2026届新高考数学考前热点冲刺复习函数模型

2026届新高考数学考前热点冲刺复习函数模型能力阐释数学建模能力是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的核心素养.数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁,是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.其思维路径如下图所示:数学建模能力内涵体现在:1.数学知识应用.运用数学概念和方法解决实际问题.2.思维方式的培养.锻炼逻辑思维、创新思维和批判性思维.3.跨学科的综合性.结合多学科知识解决复杂问题.4.实践与应用导向.强调数学在实际环境中的应用.5.迭代与优化.通过反复验证与调整模型来提高解决方案的有效性.数学建模的能力要求体现在:1.问题分析能力.2.数学抽象能力.3.模型构建能力.4.求解计算能力.5.验证与解释能力.6.创新能力、团队协作与交流能力.从教学定义出发,建模思想源于构建主义,建模能力内涵是数学家经过大量的研究总结后归纳出的具有代表性的典型抽象化数学模型,通过这种模型可以将大量数据进行有效量化,并借助这种量化关系选择构建精准、有效的数学模型.数学建模是现实生活与数学连接的纽带.能力表现数学建模能力是数学建模素养的外显,是对数学学科素养育人的回应,是对“三会”基本理念的实践:会用数学眼光观察世界——提出问题阶段;会用数学思维思考世界——模型建构阶段;会用数学语言表达世界——模型改进阶段.数学建模能力表现如下:总体上说,数学建模是一项综合性较强的数学活动,对于学生多方面的能力都有一定的要求.(1)阅读理解能力:这需要学生依照一定的逻辑和思路方法对问题进行系统性分析,筛选关键信息,理解具体含义,在感知问题信息后获得对问题的感性认识.阅读能力较好的同学,能较容易地理解问题考查的内容和内涵.读得快,读得准,理解对,理解深,这是数学建模的前提.(2)抽象概括能力:这需要学生将获得的感性材料去伪存真,对问题适当简化,忽略次要因素,抓住主要矛盾,发现问题的本质,在不违背题意的前提下,在提炼抽象的基础上,将实际问题转化为数学问题,这是数学建模的基础.(3)模型选择能力:学生在对问题有了一定的理解后,需要为了解决该问题选择合适的数学模型.同一个数学问题可以有多个数学模型,同一个数学模型可以应用于多个实际问题,如何选择一个最佳模型直接关系到问题能否顺利有效地解决,是学生综合能力的体现,也是数学建模的关键.(4)空间想象能力:对于某些稍复杂的模型,如立体几何模型,在抽象概括及分析处理时,学生需要依靠空间想象能力进行构建,并以此来解决问题,空间想象能力好的学生能够较清晰地在脑海中呈现数学模型,并进行简单的数学运用和处理,促进数学建模素养得到较大的提升.(5)数学运算能力:数学运算能力是数学建模的重要组成部分.不管是在构建模型还是在求解模型的过程中,都会涉及一定量的计算,可能还会有近似计算和估计,所以即使模型选择合理、正确,如果计算能力欠佳,最终也会前功尽弃.

在高考备考中,数学建模主要是完成以上四个步骤.从数学实际应用领域来看,由于数学建模是通过对实际问题的抽象、假设、简化、建立能刻画并能解决实际问题的数学关系,除了需要对数学模型进行求解外,还需要对求解过程进行解释、分析、验证、修改,最终解决实际问题.能力评价水平质量描述水平一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述,了解数学模型中的参数、结论的实际含义.知道数学建模的过程包括:提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型.能够在熟悉的实际情境中,模仿学过的数学建模过程解决问题.对于学过的数学模型,能够举例说明建模的意义,体会其蕴含的数学思想,感悟数学表达对数学建模的重要性.在交流的过程中,能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题水平质量描述水平二能够在熟悉的情境中,发现问题并转化为数学问题,知道数学问题的价值与作用.能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题;理解模型中参数的意义,知道如何确定参数,建立模型,求解模型;能够根据问题的实际意义检验结果,完善模型,解决问题.能够在关联的情境中,经历数学建模的过程,理解数学建模的意义;能够运用数学语言,表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果,形成研究报告,展示研究成果.在交流的过程中,能够用模型的思想说明问题水平质量描述水平三能够在综合的情境中,运用数学思维进行分析,发现情境中的数学关系,提出数学问题.能够运用数学建模的一般方法和相关知识,创造性地建立数学模型,解决问题.能够理解数学建模的意义和作用;能够运用数学语言,清晰、准确地表达数学建模的过程和结果.在交流的过程中,能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象高考链接在高中阶段对于学生数学建模核心素养的考查大多集中在数学理解和数学迁移方面,题目的难易程度集中在中等,题型的考查方式多样,考查的基本模型有函数模型、不等式模型、平面几何模型、立体几何模型、数列模型、概率模型等.近年来,数学建模素养的考查范围越来越广,内容越来越深,题型也越来越新颖,集中体现在以下几方面.(1)综合性:数学建模已经由单纯的数学知识逐步转化为知识、方法和运用能力相结合的综合性题型,因此对于学生来说,单纯的“记忆”远远不够,要学会灵活运用不同的解题方法,从中感受数学建模思想.(2)文化性:特别是近两年,以数学文化为背景的题目频繁出现,可见高考数学正在努力挖掘数学历史长河中的精髓,让学生从数学文化中体会建模思想.(3)应用性:以解答题为主,选取现实生活中的情境为背景考查学生的数学应用能力,让学生体会数学来源于生活,应用于生活,要求学生不能停留在纸面上,而要有一定的应用意识.(4)创新性:对于同一个知识点,不管是从考查角度还是从内容上,相比于以前,都有了一定程度的创新,需要考生对题意有较清楚的理解,在此基础上解决问题.创新性题型符合时代的发展,也顺应选拔高素质人才的要求.在近3年高考中,考查数学建模能力的试题分布情况如下:关键能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷全国乙卷数学建模函数模型

