人教版初中数学八年级下册第18章 平行四行形同步练习

第十八章平行四边形

测试1平行四边形的性质（一）

学习要求

1.理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理：

2.能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知

识解决四边形的问题.

课堂学习检测

一、填空题

1.两组对边分别的四边形叫做平行四边形.它用符号“口”表示，平行四边形A4CO

记作°

2.平行四边形的两组对边分别____且______：平行四边形的两组对角分别：两邻

角;平行四边形的对角线;平行四边形的面积=底边长X.

3.在58co中，若NA-N8=40°,则NA=,ZB=.

4.若平行四边形周长为54cm,两邻边之差为5cm,则这两边的长度分别为.

5.若AABCO的对角线4c平分ND48,则对角线4c与的位置关系是.

6.如图，248co中，CE_LA4,垂足为£如果乙4=115°,则NBCE=.

6题图

7.如图，在O4BCQ中，DB=DC、NA=65°,CE_LBO于E,则NBCE=

7题图

8.若在58C。中，NA=30°,A8=7cm,AD=6cm,则SEBC，）=•

二、选择题

9.如图，将A4BCO沿4E翻折，使点3恰好落在AZ）上的点尸处，则下列结论不二学或

孚的是（）.

(A)AF=EF

(B)AB=EF

(C)AE=AF

(D)AF=BE

10.如图，下列推理不正确的是().

D

(A)AB//CDN44C+ZC=180°

(B)VZ1=Z2：.AD//BC

(Cy：AD//BC，N3=N4

(D)•••NA+ZADC=180°：.AB//CD

11.平行四边形两邻边分别为24和16,若两长边间的距离为8,则两短边间的距圉为().

(A)5(B)6

(C)8(D)12

综合、运用、诊断

一、解答题

12.已知：如图，28CD中，OE_LAC于E,BF_LAC于E求证：DE=BF.

13.如图，在GIBCD中，N4BC的平分线交CO于点E,24DE的平分线交A8于点F,

试判断Ab与CE是否相等，并说明理由.

14.已知：如图，E、尸分别为&48CQ的对边A3、CO的中点.

(1)求证：DE=FB；

(2)若。E、C8的延长线交于G点，求证：CB=BG.

15.已知：如图，2BCD中，E、厂是直线4C上两点，且AE=C〃.

求证：⑴BE=DF；(2)BE//DF.

拓展、探究、思考

16.已知：中，AB=5,AD=2,ZDAB=\20°,若以点人为原点，直线人月为x

轴，如图所示建立直侑坐标系，试分别求出8、C、。三点的坐标.

17.某市要在一块D48CZ)的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是以4BC。面

积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在5BCO的四条边上，

请你设计两种方案：

方案⑴：如图1所示，两个出入口E、r已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花

园，并简要说明画法；

方案(2)：如图2所示,一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园,

并简要说明画法.

图2

(B)|

(A)2

J

(C)|(D)15

13.根据如图所示的(I),(2),(3)三个图所表示的规律，依次下去第八个图中平行四边形的

个数是()

(1)(2)(3)

(A)3〃(B)3〃(〃+1)(C)6n(D)6〃(〃+1)

综合、运用、诊断

一、解答题

14.已知：如图，在GWC。中，从顶点。向A8作垂线，垂足为E,且E是的中点,

已知ZZ748CD的周长为8.6cm,△A3。的周长为6cm,求AB、8c的长.

15.已知：如图，在UABCD中，CE_LA4于E,CF.LAD于F,Z2=30°,求Nl、N3

的度数.

拓展、探究、思考

16.已知：如图,。为58C。的对角线AC的串点，过点。作一条直线分别与48、CO交

于点M、N,点£、F在直线MN上，ROE=OF.

(I)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来;

(2)求证：ZMAE=ZNCF.

17.已知：如图，在Q48CO中，点E在AC上，AE=2EC,点尸在A8上，BF=2AF,若

△8E尸的面积为2cm?,求D4BCQ的面积.

测试3平行四边形的判定(一)

学习要求

初步掌握平行四边形的判定定理.

课堂学习检测

一、填空题

1.平行四边形的判定方法有：

从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；

②两组时边__________的四边形是平行四边形；

③一组对边__________的四边形是平行四边形.

