（平行线型）：DE∥BC⇒△ADE∽△ABC。（AA）

2.3.X型（相交线型）：AB与CD相交于O，且AO/BO=CO/DO⇒△AOC∽△BOD。（SAS，注意对顶角）

3.4.母子型（共角共边型）：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高⇒△ACD∽△ABC∽△CBD。（AA，三个直角三角形两两相似）

4.5.双垂直型（射影定理型）：上述母子型的图形，蕴含丰富的平方关系（射影定理，为后续学习铺垫）。

6.模型识别训练：呈现一系列复杂几何图形，要求学生快速找出其中蕴含的上述基本模型，并标注出相等的角或成比例的边。

二、典例精析，思维深化（20分钟）

例题：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边上一点，连接BE交AD于点F，且满足∠AFE=∠ABC。求证：△ABF∽△BCE。

A

/|\

/|\

/|\

/F\

//\\

/__E/___\___\

BDC

（图形需调整，使F在AD上，E在AC上，BE交AD于F）

1.审题与信息提取：学生读题，标图。已知：高AD（隐含垂直），∠AFE=∠ABC。目标：证明△ABF∽△BCE。

2.思路探寻：

1.3.问：目前两个三角形有一组明确的等角吗？（∠AFE和∠ABC，但∠AFE是△ABF的外角？不对，∠AFE在△ABF外。需要转化。）

2.4.引导：观察∠AFE与∠BFD的关系？（对顶角相等）。所以∠BFD=∠ABC。

3.5.问：现在，在△ABF和△BCE中，我们能直接找到对应相等的角吗？∠ABF和∠CBE是公共角吗？（不是，它们是同一个角在不同三角形中的表示，在△ABF中是∠ABF，在△BCE中是∠CBE，实质是同一个角∠ABC的一部分？需要仔细看图。实际上，∠ABF就是∠ABC，∠CBE就是∠ABC，因此它们相等。）更准确地说，∠ABF与∠CBE是同一个角。

4.6.那么，还需要找另一组等角。观察△ABF中的∠BAF和△BCE中的∠BCE。它们有关系吗？在Rt△ABD和Rt△ADC中，∠BAF+∠ABC=90°，∠BCE+∠ABC=90°？（不一定）。利用高AD和已知条件：∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠ABC=90°。∵∠AFE(即∠BFD)=∠ABC，∴在Rt△BFD中，∠FBD+∠BFD=90°，即∠FBC+∠ABC=90°。比较两式，可得∠BAD=∠FBC。而∠FBC即∠EBC。

5.7.因此，在△ABF和△BCE中，有：∠BAF=∠BCE（即∠BAD=∠EBC），且∠ABF=∠CBE（公共角）。故△ABF∽△BCE（AA）。

8.规范书写：学生整理证明步骤，教师点评，强调如何将已知条件（∠AFE=∠ABC）通过等量代换（对顶角、余角关系）转化为两个三角形中的两组对应角相等。

三、变式训练，拓展迁移（10分钟）

变式1：若将条件“∠AFE=∠ABC”改为“AF·EC=BF·BC”，如何证明△ABF∽△BCE？

（引导：线段乘积关系通常转化为比例式AF/BC=BF/EC，观察这个比例式涉及△ABF和△BCE的哪些边？AF与BC不对应，BF与EC不对应。需要重新组合。AF/BF=BC/EC。结合公共角∠ABF=∠CBE，可考虑SAS判定。）

变式2：连接DE，若△ABF∽△BCE，且D为BC中点，试探究DE与AC的位置关系。

（引导：利用相似得到的比例关系，结合中点条件，推导出AE/AC的特定比值，可能得到DE平行于某边，需综合运用相似与平行线判定。）

课堂总结：强调在复杂图形中证明相似的策略——找等角（公共角、对顶角、平行线同位角内错角、余角补角等）；若角关系不明显，则找成比例的边，并注意这些边是否构成夹角关系；熟练掌握基本图形，能快速分解复杂图形。

五、跨学科项目式学习任务设计

项目名称：设计我的“缩放”艺术馆

驱动性问题：如何运用图形的相似与位似原理，设计一个包含主展厅、缩放模型展区及互动测量区的微型艺术馆平面图与立体模型？

项目任务与步骤：

1.调研与规划（1课时）：研究真实建筑中的相似元素（如希腊柱廊、哥特式窗户的重复与渐变）。确定艺术馆主题（如“几何之美”、“自然分形”），绘制初步平面草图，划分不同功能区。

2.核心区设计——主图案的位似变换（2课时）：

1.3.运用位似知识，选择一个基本几何图形或文化图案（如中国结部分、蕨类植物轮廓）。

2.4.在坐标纸上，以不同点位似中心、不同位似比（如k=2,0.5,-1）生成一系列放大、缩小及反向的图案。

3.5.将这些图案巧妙地布局在主展厅的墙面、地砖或天花板上，形成有节奏和韵律的视觉设计。计算不同位置图案的准确坐标和尺寸。

6.模型区制作——三维模型的相似制作（2课时）：

1.7.选择艺术馆内一件“镇馆之宝”（如一个多面体雕塑、一座塔的模型）。

2.8.利用相似比，使用卡纸、木棒等材料，制作该雕塑的1:10缩比模型。

3.9.精确计算并实现原雕塑与模型之间所有对应线段长度、表面积（近似）和体积（近似）的比例关系，制作说明标签。

10.互动区设计——相似测量体验（1课时）：

1.11.在艺术馆中设计一个“测量庭院”，利用相似三角形原理（“腕测法”、“镜测法”），让参观者能够测量庭院中一棵树或一根旗杆的高度。

2.12.设计图文并茂的操作指南和原理说明牌。

13.整合、布展与答辩（2课时）：

1.14.整合平面图、立体模型、测量装置，完成艺术馆整体布展。

2.15.撰写设计报告，阐述各处运用的相似原理。

3.16.进行小组项目答辩，接受师生关于数学原理应用准确性与设计创新性的提问。

评价维度：

1.数学准确性：位似变换坐标计算、相似比应用、测量原理表述是否正确。

2.设计创新与美观：图案选择、布局安排是否具有美感和创意。

3.模型制作工艺：缩比模型是否精密、牢固。

4.跨学科整合：是否自然融合了艺术、工程等学科元素。

5.协作与表达：小组合作效率，报告与答辩的清晰度、说服力。

六、单元评价设计

6.1过程性评价

1.课堂观察：记录学生在探究活动中的参