第一单元：有余数的除法（知识清单）解析版

（新教材）人教版二年级数学下册

第一单元：有余数的除法（单元复习讲义）

（知识梳理+典例分析+变式练习）

单元知识框架

/有余数除法的意义

认识有余数除法t有余数除法的各部分名称

「关键规律：余数V除数

余数与除数的关系最大的余数和最小的余数

4〔最小的除数

有余数的除法＜

有余数除法的竖式计算

有余数除法的试商

、.C进一法和去尾法

有余数除法的实际应用（周期（规律）问题

IJ单元知识点梳理

知识点01:认识有余数的除法

1、有余数的除法意义：在平均分一些物体时，有时会有剩余。

2、各部分名称

（1）被除数：要分的总数；

（2）除数：平均分的份数（或每份的个数）；

（3）商：每份的个数（或平沟分的份数）；

（4）余数：分后剩下的、不够再分的部分。

知识点02：余数与除数的关系

1、在有余数的除法中，余数必须比除数小。

2、最大的余数是“除数-1”，最小的余数是1。

3、除数最小是“余数+1”。

知识点03：有余数除法的竖式计算

1、先写除号“厂”

2、被除数写在除号里，除数写在除号的左侧。

3、试商，商写在被除数上面，并要对着被除数的个位。

4、把商与除数的乘积写在被除数的下面，相同数位要走齐。

5、用被除数减去商与除数的乘积，如果没有剩余，就表示能除尽。

知识点04：有余数除法的试商方法

1、一看除数选口诀：二比积与被除数；三验余数小于除数。

2、在计算表内除法时，根据乘法口诀来进行试商，用商乘除数，看所得的结果是否和被除数

接近，如果比被除数大，说明试商大了，需要将商调小；如果所得结果比被除数小很多，说明

试商小了，需要将商调大。

【易错点】

（1）余数的本质是“不够再分”，如果剩余部分还能再分，就不是正确的余数；

（2）商和余数都要带单位，单位需根据具体情境确定（如分物品时，商是“每份个数”，余数是

“剩余个数”，单位相同）。

知识点05：有余数除法的实际应用

1、进一法和去尾法

用有余数的除法解决问题时，要根据实际情况，判断具体方法。

（1）“至少”是“进一”问题：求一个数里面有多少个儿，用除法来计算，结果是商+1。

（2）“最多”是“去尾”问题：求一个数里面有多少个儿，用除法来计算，结果是只取商，舍去余

数。

2、周期（规律）问题

用有余数的除法解决周期（规律）问题的解题策略：

（1）找周期：观察图形/事物的排列，确定重复的最小单位，记录周期长度；

（2）算组数：用“总数量：周期长度”，列式计算，得到商和余数；

（3）看余数：

①余数是几，对应每组中的第几个。

②余数是0,对应每组中的最后一个。

【易错点】

（1）进一法和去尾法关键看“剩余部分是否有用”：需要就“进1”，没用就“去尾”。

（2）周期（规律）问题中，若余数为（），不能认为“没有对应物体”，而是对应周期最后一个。

涸®重难点题型精讲

考点h认识有余数的除法

【典型例题1】23-6=3（条）……5（条），这个算式表示有（）条小鱼，平均分给

（）只小猫，每只小猫分到（）条，还剩（）条。

【答案】23635

【分析】根据有余数的除法的意义，23-6=3……5表示把23平均分成6份，每份可以分到

3,还剩下5份无法平均分配，据此即可解答。

【详解】根据分析可知，23-6=3（条）……5（条），这个算式表示有23条小鱼，平均分给

6只小猫，每只小猫分到3条，还剩5条。

【典型例题2］下面图（）可以用除法算式13:4=3……1来表示。

.口□口川

【答案】B

【分析】除法算式13:4=3……1表示一共有13根小棒，每份是4根，共3份，还剩1根,

或者一共有13根，分成了4份，每份是3根，还剩1根，由此解答。

【详解】A.表示有13根，每份是6根，共2份，还剩1根，与题意不符；

B.表示有13根，每份是4根，共3份，还剩1根，与题意相符；

C.表示有18根，每份是5根，共3份，还剩3根，与题意不符。

