九年级数学平时作业09 直角三角形的边角关系（15大题型）（巩固培优）原卷版

限时练习：60min完成时间：—月—日天气:

作业09直角三角形的边角关系

积累运用

知识点一、锐角三角函数的定义

在■中，ZC=90°,AB=c,BOa,AC=b,

PH__乙4的对边入什.NA的邻边pm,NA的对边a

正弦：sinA=--------------；余弦：cosA=---------------:正切：tanA=------r-n--------7

斜边C斜边C邻边b

根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助

线来构造直角二角形.

知识点二、特殊角的三角函数值

asinacosatana

\_小

30°

2~2-3~

72近

45°1

22

♦

60°6

V2

知识点三、解直角三角形

1.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知

元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.

2.解直角三角形的常用关系：在放ZkABC中，Z0900,则：

(1)三边关系:展+从=/；

(2)两锐角关系：NA+N8=90°；

(3)边与角关系：sinA=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA=—；

ccb

(4)sin2A+cos2A=\.

3.科学选择解直角三角形的方法口诀;

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.

知识点四、三角函数的应用

1.仰角和俯角

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角.

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角.

2.坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度/?和水平宽度/的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作叫坡度越大，。角越大，坡面越陡.

3.方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角（或方位角）.

北,偏东30度

北偏西70度70。区

东

西南方向।南偏东50度

培优训练

三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型

1巩固提升练

题型一锐角三角函数概念辨析

1.（25-26九年级上•上海•月考）在中，ZC=9O°,NA、NB、NC的对边分别为。、b、。，那

么下列等式中错误的是（）

A.c=-B.c=acosBC.a=---D.b=a-cotA

sinAtanB

2.（24-25九年级下•广东深圳•开学考试）如图，在VABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则下

列选项正确的是（）

B

.bc八0-,a、n0

A.sinA4=—B.cos13=—C.tanA=—D.tan/?=—

ccca

3.（24-25九年级_L•山东青岛•月考）在VABC中，ZC=90°,a,b,。分别是0A,ZB,ZC的对边,

有下列关系式：①〃=c・cos4；②〃=a-tan3；③a=c-sinA；④a=〃ian8,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（24-25九年级上•山东淄博•期口）如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们

称它为“赵爽弦图图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形

的面积是120,小正方形面积是20,则sin6-cose=.

题型二求锐角三角函数值

5.（25-26九年级上•辽宁大连♦期末）如图，在RtZVIBC中，ZC=90°.若A4=13,BC=5,贝iJsinA的值

为O

CB

A.-B.--C.——D.—

5121213

6.（25-26九年级上•浙江•期末）RtVABC中，NC=90°,AC=24C,下列结论：①sin4=；；②cosB=1~；

③lanA=4；④tan8=2,其中结论正确的是（）

25

A.②③B.②@C.①③D.①④

7.125-26九年级上•河南濮阳•月考）如图，在矩形A8CD中，48=5,BC=4,点E在A8边上，且踮=2,

连接CE、DE,点尸是BC的延长线上一点，连接A尸，若NF=Q/EDC,则tan/的值为

DM±AF,

，ZAMD=90°,

贝lj^MAD+ZADM=90°,

•・•四边形人BCD是矩形,

8.（天津市红桥区2025-2026学年.上学期九年级期末数学试卷）如图，在□△ABC中，ZA=90°,A8=3,

BC=4,求sinB,cosB,tanB的值.

题型三已知三角函数值求边长

9.（25-26九年级上•河南南阳•月考）如图，在矩形A8CD中，对角线AC,BD相交于点O,AE_LBD于点

E,且sin/8AE=g,若80=9,则A。的长为（）

C.4庭D.6&

10.（2024•北京平谷•二模）如图，正方形A8CO的边长为3,点E为A。边的中点，连接8£＞、CE,8。与CE

相交于点尸，则。尸的长为.

11.（25-26九年级上•福建福州•月考）如图，E是正方形ABC。中边BC上的一点，将身,修4E绕点A逆时针

旋转90。，交C。的延长线于点F,连接E尸.