从对角线的条件有：④两条对角线的四边形是平行四边形.

从角的条件有：⑤两组对角的四边形是平行四边形.

注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形.(填“一定”或“不

一定”)

2.四边形A8CD中，若NA+N8=180°,ZC+ZD=180°,则这个四边形(填

“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形.

3.一个四边形的边长依次为人。、c、",且满足法=2ac+2仅/，则这个四边

形为.

4.四边形AOCD中，AC.4D为对角线，AC、"。相交于点O,"0=4,CO=6,当AO=

,DO=时，这个四边形是平行四边形.

5.如图，四边形ABC。中，当N1=N2,且_____//时，这个四边形是平行四边形.

二、选择题

6.下列命题中，正确的是().

(A)两组角相等的四边形是平行四边形

(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形

(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形

(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

7.已知：园边形4/3CO中，AC与8。交于点O,如果只给出条件“A8〃C。”，那么还不

能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：

①如果再加上条件“伙?=4。"，那么四边形A3CO一定是平行四边形；

②如果再加上条件“NBAD=/BCD”,那么四边形AAC。一定是平行四边形；

③如果再加上条件"Q4=OC"，那么四边形A8CO一定是平行四边形；

④如果再加上条件"N'O%l=/68"，那么四边形/tBCQ一定是平行四边形.其中正确

的说法是().

(A)①②(B)®®④(C)②③(D)®®④

8.能确定平行四边形的大小和形状的条件是().

(A)己知平行四边形的两邻边

(B)已知平行四边形的相邻两角

(C)已知平行四边形的两对角线

(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长

综合、运用、诊断

一、解答题

9.如图，在A4BCO中，E、尸分别是边AB、C。上的点，已知4E=CRM、N是Z）七和

尸8的中点，求证：四边形0VFM是平行四边形.

10.如图，在&48CO中，E、尸分别是边A。、8c上的点，已知A£=CRA”与BE相交

于点G,CE与。尸相交于点〃，求证：四边形EG"/是平行四边形.

II.如图，在28c。中，E、F分别在边必、OC的延长线上，已知AE=C凡P、。分别

是OE和/8的中点，求证：四边形EQQ是平行四边形.

12.如图，在Q48C。中，E、尸分别在D4、BC的延长线上，已知AE=CF,以与BE的

延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S,求证：四边形RESF是平行四边形.

13.己知：如图，四边形A8CO中，AB=DC,AQ=8C,点£在8c上，点尸在AO上,

AF=CE,E产与对角线8。交于点O,求证：。是8。的中点.

14.已知：如图，△ABC中，。是4。的中点，E是线段BC延长线上一点，过点4作BE

的平行线与线段七。的延长线交于点八连结AE、CF.求证：CF//AE.

拓展、探究、思考

15.已知：如图，△A8C,。是A4的中点，£是AC上一点，EF//AB,DF//BE.

(1)猜想。尸与AE的关系;

(2)证明你的猜想.

16.用两个全等的不等边三角形A8C和三角形A'夕C'(如图)，可以拼成几个不同的四

边形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明.

测试4平行四边形的判定(二)

学习要求

进一步掌握平行四边形的判定方法.

课堂学习检测

一、填空题

1.如图，UABCD中,CE=DF,则四边形/WE/是___________.

N

BEC

1题图

2.如图，EJABCD,EF//AB,GH//AD,MN//AD,图中共有个平行四边形.

2题图

3.已知三条线段长分别为10,14,20,以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出

个平行四边形.

4.已知三条线段长分别为7,15,20,以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出

个平行四边形.

5.已知：如图，四边形AEFQ和EBCr都是平行四边形，则四边形ABC。是.

二、选择题

6.能判定一个四边形是平行四边形的条件是().

(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边平行，一组对角互补

(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角相等，另一组对角互补

7.能判定四边形48co是平行四边形的题设是().

(A)AO=BC,AB//CD(B)NA=NB,ZC=ZD

(C)AB=BC,AD=DC(D)AB//CD,CD=AB

8.能判定四边形A8CD是平行四边形的条件是：N4：NB：NC：N。的值为().

(A)l：2：3：4(B)l：4：2：3

(C)l：2：2：1(D)l：2：1：2

9.如图，E、F分别是D48C。的边A3、CO的中点，则图中平行四边形的个数共有().