口口口［可以用除法算式13-4=3……1来表示。

故答案为：B

【练习1]35：6=（）……（）,被除数是（），除数是（）,

商是（）,余数是（）o

【答案】5535655

【分析】有余数的除法算式为：被除数：除数=商……余数，由此计算出结果填写即可，注意

余数要比除数小。

【详解】35：6=5……5,被除数是35,除数是6,商是5,余数是5。

【练习2】下面算式中的各个数分别表示什么意思？（）

324-7=4....4

（）（）（）（）

①平均分给7位小朋友②每人分到4个苹果

③还剩4个苹果⑷一共有32个苹果

A.①②③④B.④①②③C.①③②④D.③④①②

【答案】B

【分析】根据除法算式中的含义，被除数表示总数，除数表示分的人数，商表示每人分到多

少个，余数表示剩的个数，根据题意可得：一共有32个苹果，平均分给7位小朋友，每人能

分到4个苹果，还剩4个苹果，据此解答即可。

【详解】32表示一共有32个苹果，7表示平均分给7位小朋友，4表示每人分到4个苹果，

余数4表示还剩下4个苹果。

32+7=4....4

（④）（①）（②）（③）

故答案为：B

考点2：余数与除数的关系

【典型例题1】在有余数的除法算式中，*-6=4……△,△最大是（），这时★是

（）；△最小是（），这时★是（）o

【答案】52925

【分析】有余数的除法中，余数比除数小，△最大为5,最小为1,再根据商x除数十余数=

被除数，求值即可。

【详解】4x6+5

=24+5

=29

4x6+1

=244-1

=25

在有余数的除法算式中，★=6=4……△,△最大是5,这时★是29；△最小是1,这时★是

25。

【典型例题2】把一些糖果平均分给6个人。如果有剩余，可能剩（）颗。

A.12B.7C.6D.4

【答案】D

【分析】有余数的除法算式为：被除数♦除数=商……余数，可以表示把被除数平均分成除数

的份数，商是每份的数，余数是剩下的数，其中余数一定小于除数，也就是剩下糖果的数量

一定小于平均分的人数，即小于6,由此解答。

【详解】A.12>6,不符合题意；

B.7>6,不符合题意；

C.6=6,不符合题意；

D.4<6,符合题意。

则可能剩4颗。

故答案为：D

【练习1】在算式口+5=8…△中，△最大填（），此时□等于（）。

【答案】444

【分析】有余数的除法算式为：被除数：除数=商……余数，其中余数一定小于除数，余数最

大是比除数小1的数，根据除数X商十余数=被除数，计算即可。

【详解】5-1=4

5x8+4

=40+4

=44

在算式口+5=8……△中，△最大填4,此时□等于44。

【练习2】李阿姨把一些粽子装在下面的袋中，如果有剩余，最多会剩（）个粽子。

【答案】3

【分析】观察题图可知，李阿姨把一些粽子装的袋中，每个袋中有4个粽子，把这些粽子平

均装在袋中，根据有余数的除法中，余数比除数少，这里除数是4,若有剩余，则剩下的可

能是1个，2个，3个，最多剩下3个粽子，最少剩下1个粽子，据此解答。

【详解】李阿姨把一些粽子装在下面的袋中，如果有剩余，最多会剩3个粽子。

考点3：有余数的除法的竖式计算

【典型例题1】一共有（）根萝卜。请在下边的竖式中记录分萝卜的情况。

口7OD

□□

【答案】27

F6

0700

回臼

□

【分析】用竖式计算时，除号下面是被除数，除号外面是除数：除号上面是商：被除数下面

是除数和商的积：最下面是余数。

根据4只小兔的对话可知，小兔的只数就是除数，剩的就是余数，分掉了24根，就是竖式中

被除数下面的数，因为商和除数相乘等于24,得出商，被除数就是分掉的数加上余数，即可

列出除法竖式。由此解答。

【详解】由分析可得：除数是4,余数是3,因为商和除数相乘等于24,即6x4=24,所以商

是6；被除数是：24+3=27；由此列出竖式为:

【典型例题2】有47个苹果，最少拿出（）个，剩下的才能平均分给9个小朋友。

【答案】2

【分析】要使剩下的苹果能平均分给9个小朋友，剩下的苹果数必须是9的倍数。需要用47

除以9,商表示每个小朋友平均分，最多能拿到的苹果人数，余数为剩下的无法再平均分给9

个小朋友，因此余数即为最少需要拿出的苹果个数。

【详解】47+9=5（个）……2（个）

有47个苹果，最少拿出2个，剩下的才能平均分给9个小朋友。

【练习1】竖式计算。

72-9=50-7=28-6=

【答案】8；7……1；4……4

【分析】除法用竖式计算时，从最高位开始除起，若除不了，就用最高位和下一位合成一个

数来除，直到能除以除数为止。若有余数，则余数一定比除数小。

【详解】72+9=850+7=7……128+6=4……4

【练习2】38位同学到公园划船，每条船最多坐6人。下图竖式箭头所指的部分表示的是

()o

6

6rn-

736<—

-2-

A.需要36条船B.坐满6条船，还剩36人

C.6条船可以坐36人D.一共有36人

【答案】C

【分析】箭头所指的36是6乘6得到的，也就是每条船最多坐的人数乘船的条数得来的，是

指6条船坐的人数。

总人数:每条船最多坐的人数=需要船的条数……剩余人数，逐项分析。

【详解】A.需要6条船，原题说法错误。

B.坐满6条船，还剩2人，原题说法错误。

C.6条船可以坐36人，原题说法正确。

D.一共有38人，原题说法错误。

38位同学到公园划船，每条船最多坐6人。下图竖式箭头所指的部分表示的是：6条船可以

坐36人。

故答案为：C

考点4：有余数的除法试商

【典型例题】有40片雪花片。如果分给7个小朋友，平均每个小朋友分得几片雪花片？还剩

几片？

40+7=□（片）.…□（片）

7

6x7=42,比（）大，5x7=35,比40（）,商是（）

□□0

【答案】5；5

竖式见详解

40；小；5

5片；5片

【分析】根据题意，用雪花片的总数量：分给的人数=平均每人分得的数量……剩下的片数。

求商时，可通过试商来求解。想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几。

由此解答。

【详解】4g7=5（片）……5（片）

5

7

6x7=42,比40大，5x7=35,比40小，商是5。

答：平均每个小朋友分得5片雪花片，还剩5片。

【练习】试商之后，发现商和除数的乘积大于被除数，那么商要（）o

A.变大B.变小C.不变

【答案】B

【分析】在计算表内除法时，根据乘法口诀来进行试商，用商乘除数，看所得的结果是否和

被除数接近，如果比被除数大，说明试商大了，需要将商调小；如果所得结果比被除数小很

多，说明试商小了，需要将商调大。据此解答。

【详解】由分析可知I,试商之后，发现商和除数的乘积大于被除数，那么商要变小。选项B

符合题意。

故答案为：B

考点5：有余数除法的实际应用

【典型例题1】东东今天练习写毛笔字“白日依山尽“，按顺序重复写了儿遍后，东东写完“山”

字就停笔了。他可能一共写了（）个字。

A.25B.24C.23

【答案】B

【分析】山是这句话的第4个字，用各项中的数字除以这句话的字数，找出余数是4的即

可。

【详解】A.254-5=5（遍）

B.24+5=4（遍）……4（个）

C.23+5=4（遍）……3（个）

他可能一共写了24个字.