（I）补全图形，并证明线段

⑵若⑶=%求等的值.

3

12.（2025•浙江温州•三模）如图，在等腰7ABe中，AB=AC=\（lcos/BAC=§,过点8作“。1AC于点O.

⑴求AD的长;

（2）若点E是4c中点，连结AE,求tan/EAC的值.

题型四己知角度比较三角函数值的大小

13.（24-25九年级上•山东聊城・月考）已知0。<。<45。，则下列各式中正确的是（）

A.cos"；B.tanQlC.sin，>cos。D.si®tan。

14.（24-25九年级上•山东东营•开学考试）三角函数sin30。、cos16°>sin43。之间的大小关系是（）

A.sin43°>cos160>sin30°B.cos160>sin30P>sin43°

C.cos16°>sin43°>sin30°D.sin43°>sin3（T>cos16°

15.（24-25九年级下•江苏淮安•开学考试）比较大小：5〃35。—cos45°.

16.（24-25九年级下•全国•单元测试）（1）试比较18。,34°,52。，65。，88。这些角的正弦值的大小和余弦

值的大小.

（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系,比较下列正弦值和余弦值的大小:sin10%cos300,sin500,

cos70°.

题型五特殊角三角函数值的混合运算

17.（25-26九年级上•陕西榆林•期末）计算：2sin30。-cos?45。+正tan6（）。.

2

18.（25-26九年级上•山东枣庄•月考）计算：

（1）x/2sin45°-2cos30°+^/（1-tan6O0）2

⑵强一（；r_3.14）°-2sin45°+[&一21

19.（25-26九年级上•安徽淮北•月考）计算：产黑_J卷。*

I-lair30sin60-cos60°

20.（25-26九年级上•山东临沂・月考）计算：

（1）6tan23O0-V3sin600-2sin45°；

-2cos300+tan450

（2）

2sin30°

（3）1-1）2°25+2sin60°十（乃一3.14）°+卜

题型六由特殊角的三角函数值判断三角形形状

21.（25-26九年级上•四川遂宁•月考）在VABC中,aNC所对的边分别为小2c,且/C和NC均

为锐角，若。cos8=>cosC,则V43C是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

22.（25-26九年级上•江苏徐州•月号）在VA6C中，（aiiA=l,tan5=—,那么VA6c是（）

3

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形

23.（25-26九年级上•陕西西安•期中）已知在VA8C中/A、NB都是锐角，|G-3tan0+12cosA-1=0,

那么V"C的形状是.

24.（24-25九年级上•河南濮阳・月考）已知VA4C中，NA与N8满足（1Tan+cosB-孝二0

（1）试判JI析.VA6c■的形状；

（2）求（1+sinA『一2—（3+tanB）"的值.

题型七根据特殊角三角函数值求角的度数

25.（2025・上海•一模）在VA4c中，NB、NC都是锐角，且sinC-更+（左一sinB1=0,则NA的度数

212J

为（）

A.120°B.90°C.75°D.60°

26.（25-26九年级上•山东烟台•期中）如图，在矩形QWC中，Q4=6,OC=3,将矩形。钻。绕点。逆时

针旋转至矩形。上尸C，若DE经过点B,则NQCO的度数为（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

27.（25-26九年级上•江苏徐州•月考）在锐角VABC中，若NA、N8满足cosA-；+sinB-半=0,则

NB=.

28.（25-26九年级上•河北唐山•期末）已知。是锐角，且cosa=等.求sir?a+tan（a+l5o）cos（a+30。）的

值.

题型八解直角三角形的相关计算

29.（24・25九年级上•河南平顶山•期末）如图，在RtAABC中，ZC=90°,已知A3=15,ianA=J,求AC,

3c的长和tan3的值.

c

4

30.（25-26九年级上•浙江嘉兴•期末）如图，在VABC中，AC=1（）,8c=16,AD是8c边上的中线，tanC=-.

J

（1）求A。的长.

⑵求sinZAAC的值.