(A)2个(B)3个

(C)4个(D)5个

10.3c。的对角线的交点在坐标原点，且4。平行于工轴，若八点坐标为(一1,2),则

。点的坐标为().

(A)(l,-2)(B)(2,-1)(C)(l,-3)(D)(2,-3)

II.如图，DWCQ中，对角线AC、BD交于点O,将AAO。平移至的位置，则图

中与QA相等的其他线段有().

(A)l条(B)2条

(C)3条(D)4条

综合、运用、诊断

一、解答题

12.已知：如图，在QWCO中，点、E、尸在对角线AC上，且AE=CE请你以尸为一个

端点，和图中口标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条

线段相等(只需证明一组线段相等即可).

(1)连结;

(2)猜想：

(3)证明：

13.如图，在△A8C中，£/为△A/3C的中位线，。为BC边上一点(不与8、C重合)：AD

与EF交于点O,连结EF.DF,要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件

.(只添加一个条件)

证明：

14.已知：如图，△ABC中，A8=AC=10,。是8c边上的任意一点，分别作交

AC于凡DE"AC交,NB千E,求OE+O/的值.

15.已知：如图，在等边AABC中，D、尸分别为CB、B4上的点，且CO=BF,以若。为

边作等边三角形AQE.

求证：(1)Z\ACO^4C8F；

(2)四边形C/%产为平行四边形.

拓展、探究、思考

16.若一次函数y=2x—1和反比例函数y=幺的图象都经过点(1,1).

2x

(1)求反比例函数的解析式；

(2)已知点4在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点4的坐标；

(3)利用Q)的结果，若点8的坐标为(2,0),且以点A、0、8、尸为顶点的四边形是平

行四边形，请你直接写出点P的坐标.

k

17.加图，点4(切，5+1),〃(5+3,〃7—1)在反比例函数y二—的图象上.

X

⑴求“我的值；

(2)如果M为x轴上一点，N为)，轴上一点，以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行

四边形，试求直线MN的函数表达式.

测试5平行四边形的性质与判定

学习要求

能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算.

课堂学习检测

一、填空题：

1.平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数

分别为.

2.从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135。，则这个平行

四边形的各内角的度数为.

3.在Z748co中，BC=2AI3,若£为5c的中点，则NA£O=.

4.在QABCO中，如果一边长为8cm,一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围

是.

5.匚％中，对角线AC、BD交于0,KAB=AC=2cm,若N/WC=60°,则△0/W

的周长为cm.

6.如图，在58c。中，M是8C的中点，且AM=9,BO=12,AD=\(),则的面

积是.

7.UABCD中,对角线AC、BD交于■点、0,若N8OC=I2()°AO=7,BD=10,贝IJD4BC。

的面积为.

8.如图，在D48CQ中，A8=6,AD=9,NBA。的平分线交于点E,交。C的延长线

于点凡8G-LAE,垂足为G,AF=5,AG=4痣，则△(?石尸的周长为.

9.如图，8。为Q43CO的对角线，M、N分别在A。、AB上，旦MN〃BD,则Swwc______

Swc.(填“<”、"=”或“>”)

综合、运用、诊断

一、解答题

10.已知：如图，△£人:中，A是七小边上一点，AB//EC,AD//FC,若NEAD=NfAB.AB

=a,AD=b.

B

(1)求证：△£氏；是等腰三角形;

(2)求EC-\-FC.

11.已知：如图，△4BC中，NABC=90°,8Q_LAC于。，平分NB4C,EF//DC,交

BC于尸.求证：BE=FC.

12.已知：如图，在匚Z48CO中，七为AO的中点，CE、的延长线交于点F.若BC=2CD,

求证：4F=4BCF.

13.如图，已知：在SBC。中，NA=60°,E、/分别是/W、。。的中点，RAB=2AD.求

证：BF：BD=4i:3.

拓展、探究、思考

14.如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,—1),且P(—1,-2)

是双曲线上的一点，。为坐标平面上一动点，以垂直于x轴，Q8垂直于)，轴，垂足分

别是A、B.

图I

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点Q在直线上运动时，直线M0上是否存在这样的点Q,使得△04Q与

面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3汝口图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边

形OPC。，求平行川边形OPC。周长的最小值.