故答案为：B

【典型例题2】教师节快到了，花店购进一些鲜花，玫瑰花购进49枝，郁金香购进23枝，5

枝玫瑰花和3枝郁金香扎成一束，这些鲜花最多可以扎成儿束？

【答案】7束

【分析】根据除法的意义，分别计算出玫瑰花和郁金香各自能扎多少束，然后选择较少的数

量，即可计算出这些花最多可以扎成多少束。

【详解】49+5=9（束）……4（枝）

23+3=7（束）……2（枝）

7<9

答：这些花最多可以扎成7束。

【练习1］如果按下面的方式穿黑、白珠子，从左往右数第37颗珠子是（）色的。

【答案】白

【分析】这组珠子按照2颗白色3颗黑色为一组重复排列。求第37颗的颜色，用37；每组的

数量，若能除尽，则是这组最后一颗的颜色，若除不尽，则余数是几，就是下一组第几颗的

颜色。

【详解】2+3=5（颗）

37+5=7（组）……2（颗）

从左往右数第37颗珠子是第8组的第2颗，是白色的。

【练习2】要做50个灯笼，每天最多可做8个，至少需要（）天才能完成。

【答案】7

【分析】用要做灯笼的总个数除以每天最多可做的个数，求出商和余数，然后用商加1,求

出和，就是至少需要的天数。

【详解】50-8=6（天）……2（个）

6+1=7（天）

即，要做50个灯笼，每天最多可做8个，至少需要7天才能完成。

vsf变式训练巩固

一、选择题

1.3位老师和19个学生坐船过河，每条船最多坐6人，至少要（）只船才能一次就

把他们送到对岸。

A.3B.4C.5

【答案】B

【分析】求至少需要几只船才能一次就把他们送到对岸，根据“总人数：每只船最多乘坐的人

数=所需船的只数''进行解答。若有余数，则需要再多1只船把剩余的人送去对岸。

【详解】（3+19）4-6

=22:6

=3（只）....4（人）

剩余4人还需要1只船。

3+1=4（只）

所以至少要4只船才能一次就把他们送到对岸.

