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《无人机空气动力学》流体静平衡方程—欧拉静平衡方程PART1欧拉静平衡方程PART2静止流体的等压面目录PART

1欧拉静平衡方程静止流体只受到质量力和由压力产生的法向表面力。下面就来讨论流体在平衡状态下这些力应该满足的关系，建立表示流体平衡的微分方程式。为了进一步研究流体静平衡规律和流体内部静压强分布规律。我们先应用牛顿第二定律建立流体静平衡方程。一、欧拉静平衡方程微元六面体沿y方向上的表面力

zxyM

abdc

为了分析平衡状态下流体内部压强与质量力的关系，在流体内部取以任意点M为中心的微元六面体，如图所示。六面体的各边分别与直角坐标轴平行，边长分别为𝒅𝒙、𝒅𝒚、𝒅𝒛。作用在该六面体上的质量力为在𝒚方向的分量为在𝒙方向的分量为在z方向的分量为

一、欧拉静平衡方程则沿y轴方向的六面体边界面处的压强为。和中点处的压强为。作用在这两个面上的法向力为和。

微元六面体沿y方向上的表面力

zxyM

abdc

一、欧拉静平衡方程当微小六面体处于平衡状态时，ｙ方向的合力为０，即：将上式简化后可以得到：

微元六面体沿y方向上的表面力

zxyM

abdc

一、欧拉静平衡方程上式即为流体的平衡微分力程式，又称欧拉平衡方程。它表明了处于平衡状态的流体中压强的变化率与单位质量力之间的关系，单位质量力在某一轴向的分力与压强沿该轴向的递增率相平衡，符号相同。这说明，质量力作用的方向就是压强递增率的方向。对上式依次乘以dx、dy、dz，并将它们相加，有,得;式中，称为p的全微分。

一、欧拉静平衡方程欧拉静平衡方程标量方程组和矢量方程是由欧拉在1775年首先导出的。它表示了流体在质量力和表面力作用下的平衡条件。方程的意义表示在静止流体中压强的空间变化是由于体积力的存在造成的。一、欧拉静平衡方程为了弄清欧拉静平衡方程的物理意义，作如下分析。在流体中取一点A，若将该点流体移动距离,在坐标方向的分量分别为𝑑𝑥,𝑑𝑦和𝑑𝑧，则质量力对单位质量流体所做的功为𝒇·𝑑𝒍=𝑿𝑑𝑥+𝒀𝑑𝑦＋𝒁𝑑𝑧。另一方面，它也是单位质量流体的势能的变化量。因此，函数𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)反应了单位质量流体的势能，所以称𝑈为势函数或力函数。并且得到如下推论：质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件。一、欧拉静平衡方程PART

2静止流体的等压面在静止流体中，静压强相等的各点所组成的面称为等压面。等压面具有三个重要特性：（1）在平衡的流体中，通过每一个点的等压面必与该点流体所受质量力相垂直。在等压面上移动流体时，压强没有变化，即𝑑𝑝=0，这时质量力所做的功𝑿𝑑𝑟+𝒀𝑑𝑦+𝒁𝑑𝑧=0。所以质量力必与等压面垂直。（2）等压面就是等势面。因为在等压面上𝑑𝑝=0，故𝑑𝑈=0，也就是等势面。二、静止流体的等压面（3）两种密度不同而又在不相混的流体处于平衡时，它们的分界面必为等压面。如在分界面上任取相邻两点，设这两点的静压差为𝑑𝑝，势函数之差为𝑑𝑈。因为这两点同属于两种流体，若其中一种流体的密度为𝜌_1,另一种为𝜌_2，则同时有𝑑𝑝=𝜌_1𝑑𝑈和𝑑𝑝=𝜌_2𝑑𝑈但𝜌_1≠𝜌_2，所以只

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