图2

测试6三角形的中位线

学习要求

理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.

课堂学习检测

一、填空题：

1.(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边___________叫做三角形的中位线.

(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线第三边，并且等于

2.如图，的周长为64,E、F、G分别为AB、AC.的中点，A'、/、C

分别为EG、GF的中点，XNB1C的周长为.如果△A6C、/\EFG、

△A'B'C分别为第I个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那

么第〃个三角形的周长是.

3.△A8C中，。、E分别为A8、AC的中点，若。E=4,AO=3,AE=2f则△ABC的周长

为.

二、解答题

4.已知：如图，四边形ABCO中，E、F、G、”分别是AB、BC、CD、D4的中点.

求证：四边形EFG"是平行四边形.

5.已知：/XABC的中线B。、CE交于点。，F、G分别是08、。。的中点.

求证：四边形OEFG是平行四边形.

综合、运用、诊断

6.已知：如图，E为A4BCD中。C边的延长线上的一点，且CE=OC,连结AE分别交

BC、BD于点F、G,连结4c交于0,连结0F.求证：AB=2OF.

7.己知：如图，在口A8CD中,£是CO的中点，尸是AE的中点，FC与BE交于G.求证:

GF=GC.

8.已知：如图，在四边形ABCO中，AD=BC,E、尸分别是。C、AB边的中点，尸石的延

长线分别与A。、BC的延长线交于”、G点.

求证：/AHF=/BGF.

拓展、探究、思考

9.已知：如图，△A8C中，。是8C边的中点，A£平分N84C,8ELAE于E点,若A8

=5,AC=7,求百九

B

D

10.如图在△ABC中，。、E分别为48、AC上的点，且BD=CE,M、N分别是BE、CD

的中点.过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段4P、AQ相等吗?为什么？

测试7矩形

学习要求

理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理.

课堂学习检测

一、填空题

1.(1)矩形的定义：的平行四边形叫做矩形.

(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的

性质，还有：矩形的四个角；矩形的对角线；矩形是轴对称图形，它的对

称轴是.

(3)矩形的判定：一个角是直角的是矩形；对角线的平行四边形是矩形；有

个角是直角的四边形是矩形.

2.矩形A8C。中，对角线AC、8。相交于O,ZAOB=60°,AC=10cm,则A8=cm,

BC=cm.

3.在△ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=3,则AB边上的中线CO=.

4.如图，四边形ABC。是一张矩形纸片，AD=2AB,若沿过点。的折痕。石将A角翻折，

使点4落在BC上的4处，则NE48=

5.如图，矩形A8CD中，48=2,8c=3,对角线AC的垂直平分线分别交AZ),BC于点、E、

F,连结CE,则CE的长.

二、选择题

6.下列命题中不正确的是().

(A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半

(B)矩形的对角线相等

(C)矩形的对角线互相垂直

(D)矩形是轴对称图形

7.若矩形对角线相交所成钝角为120。，短边长3.6cm,则对角线的长为().

(A)3.6cm(B)7.2cm(C)1.8cin(D)14.4cm

8.矩形邻边之比3：4,对角线长为10cm,则周长为().

(A)14cm(B)28cm(C)20cm(D)22cm

9.已知AC为矩形48。的对角线，则图中/I与N2一定不相等的是()

(A)(B)(C)(D)

综合、运用、诊断

一、解答题

10.已知：如图，248CQ中，AC与4。交于。点，NOAB=NOBA.

⑴求证：四边形ABC。为矩形；

(2)作BE_LAC于E,CFLBD于F,求证：BE=CF.

11.如图，在△ABC中，。是8c边上的一点，E是AO的中点，过点A作8。的平行线交

BE的延长线于凡且4尸=OC,连结CF

(I)求证：是6c的中点；

⑵如果AB=AC,试猜测四边形AOb的形状，并证明你的结论.

12.如图，矩形48C。中，AB=6cm,BC=8cm,若将矩形折叠，使点8与。重合，求折

痕EF的长。

13.已知：如图，在矩形A8CO中，£、尸分别是边BC、A8上的点，且EF=ED,EFVED.

RE

求证：平分NBA。.