10

几何与代数模型614

12

概率统计模型15191418理172112,1919文173.1函数模型函数是现代数学最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具,是贯穿高中数学课程的主线,主要内容包括函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及函数应用.数学建模能力的良好载体是应用问题,该类试题文字叙述长,涉及的背景知识较多,需要学生具备一定的分析问题和解决问题的能力,让学生经历整个过程:(1)读题、审题,把用文字表述的数学问题转化为用数学语言表述的数学问题;(2)选出自变量,写出函数解析式,确定函数模型(已给出函数模型的跳过此步);(3)利用数据表格和函数图象,分析研究函数模型;(4)通过数形结合,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长含义.

声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(

)A.p1≥p2

B.p2>10p3C.p3=100p0

D.p1≤100p2[思维路径]

学友聊斋

[思维路径]

学友聊斋例3

(2024新高考Ⅰ卷,8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000[思维路径][解题过程]∵当x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2.∵f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1

000.∴f(20)>1

000.结合各选项知,选项B一定正确.[答案]B学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1通过抽象函数的研究考查学生的迭代、比较大小2通过类余弦、类正弦函数的研究考查学生对单调性、对称性的应用3借助函数模型考查函数的对称性、最值等知识4通过具体问题考查学生对数的计算与推理1.☆☆(2025江西新八校联考,多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)+f(x-2)

=f(x-1),且f(17)>f(25),f(18)>f(16),则下列结论一定正确的是(

AC

)A.f(x)=f(x+6) B.f(2)+f(4)=0C.f(20)<20 D.f(30)>30

B组

综合性题组题号选题理由1通过二元函数的研究考查学生的迭代、分类计算2借助抽象函数模型完成对导函数对称性、周期性、函数值的考查3本题考查原函数与导函数的性质,让学生深入了解函数的对称性与周期性4通过研究函数的极值、值域考查学生分析问题、解决问题的能力1.☆(2025山东临沂一模)二元函数z=f(x,y)表示两个自变量x,y的函数,其中x,y∈R,如z=xy为一个二元函数.设x,y为正整数,二元函数f(x,y)满足f(1,1)=1,

f(x,y+1)=f(x,y)+1,f(x+1,1)=2f(x,1),则f(2025,2024)=(

B

)A.22023+2023 B.22024+2023C.22023+2024 D.22024+2024[解题过程]f(2

025,2

024)=f(2

025,2

023)+1=…=f(2

025,1)+2

023=2f(2

024,1)+2

023=…=22

024+2

023.故选B.

C组

应用性题组题号选题理由1以实际问题为背景考查学生分析问题、解决问题的能力2抽象函数的求值、单调性、对称性、周期性是考查的热点3通过抽象函数的研究考查学生赋值、单调性的应用4本题一方面考查抽象函数的赋值,另一方面考查学生的数形结合思想1.☆☆(2025福建福州模拟)在一定条件下,大气压强p(单位:百帕)随海拔高度h(单位:米)的变化满足如下函数关系式:p=p0e-kh(p0,k为正常数).已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕,海拔高度10000米处的大气压强为250百帕,那么,若大气压强从250百帕增加1倍,则海拔高度降低(

C

)A.100米 B.2500米C.5000米 D.7500米

[解题过程]因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),由f(x)=f(2-x)可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则有f(-x)=-f(x)=-f(2-x),则f(x)=-f(2+x),则f(2+x)=-f(4+x),所以f(x)=f(4+x),故f(x)是周期函数,周期T=4.又因为f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1,且有f(0)=f(2)=0,则f(-2)=f(2)=0,f(4)=f(0)=0.当x∈(1,2)时,f(x)=log2(x-1)+x是增函数,且x→1时,f(x)→-∞,x→2时,f(x)→2,所以f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.

D组

创新性题组题号选题理由1借助5G技术背景,考查对数的性质及运算法则2通过抽象函数的研究考查学生赋值、奇偶性等知识3借助矩形古文化街区,接地气地考查学生分析问题、解决问题的能力4通过曲线的方程考查函数的周期性、曲线的对称性等知识

2.☆☆☆(2025广东深圳二模,多选题)已知函数f(x)的定义域为R,

f2(x)+f2(y)=f(x+y)f(x-y)+1,f(1)=0,则下列选项正确的有(

BCD

)A.f(0)=0B.f(3)=0C.f(x)为偶函数D.f(x)的最大值为1

3.☆☆☆(2025山东泰安模拟,多选题)在平面直角坐标系中,定义A(x1,y1),

B(x2,y2)两点之间的折线距离为d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.如图,某地有一矩形古文化街区,其内部道路间距均为1,则下列选项正确的是(

A