人教版七年级下册期末复习《第五章相交线与平行线》典型例题及备考集训检测

期末的脚步悄然临近，对于七年级的同学们而言，数学学科的复习无疑是重中之重。《第五章相交线与平行线》作为平面几何的入门章节，不仅是本学期的核心内容，更为后续更复杂的几何学习奠定了坚实的基础。本章概念众多，逻辑严密，需要同学们在理解的基础上灵活运用。下面，我们将结合典型例题，对本章的重点知识进行梳理，并提供一套备考集训检测，希望能帮助同学们巩固所学，从容应对期末考试。一、核心知识回顾与典型例题精析（一）相交线与相关角核心知识点：*对顶角：两条直线相交形成的四个角中，相对的两个角叫做对顶角。对顶角的性质是对顶角相等。*邻补角：两条直线相交形成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。邻补角的性质是邻补角互补（和为180°）。*垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。*垂线的性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。*垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。*点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。典型例题1：如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD=135°，求∠BOC、∠AOC的度数。解析：因为直线AB与CD相交于点O，所以∠AOD与∠BOC是对顶角。根据对顶角相等的性质，可得∠BOC=∠AOD=135°。又因为∠AOD与∠AOC是邻补角，它们的和为180°，所以∠AOC=180°-∠AOD=180°-135°=45°。答案：∠BOC=135°，∠AOC=45°。典型例题2：如图，点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，PB、PC是直线l的两条斜线段，其中PB=5cm，PC=7cm，PA=4cm。则点P到直线l的距离是多少？线段PB、PC、PA中，哪条线段最短？解析：根据点到直线的距离的定义，点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段PA的长度。已知PA=4cm，所以点P到直线l的距离是4cm。根据垂线的性质2“垂线段最短”，可知在连接点P与直线l上各点的线段中，PA是垂线段，因此PA最短。答案：点P到直线l的距离是4cm；线段PA最短。（二）平行线及其判定核心知识点：*平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。*平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。*平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（如果a∥b，b∥c，那么a∥c）*平行线的判定方法：1.同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。4.平行于同一条直线的两条直线平行。（平行公理推论）5.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。典型例题3：如图，已知∠1=∠2，∠3=100°，求∠4的度数，并说明AB与CD是否平行。解析：观察图形，∠1与∠2是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角。因为∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可以判定AB∥CD。由于AB∥CD，∠3与∠4是直线AB、CD被直线GH所截形成的同旁内角。根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠3+∠4=180°。已知∠3=100°，所以∠4=180°-∠3=180°-100°=80°。答案：∠4=80°，AB∥CD。典型例题4：如图，已知∠A+∠ABC=180°，∠1=∠2。求证：AD∥EF。解析：要证明AD∥EF，我们需要找到合适的角关系。首先，因为∠A+∠ABC=180°，这两个角是直线AD、BC被直线AB所截形成的同旁内角。根据“同旁内角互补，两直线平行”，可以得出AD∥BC。其次，因为∠1=∠2，这两个角是直线EF、BC被直线BE所截形成的内错角。根据“内错角相等，两直线平行”，可以得出EF∥BC。由于AD∥BC且EF∥BC，根据平行公理的推论“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，可以得出AD∥EF。证明：∵∠A+∠ABC=180°（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∵∠1=∠2（已知）∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行）∴AD∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）（三）平行线的性质核心知识点：*两直线平行，同位角相等。*两直线平行，内错角相等。*两直线平行，同旁内角互补。典型例题5：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，求∠2的度数。