拓展、探究、思考

14.如图，在矩形A4CO中，A4=2,AD=6

⑴在边C。上找一点E,使E8平分NAEC,并加以说明；

(2)若P为8C边上一点，且8尸=2CP,连结E尸并延长交A8的延长线于F.

①求证：AB=BF；

②△办石能否由△尸尸8绕尸点按顺时针方向旋转而得至ij?若能，加以证明，并写出旋

转度数：若不能，请说明理由。

测试8菱形

学习要求

理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理.

课堂学习检测

一、填空题：

1.菱形的定义：的平行四边形叫做菱形.

2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的：还有：

菱形的四条边___；菱形的对角线,并且每一条对角线平分；菱形的面

积等于,它的对称轴是.

3.菱形的判定：一组邻边相等的是菱形；四条边_____的四边形是菱形；对角线一

一的平行四边形是菱形.

4.已知菱形的周长为40cm,两个相邻角度数之比为1：2,则较长对角线的长为cm.

5.若菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则它的周长为cm,面积为cm2.

二、选择题

6.对角线互相垂直平分的四边形是().

(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)任意四边形

7.顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是().

(A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)任意四边形

8.下列命题中，正确的是().

(A)两邻边相等的四边形是菱形

(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形

(D)对角线垂直.的四边形是菱形

9.如图，在菱形ABCD中,E、尸分别是A8、AC的中点，如果E尸=2,那么菱形力4co

的周长是().

10.菱形48co中，ZA：ZB=\：5,若周长为8,则此菱形的高等于().

(A」(B)4(C)l(D)2

2

综合、运用、诊断

一、解答题

11.如图，在菱形A3CO中，七是A8的中点，且QE_LA8,A5=4.

求：（l）NABC的度数；（2）菱形ABC。的面积.

12.如图,在菱形48CO中，NA3c=120°,E是A8边的中点,P是AC边上一动点,PB

十尸石的最小值是6,求A4的值.

13.如图，在248。。中，E,尸分别为边A4,CO的中点，连结。£,BF,BD.

⑴求证：AADE迫4CBF.

⑵若AO_LBD,则四边形8FDE是什么特殊四边形?请证明你的结论.

14.如图，四边形ABCO中，AI3//CD,4c平分/BA。，CE〃4。交A8于£

⑴求证：四边形4EC。是菱形；

（2）若点正是A8的中点，试判断△A8C的形状，并说明理由.

15.如图，DABCD»ABLAC,A4=l,"?=逐.对角线AC,笈。相交于点。，将直

线AC绕点。顺时针旋转，分别交BC,人。于点E,F.

⑴证明：当旋转角为90°时，四边形A8EF是平行四边形；

(2)试说明在旋转过程中，线段4尸与石C总保持相等；

(3)在旋转过程中，四边形BED厂可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，画出

图形并写出此时AC绕点。顺时针旋转的度数.

16.如图，菱形ABC。的边长为2,BD=2,E、F分别是边A。，CO上的两个动点，且满

足AE+C/=2.

(1)求证：△BQE也△BC尸；

(2)判断ABE厂的形状，并说明理由；

(3)设aBE/的面积为S,求S的取值范围.

拓展、探究、思考

17.请用两种不同的方法，在所给的两个矩形中各画一个不为正方形的菱形，且菱形的四个

顶点都在矩形的边上i保留作图痕迹).

a

G

18.如图，菱形ABIGOI的边长为I，NS=60°；作入2_LBC于点6，以A6为一边，

作第二个菱形AB2c2。2，使/&=60。；作A2，82G于点。3，以4)3为一边，作第

三个菱形AB3C3D3,使N&=60°；……依此类推，这样作的第〃个菱形人&C〃。”的边

AD,的长是.

测试9正方形

学习要求

1.理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系;

2.掌握正方形的性质及判定方法.

课堂学习检测

一、填空题

1.正方形的定义：有一组邻边____并且有一个角是的平行四边形叫做正方形，因

此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的,又是一个特殊的有一个角是直角的

2.正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四

个角都;四条边都且_______________:正方形的两条对角线,

并且互相，每条对角线平分对角.它有条对称轴.

3.正方形的判定：

(1)的平行四边形是正方形：

(2)的矩形是正方形；

(3)的菱形是正方形；

4.对角线的四边形是正方形.