故答案为：B

2.为了解决“35根小棒，每4根摆一个正方形，可以摆几个正方形？”这个数学问题，丽丽

列了如图的竖式。在这个竖式中，其中“32”表示的意思是（）。

32.麦小（）

A.一共有32根小棒

B.摆了8个正方形后还剩下32根小棒

C.摆8个正方形已经用了32根小棒

【答案】C

【分析】根据除法的意义，小棒的总数量一摆一个正方形需要的小棒数量=可以摆正方形的个

数……剩余的小棒数量。列竖式时，除号下边是被除数也就是小棒的总数量；除号外边是除

数也就是摆一个正方形需要的小棒数量；除号上边是商也就是可以摆正方形的个数；被除数

下边是除数和商的乘积，也就是摆商个数的正方形用了多少根小棒；最下边是余数也就是剩

余的小棒数量，由此解答。

【详解】A.小棒的总数量是35根，不符合题意；

B.摆了8个正方形后还剩下的小棒数量是3根，不符合题意；

C.摆8个正方形已经用的小棒数量是4x8=32（根），符合题意。

所以“32”表示的意思是摆8个正方形已经用了32根小棒。

故答案为：C

3.有45道数学思维训练题，爸爸要求明明每天做6道，明明（）天可以做完。

A.6B.7C.8

【答案】C

【分析】用题的总数除以每天做的数量，商就是需要做的天数，如果有余数需要再花一天时

间做，则用商加1即可。

【详解】45-6=7（天）……3（道）

7+1=8（天）

明明8天可以做完。

故答案为：C

4.如果34是被除数，4是商，除数是8,余数是2。那么正确的算式是（）0

A.34+8=4.......2B.34:4=8........2C.34+8=2........4

【答案】A

【分析】被除数邛余数=商……余数，据此解答。

【洋解】如果34是被除数，4是商，除数是8,氽数是2。那么正确的算式是34+8=

4……2o

故答案为：A

5.60人参加联欢会，每张桌子坐8人，至少要准备（）张桌子。

A.8B.7C.6

【答案】A

【分析】由题意得，60人参加联欢会，每张桌子坐8人，求至少要准备多少张桌子，就是求

60里面有几个8,用除法计算。有余数时，说明还有人剩余，需要再多安排一张桌子才能使

全部人都坐下。

【详解】60-8=7（张）……4（人）,7+1=8（张），即至少要准备8张桌子。

故答案为：A

6.13名少先队员到社区做好事，每4人分一组，可以分成几组？还剩几人？小明用竖式计

算。竖式中的“12”表示（）0

3

47TT

12

T

A.总人数B.已分的人数C.剩下的人数

【答案】B

【分析】根据题意，少先队员的总人数:每组的人数=可以分成的组数……剩余的人数，用竖

式计算时，除号下边的数是被除数，除号外面的数是除数，除号上面的数是商，被除数下面

的数是除数和商的乘积，最下边是余数，由此解答。

【详解】由分析可知，竖式中的13是总人数，4是每组的人数，3是分成的组数，12是4和

3的乘积，也就是已经分了的人数，1是还剩的人数。

“12”是已经分了的人数。

故答案为：B

7.△图□⑥。口⑥。Zk。口按规律往后画，第24图形应画（工

A.△B.©C.。

【答案】B

【分析】通过观察这组图形，可以发现是以“△团口©。“这五个图形为一组的规律重复出现，用

图形的位詈数除以5,看余数是儿，就是一组中的第几人图形，没有余数就是一组中的最后

一个。据此即可解答。

【详解】24:5=4（组）……4（个）

说明第24个图形应该是第5组中的第4个，即是总。

故答案为：B

8.如下图的竖式是用来计算“13根小棒可以搭成几个三角形？”的，竖式中的“12”表示

见叵

T\[T

A.可以搭成12个三角形B.己经用了12根小棒C.还剩12根小棒

【答案】B

【分析】由题意可知，13：3=4（个）……1（根），3表示一个三角形由3根小棒组成，4表

示4个三角形，则3x4=12,12表示4个三角形用了12根小棒；据此解决。

【详解】如下图的竖式是用来计算“13根小棒可以搭成儿个三角形？”的，竖式中的“12”表

示：己经用了12根小棒。

13

12

□

故答案为：B

9.小明帮妈妈摆碗筷，他拿了8个碗和15根筷子，最多可以分给（）个人用餐。

A.7B.8C.15

【答案】A

【分析[根据题意可知，每人需要1个碗，2根筷子。月碗的数量;每人需要的数量；筷子的

数量:每人需要的数量，求出的人数相比，人数少的就是最多可以分给的人数。

【详解】8X=8（人）

154-2=7（人）……1（根）

7<8

最多可以分给7个人用餐。

故答案为：A

10.下面计算不正确的是（）。

A.3"6=4...7B.18:5=3...3C.50:6=8...2

【答案】A

【分析】有余数的除法算式为：被除数：除数=商……余数，依次计算出各算式的结果，余数

一定比除数小，由此解答。

【详解】A.31-6=5……1,原题计算错误。

B.184-5=3……3,原题计算正确-

C.50-6=8……2,原题计算正确。

计算不正确的是314-6=4...70

故答案为：A

二、填空题

11.△=6=4...□,□里最大是（）：△+□=86,△最小是（）o

【答案】562

【分析】根据余数要比除数小可知：□表示的数要比6小，据此求出小于6的最大的数是多

少，即得出答案；

要求△最小是多少，则除数最小时，被除数最小，因为余数是6,所以大于6的最小的数是

7,再根据被除数=商、除数十余数，据此解答即可。

【洋解】小于6的最大的数是5,所以□里最大是5。

大于6的最小的数是5。

8x7+6

=56+6

=62

所以△最小是62o

12.63里面有（）人9；53里面最多有（）个6。

【答案】78