3

31.⑵-26九年级上•安徽黄山・月考）如图'已知VABC中，—二.

⑴求边AC的长和cosC的值；

⑵设边的垂直平分线与边人从BC的交点为D,F,求。7«'的长.

32.（25-26九年级上•安徽淮南・月考）如图，已知点£）,E分别在V48C的边/3A,C4的延长线上，4/定〃4c.

（1）如果AO=3,BD=9,DE=4,求8C的长；

⑵如果＜=3，4）=4,sin6=巫，过点。作。垂足为点忆求。尸的长.

CE54

题型九解非直角三角形

33.（24-25九年级上•陕西咸阳・期末）如图，在VA8C中，Z4BC=30oJanC=1,/lB=6,则BC的长

为•

34.（24-25九年级上•重庆・期中）如图，点。是VA3C外一点，DB=DC,A8与。。相交于点E,

/BDC=/BAC,连接Q4,若AC=4,=tanNOB4=；,则/%=

35.（2024.上海徐汇.三模）如图，在VABC中，AB=AC=4,cosB=l4。是中线，将V/WC沿直线50

4

翻折后，点、A落在点E,那么CE的长为.

A

36.（25-26九年级上•山东烟台•期中）（1）【知识再现】我们知道，直角.三角形中有6个元素一三个角，三

条边.其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形,

下列两个条件中，不能解直用三角形的是

①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③己知两个角.

（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由己知元素求出所有未知元

素的过程叫解三角形.三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具.如图I,已知

在VABC•中，乙4=30°,28=45。，A8=8+8石，解这个三角形；

（3）【延伸应用】如图2,在V人8c中，AC=4,osA=—,BC=m,在解这个三角形时，若未知元素

C2

都有两解的小的取值范围是，

题型十构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

37.（24-25八年级下•湖南益阳・期末）如图，在四边形人BCO中，ZABC=ZADC=90°,人8=7,8c=9,

CD=3,则四边形/WC。的面积为（）

A.48B.50C.52D.54

38.（24-25八年级下•黑龙江哈尔滨•月考）如图，VABC中，,A8=,8C=2石+4,则AC=

,1

39.（24-25九年级上•陕西西安•月考）如图，在四边形A4CO中，连接AC、BD,N/WO=N8CD=90。,

DAB=60°,BC=CD,贝IJtanZ4C。的值为.

40.（24-25八年级下•河南安阳•期末）如图，学校操场边有一块四边形空地A3c。，其中A4J.4C,

/W=BC=2m,4/）=lm，CD=3m.为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进

行绿化整理.

D

（1）求证：ADA.AC.

（2）求需要绿化的空地ABCD的面枳.

题型十一三角函数关系

41.（2025九年级下•浙江温州•学业考试）己知tana=2,则，疝2a-----=（）

cos'a+sinacoscr

A.-B.-C.4D.2

33

42.（25-26九年级上•安徽淮南•月考）同角三角函数的基本关系为：sin2a+cos2a=l,-=tan«,利用

COS4

同角三角函数的基本关系求解下题：已知tana=，则^­!——=________.

5sinacosa

43.（25-26九年级上.河南南阳•月考）如图，根据提供的数据回答下列问题:

4

(1)在图①中，sinA=,cosA=,sin2A4-cos2A=

在图②中，sinA,=,cos/4,=sin2A+cos2A=

通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角夕的等式表示出来

（2）利用你发现的规律求解以下题目：已知夕是锐角，且满足S也尸=女。5尸，求cos夕的值.

44.（24-25九年级上•安徽淮南•月考）如图，在VABC中，ZC=90°,。，b,。分别是NA,NB,NC的

对边.

⑴求siMA+si/B的值;

（2）（填空）当。为锐角时，sin2a+sin2（9O0-«）=；

（3）利用上述规律，求式子$府1。+5廿2。+5廿3。++sin2880+sin289°^j{fi.