5.若正方形的边长为小则其对角线长为,若正方形ACE〃的边是正方形AUCZ)的

对角线，则正方形ACEV与正方形A8CO的面积之比等于.

6.延长正方形A8C。的BC边至点E,使CE=AC,连结AE,交CD于F,那么/人”?的

度数为,若BC=4cm,则△ACE的面积等于.

7.在正方形ABCD中，石为8c上一点，EFLAC,EG±BD,垂足分别为F、G,如果

AB=5JEcm,那么EF+EG的长为

二、选择题

8.如图，将一边长为12的正方形纸片A3。的顶点A折叠至。。边上的点E,使。E=5,

折痕为尸Q，则PQ的长为(

(A)12

(014

9.如图，正方形八的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为()cm<

(A)6(B)8

(C)16(D)不能确定

综合、运用、诊断

一、解答题

10.已知：如图，正方形A8C。中，点、E、M、N分别在人/人BC、AQ边上，CE=MN,

ZMCE=35°,求N4VM的度数.

11.已知：如图，E是正方形A8C。对角线AC上一点，LAE=AB,EFLAC,交BC于F.求

证：BF=EC.

12.如图，边长为3的正方形ABC。绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形E/CG,

EF交AD于H,求。〃的长.

13.如图，尸为正方形ABCO的对角线上任一点，P£_L48于E,P凡LBC于R判断。尸与

石厂的关系，并证明.

拓展、探究、思考

14.如图，在边长为4的正方形44co中，点。在48上从A向4运动，连结。。交AC于

点Q.

(1)试证明：无论点P运动到A8上何处时，都有△AOQ@Z\A3Q：

⑵当点P在A8上运动到什么位置时，△AOQ的面积是正方形A8CD面积的一；

6

⑶若点。从点A运动到点从再继续在8c上运动到点C,在整个运动过程中，当点，

运动到什么位置时，△AOQ恰为等腰三角形.

参考答案

第十八章平行四边形

测试1平行四边形的性质(一)

1.平行，CABCD.2.平行，相等；相等；互补；互相平分；底边上的高.

3.110°,70°.4.16cm,11cm.5.互相垂直.6.25°.

7.25°.8.21cm2.

9.D.10.C.II.C.

12.提示：可由△<£>£1©△05户推出.13.提示：可由△AD尸型△C8E推出.

14.(1)提示：可证

(2)提示：可由△GEBZZXDEA推出，

15.提示：可先证△48E空△CQF.

(三)

16.8(5,0)0(4,5。(一1,6).

17.方案(1)

画法1：

(1)过尸作FH//AB交AD于点H

(2)在。。上任取一点G连接EF,八7,GH,HE,则四边形就是所要画的四边形;

画法2：

⑴过户作FH//AB交AD于点H

⑵过E作EG〃A。交。C『点G连接Er，FG,GH,HE,则四边形E尸G”就是所要

画的四边形

画法3：

(I)在人。上取一点儿使DH=CF

(2)在CQ上任取一点G连接ERFG,GH,HE,则四边形EFG”就是所要画的四边形

方案(2)

画法：⑴过M点作MP〃A8交4。于点P,

(2)在A3上取一点Q,连接PQ,

(3)过M作MN〃PQ交。C于点N,连接QM,PN则四边形QMNP就是所要画

的四边形

测试2平行四边形的性质(二)

1.60°、120°、60°、120°.2.1V4BV7.3.20.

4.6,5,3,30°.5.20cm,10cm.6.18.提示：AC=2AO.

7.5y/3cm,5cm.8.120cm2.

9.D：10.B.II.C.12.C.13.B.

14.Afi=2.6cm,8c=1.7cm.

提示：由已知可推出/1/)=4O=8C.设4C=xcni,A8=)cm,

2x+y=6,八,x=1.7,

则4y解得1

2(x+y)=8.6.y=2.6,

15.Zl=60°,Z3=303.

16.(1)有4对全等三角形.分别为△AOM当△COM△AME=Z\CV尸，

△ABC9XCDA.

(2)证明：,：OA=OC,Z1=Z2,OE=OF,.'.△QAEg△OCR：.ZEAO=ZFCO.