【分析】要求63里面有几个9,根据除法的意义，用63-9即可得出答案。

要求53里面最多有几个6,根据除法的意义，用53:6进行解答即可。

【详解】63:9=7,所以63里面有7个9。

53+6=8……5,所以53里面最多有8个6。

13.忸。。△团。。△团。。4……按照这样的规律排下去，第23个图形是（）。

A.团B.oC.△

【答案】B

【分析】根据题意，这组图形按肉。。△的顺序排列，就是4个图形为一个周期，确定周期后，

用总数量23除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果有余数时，余

数是几，结果就是下一个周期中的第几个图形，据此解答。

【详解】23:4=5（个）……3（个）

这组图形排了5个周期，余下3个图形，所以第23个图形是。。

故答案为：B

14.圈一圈，填一填。

13片树叶，3片3片地圈，圈了（）组，剩下（：）片。

13:3=4（组）…（）片

【答案】4；1；

图见详解；

【分析】根据题意，每3片叶子圈一个圈，圈了几个圈就是圈了几组，没圈上的就是剩余的

数量。列算式时，叶子的总数量:每组的数量=分成的组数……剩余的叶子数量。

13片树叶，3片3片地圈，圈了4组，剩下1片。

13:3=4（组）……1（片）

15.乐乐按2个绿气球、3个黄气球、1个红气球的顺序，把气球串起来装饰教室，笫18个

气球是（）色，第35个气球是（）色。

【答案】红黄

【分析】根据题意，先用加法计算出每组气球的数量，再分别用18和35除以每组气球的数

量，若能除尽则是这组最后一个气球的颜色，若除不尽，则余数是几就是下一组第几个气球

的颜色。

【详解】24-3+1=6（个）

18-6=3（组），第18个气球是第3组的最后一个，是红色；

35-6=5（组）……5（个），第35个气球是第6组的第5个，是黄色。

乐乐按2个绿气球、3个黄气球、1个红气球的顺序，把气球串起来装饰教室，第18个气球

是红色，第35个气球是黄色。

16,有50千克油，每瓶装满能装8千克，至少要用（）个瓶子才能把油全部装完。

【答案】7

【分析】用油的总质量除以每瓶油能装满的质量，求出商和余数，再把商加上1,求出和，

就是至少要用的瓶子个数。

【详解】50:8=6（个）......2（千克）

6+1=7（个）

即，有50千克油，每瓶装满能装8千克，至少要用7个瓶子才能把油全部装完。

17.找规律：ABCDABCDABCD……，依次排下去，第33个字母是（）。

【答案】A

【分析】由题意得，ABCDABCDABCD……有规律地排列，也就是ABCD四个字母按顺序

有规律地排列。直接用33除以4算出有多少组这样的字母，然后根据多出来的字母个数来推

测第33个字母是什么即可。

【详解】33:4=8（组）……1（个）

故第33个字母是A。

【答案】3；6；2；6；3；2

【分析】根据图片可知，一共有20个苹果，平均分成了3盘，每盘6个，还剩下2个；

一共有20个苹果，每盘6个，分成了3盘，还剩下2个；据此做题。

【详解】有分析可知：20-3=6（个）……2（个）20-6=3（盘）……2（个）

19.有34个乒乓球，平均分给5人，每人分（）个，还剩（）个。

【答案】64

【分析】用乒乓球的总数量除以5,求出商和余数，商是每人分到乒乓球个数，余数是还剩

乒乓球个数。

【详解】34-5=6（个）……4（个）

即，有34个乒乓球，平均分给5人，每人分6个，还剩4个。

20.括号里最大能填几？

9x（）<308x（）<35（）x6<21

【答案】343

【分析】用小于号右侧的数除以左侧的已知数，若除不尽，则商就是能填的最大的数；若除

得尽，则商一1就是能填的最大的数。

【详解】9x（）<30,30:9=3……3,括号里最大能填3；

8x（）<35,35+8=4……3,括号里最大能填4；

（）x6<21,21-6=3……3,括号里最大能填3。

21.把26张画片平均分给6个学生，每个学生分（）张，还剩（）张；至

少要加上（）张，才能刚好平均分给这6个学生。

【答案】424

【分析】求每个学生分几张，还剩几张，用除法计算.画片的总数量：学生的人数=每人分到

的张数……剩下的数量；若要平均分给6个学生，也就是把余下的数量凑成6,用6减去余

下的数量即可。

【详解】26+6=4（张）……2（张）

6—2=4（张）

把26张画片平均分给6个学生，每个学生分4张，还剩2张；至少要加上4张，才能刚好平

均分给这6个学生。

22.有一排图形是这样排歹ij的...第2（）个是图形（），第32

个是图形（）。（画出图形）

【答案】△•

【分析】图形按•••△△的顺序循环排列，一组5个，用20和32分别除以一组的人数，余数

是几就是一组中的第几个，没有余数就是最后一个。

【详解】20-5=4（组）

324-5=6（组）……2（个）

有一排图形是这样排歹U的...第20个是图形4,第32个是图形•<>

三、计算题

23.用竖式计算。

42-6=53+7=65:8=

【答案】7；7……4；8……1

【分析】有余数除法的计算方法：想除数和几相乘最接近被除数并且小于被除数，那么商就

是几，写在被除数个位的上面；把除数和商相乘，把结果写在被除数下面；用被除数减去商

与除数的乘积，所得的差写在横线下面；将余数与除数比一比，余数必须比除数小。

根据乘法口诀求商时，口诀中的后一个数为被除数，前两个数一个作除数，一个作商。

【详解】42:6=753+7=7……465-8=8……1

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