题型十二方位角问题

45.（2025九年级•山东青岛•学业考试）如图，已知3港口位于A观测点东偏北67。（即NZM3=67。）方向,

且8至ljA观测点正东方向的距离3。长为46海里,一艘货轮从3港口以40海里/h的速度沿ZABC=45°的

8C方向航行.现测得货轮C处位于4观测点东偏北82。（即NDAC=82。）方向.求此时货轮C到之间

的最短距离（精确到0.1海里）.（参考数据：sin67°«0.92,COS675«039,tan67。之2.36,sin82°«0.99,

cos82°«0.14,tan82°»7.12,sinl5°«0.26,cos15°«0.97,tan15°«0.27)

46.（24-25八年级下•重庆铜梁・期末）如图，A,B,C,D,E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便

游客游玩，沿湖修建了健身步道，在丛。之间修了一座桥.B,。在A的正东方向，。在8的正南方向，

且在。的南偏西60。方向，后在A的北偏东45。方向，且在。的北偏西30。方向，A4=100米，。七=400米.（参

考数据：收。1.4，6=1.7,#=2.5)

C

⑴求8。的长度（结果保留根号）；

（2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点。，甲选择的路线为：A-3-C-。，乙选择的路线为：A-E-O.请

计算说明谁选择的路线较近？

47.（25-26九年级上•江苏南通・月考）如图，A,B,C,。在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域8处

时，收到指令要分别途经海上观测点4和。，并最终到达C处执行任务、3在观测点A的西北方向且在观

测点。的西南方向100人海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地。在观测点A的北偏东30。方

向且在观测点。的北偏东60。方向（参考数据：＞/2«1.41,^«1.73）

⑴求AC的距离（结果保留根号）.

⑵观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点。出发沿OC往

。处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到。处的距离是甲巡逻

艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离。处多少海里（结果保留整数）？

48.（25-26九年级上•重庆渝北•月考）因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是

他们打算从剧院人处返回到学校。处，如图，学校C在剧院人的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西60。

方向前进600m到达商店8购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店8出发，沿北偏东45。方向行走

至学校G小学从剧院A出发，沿二匕偏东45。方向行走至江湖菜馆。，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西75。.方

向到学校C.（参考数据：41»1.41,73«1.73,^«2.45）

（1）求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）；

⑵已知小数的平均速度为25mzmin，小学的平均速度为30m/min,请通过计算说明小数和小学谁先到达学

校C.通过计算说明（结果保留小数点后一位）.

题型十三仰俯角问题

49.（25-26九年级匚湖南邵阳•月考）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无

人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A史测得无人机

的仰角为3（）。，当工作人员沿正前方向划行60米到达8处，测得无人机的仰角为45。，求无人机离湖面的高

AB

50.（25-26九年级上•安徽宿州•月考）某校数学社团准备测量一栋大楼8c的高度.如图所示，其中观景平

台斜坡OE的长是20米，坡角为37。，斜坡OE底部。与大楼底端C的距离CO为74米，与地面垂直的

路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角歪42.6。.试求大楼8C的高度.（参考数据:

34317339

sin37°«-,cos37°«-,tan37°«-,sin42.6°«—,cos42.6°«—,tan42.6°«—）

554254510

51.（25-26九年级上•辽宁丹东•期末）项目式学习

项目主题：无人机撒播种子研究

项目背景：在农业种植技术研究中，针对一些复杂地形，使用无人机播撒种子高效、便捷，同时可以避免

农民直接进入到危险复杂的地形中，有利于增强种植的安全性.

建立模型：无人机从点A的正上方点C,沿正东方向以4m/s的速度飞行15s到达点。，测得A的俯角为60。,

然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点占,测得点8的俯先为37。.