又丁在5BC。中，AB//CD,：,ZBAO=ZDCO./.ZEAM=ZNCF.

17.9.

测试3平行四边形的判定(一)

1.①分别平行；②分别相等；③平行且相等；

④互相平分；⑤分别相等；不一定；

2.不一定是.

3.平行四边形.提示：由已知可得3—cA+S—d)2=0,从而’

b=d.

4.6,4；5.AD,BC.

6.D.7.C.8.D.

9.提示：先证四边形BFDE是平行四边形，再由EMJLNF得证.

10.提示：先证四边形AFCE、四边形8POE是平行四边形，HrhGE//FH,G/〃£H得证.

11.提示：先证四边形EBFQ是平行四边形，再由EP工。户得证.

12.提示：先证四边形是平行四边形，再证△/?以也△SR?,既而得到REMSE

13.提示：连结8凡DE,证四边形BED/是平行四边形.

14.提示：证四边形AFCE是平行四边形.

15.提示：（1）0厂与人上互相平分；（2）连结。七，AF.证明四边形人OE〃是平行四边形.

16.可拼成6个不同的四边形，其中有三个是平行四边形.拼成的四边形分别如下：

测试4平行四边形的判定（二）

1.平行四边形.2.18.3.2.4.3.5.平行四边形.

6.C.7.D.8.D.9.C.10.A.II.B.

12.（或DE）；（2、BF=DE（或BE=DF）；

（3）提示：连结。F（或BF）,证四边形。£8厂是平行四边形.

13.提示：。是BC的中点.

14.DE+DF=10

15.提示：(9•••△ABC为等边三角形，：.AC=CB,N4CO=NC8产=60°.

又,：CD=BF,:.AACD出4CBF.

(2)V：.AD=CF,ZCAD=ZBCF.

•••△AE。为等边三角形，・・・NADE=6(T,且AO=OE.：,FC=DE.

VZEDZ?+60°=ZI3DA=ZCAD+ZACD=,

/.Z1EDB=ZBCF./.ED//FC.

^EDJLFC,:.四边形CDEF为平行四边形.

16.(l)y=-;(2)A(--,-2)；(3)P,(-1.5,-2),P2(-2.5,-2)或P3

x2

(2.5,2).

17.(l)w=3,J1=12；

22

(2)y=——1+2或,=——x-2.

33

测试5平行四边形的性质与判定

I.60°,120°,60°，120°.2.45°,135°,45°,135°.

3.90°.4.10cm<A<22cm.5.3+JI

6.72.提示：作交8c延长线于E,作。凡L8E于凡可得△8DE是直角三角形,

DF=—

5

7.1573提示：作CE_L8D于E,设OE=x,则BE2+CE2=BC2,得(%+5月+(Jit)=7?.解

3

出x==.So=2S^BCD=BDXCE=15区

2

8.7.9.=.提示：连结8M,DN.

10.(1)提示：先证NE=/F；(2)EC-iFC=2ti+2b.

11.提示：过E点作交。。于M,证

12.提示：先证。C=AE

13.提示：连接OE,先证△AOE是等边三角形，进而证明NAO8=90°,NABQ=30°.

14.(1)设正比例函数解析式为)，=依，将点M(-2,-1)坐标代入得攵=〈，所以正比例函

1?

数解析式为)，二一x，同样可得，反比例函数解析式为y=—；

2x

(2)当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为Q(〃z,,于是S^OBQ=y

IOB・BQI=—•—m*m=—nr而SOAP=-I(—1)(—2)1=1,所以有，—m2=1,

22424

解得m=±2所以点。的坐标为。Q1)和。2(—2,-I)；

(3)因为四边形OPC0是平行四边形，所以OP=C。，OQ=PC,而点P(—l,-2)是

定点，所以。〃的长也是定长，所以要求平行四边形OFCQ周长的最小值就只需求

OQ的最小值.

2

因为点。在第一象限中双曲线上，所以可设点。的坐标Q(〃，一)，

n

42

由勾股定理可得。?=〃2+—=(〃一一)2+%

n

22

所以当(〃一一)2=0即n--=0时。，O。2有最小值4,

nn

又因为OQ为正值，所以OQ与OQ同时取得最小值，

所以。。有最小值2.由勾股定理得