解析：因为AB∥CD，∠1与∠BEF是直线AB、CD被直线EF所截形成的同旁内角。根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠1+∠BEF=180°。已知∠1=50°，所以∠BEF=180°-∠1=180°-50°=130°。因为EG平分∠BEF，所以∠BEG=∠GEF=∠BEF/2=130°/2=65°。又因为AB∥CD，∠2与∠BEG是直线AB、CD被直线EG所截形成的内错角。根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠2=∠BEG=65°。答案：∠2=65°。（四）平移核心知识点：*平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移。*平移的性质：1.平移不改变图形的形状和大小。2.经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。典型例题6：下列现象中，属于平移的是（）A.钟表指针的转动B.电梯的升降运动C.汽车方向盘的转动D.风扇叶片的转动解析：平移是指图形沿某一方向移动，不改变图形的形状、大小和方向。选项A、C、D都是围绕一个中心进行的旋转运动，方向发生了改变。而电梯的升降运动是整体沿铅直方向移动，符合平移的定义。答案：B二、备考集训检测（一）选择题(每小题只有一个正确选项)1.如图，直线a、b相交于点O，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A.40°B.50°C.140°D.180°*(图：直线a、b相交，形成∠1和∠2为邻补角，∠1在左上角)*2.点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离是（）A.2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.4cm3.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）*(图A：∠1和∠2是AB、CD被截线所截的同位角；图B：∠1和∠2是同旁内角；图C：∠1是AB、EF被截的角，∠2是CD、EF被截的角，非同位角、内错角；图D：∠1和∠2是对顶角)*A.图AB.图BC.图CD.图D4.如图，AB∥CD，∠A=70°，则∠1的度数是（）A.70°B.100°C.110°D.130°*(图：AB∥CD，一条直线与AB交于A，与CD交于一点，∠A为AB上方、截线左侧的角，∠1为CD下方、截线右侧的角，是∠A的同旁内角的对顶角或邻补角的关系)*5.将图形进行平移，下列说法错误的是（）A.图形的形状不变B.图形的位置改变C.图形的大小不变D.图形的方向改变（二）填空题6.如图，直线AB⊥CD于点O，∠AOE=35°，则∠DOE=______度。*(图：CD为水平直线，AB为竖直直线，O为垂足，OE在∠AOC内)*7.如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是________________________。*(图：CD为河流，A为水池位置，AB⊥CD)*8.如图，若AB∥CD，∠1=30°，则∠2=______度。*(图：AB∥CD，直线EF交AB于E，交CD于F，∠1为∠AEF，∠2为∠EFD)*9.命题“两直线平行，内错角相等”的题设是________________，结论是________________。10.把一个△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF，则CF的长度是______。（三）解答题11.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=70°，求∠DOE的度数。*(图：直线AB、CD相交于O，∠AOC为对顶角之一，OE在∠BOD内)*12.如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3。求证：AD∥BE。*(图：直线AD、BE被直线AB所截，∠DAB为∠1；直线AC、BC被直线AB所截，∠CAB为∠C；∠2和∠3是直线AD、BE被另一条直线所截形成的内错角或同位角，具体图形需体现∠1=∠C则AD∥BC，∠2=∠3则BC∥BE，从而AD∥BE)*13.如图，AB∥CD，∠B=60°，∠D=30°，求∠BED的度数。（提示：过点E作EF∥AB）*(图：AB∥CD，点E在AB下方，CD上方，形成∠BED)*14.如图，网格图中每个小正方形的边长均为1个单位长度。（1）请画出将△ABC向右平移4个单位长度后得到的△A1B1C1。（2）线段AA1与BB1的关系是________________。（3）△A1B1C1的面积是________________。*(图：简单的△ABC在网格中，例如A(0,0),B(1,2),C(3,1)等)*三、总结与备考建议《相交线与平行线》这一章的内容，核心在于理解角与线的位置关系及其数量关系。同学们在复习时，首先要吃透基本概念和性质，比如对顶角、邻补角的识别与性质，垂线的性质，平行线的判定方法和性质定理。这些是解决一切几何问题的基础。其次，要注重识图能力的培养。几何图形千变万化，但基本模型是有限的。要学会从复杂图形中分解出“三线八角”的基本图形，准确识别同位角、内错角和同旁内角。再次，要强化逻辑推理能力。无论是证明两直线平行，还是利用平行求角度，都需要清晰的思路和规范的表达。