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；

（2）求48的长度（结果精确至Ulm）.（参考数据：/37。。0.6。工、37。°0£0/加37。=0%，6.1.73）

52.（25-26九年级上•宁夏银川•期末）扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体

由大运塔和博物馆主体两部分组成.周末西西和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，

想知道它的高度.于是西西走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37。，向前走了30米至点尸处，测得此

时塔尖A的仰角是45。，已知西西的眼睛离地面高度是L2米，请聪明的你帮她求出塔A8的高度.（参考数

343

据：sin37°«—,cos37°*—,tan370*—)

题型十四坡度坡比问题

53.（25-26九年级上•浙江温州•月考）为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区

间测速.如图，电子眼位于点。处，离水平地面8。的高度尸。为4米，区间测速的起点为引桥坡面点4处,

此时电子眼的俯角为10。：区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53。（4,B,P,Q四

点在同一平面）.

⑴求水平路段BQ的长.（精确到Im）

⑵已知测速路段"坡比i=l：4,如果该路段限速30千米〃卜时（即8；米/秒），某汽车用时03秒匀速通过

4432

测速路段A8,该汽车是否超速？（参考数据：lan530=§,sin53°«-,cos53°«-,tan!0°«-,

sin10°«0.17,cos100»0.98,而。4.12）

54.（2024・河南周口•二模）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一

次测量探究活动.如图，大楼的顶部竖有一块广告牌C。，同学们在山坡的坡脚4处测得广告牌底部。的仰

角为53。，沿坡面AA向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45。，已知山坡的坡度i=l：6,AB=10

米，AE=24米，求广告牌C。的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：V2«I.4H

l434

6=1.73,sin53°«—,cos530*-,tan530%~)

。

口

口

□口

口

口

55.（25-26九年级上•陕西西安•月考）如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出

发前学习相关知识并做了爬山攻略.他们所爬的山海拔高度为1680米，点A,B,C,M在同一平面内.爬

山方案（一）：直接爬到山顶.方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点4处，A8的坡角为30。,

然后乘坐缆车从点8处到达山顶点。处，缆车的轨道与水平面的夹角为53。.小勇和组员共有6人，其中有

3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念.

距离山脚水平面的高度是多少?

（2）已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点3处乘坐登山缆车到达山顶

点C处大约需要多少分钟?（结果精确到0.1分钟）（参考数据：51153。=0.8,cos53°«0.6,tan53°«1.33）

56.（24-25九年级下•贵州铜仁•月考）王强同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知

识测量河对岸大树A3的高度.他在点。处测得大树顶端A的仰角为45。，再从点。出发沿斜坡走2m到达

斜坡上。点，在点。处测得树顶端A的仰角为3（）。，若斜坡。尸的坡比为i=l:3（点E,C,4在同一水平

线上）.

⑴求王强同学从点C到点。的过程中上升的高度;

（2）求大树AA的高度（结果保留根号）.

题型十五三角函数综合

57.（25-26九年级上•山东聊城・月考）阅读下列材料：如图1,在VA8C中，/A,NB,NC的对边分别

为……求证：总二就

证明：过点C作COJLA8于点。.

sin",

ba

/.C7)=Z?sinA,CD=as\nB,

根据上面的材料解决卜.列问题:

⑴皿图2,在VMC中'4'/B,«的对边分别为b,c.求证：—=—

（2）为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化，已知

4=67。,NB=53。，AC=160米，求这片区域的面积.（结果保留根号.参考数据:sin53°»0.8,sin67°«0.9）

⑶你能直接写出图2中VA8C的面积吗？（用。，。，。及角的锐角三角比表示）

58.（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个

三角形叫做“等高底''三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.

（1）概念理解：如图I,在正方形｛BCD中，点月是AO边上一点，连接BE、CE,求证：BCE是等高底三

角形.

（2）问题探究：如图2,VABC是“等岛•底”三角形，4。是“等底”，且A4=4C,A。是4C边上的岛•，求tan/朋。

的值.

59.（24-25九年级上•山东烟台・期末）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点3

处发出，经水面点E折射到池底点A处.已知班•与水平线的夹角a=369。，点A到水面的距离AC=1.50m,

点A处水深为1.20m,到池壁的水平距离A。=2.90m,点8,C。在同一条竖直线上，所有点都在同一竖

直平面内.记入射角为夕，折射角为九求器的值（精确到。』，参考数据：sin36A。,，8s36Ao.8。,

tan36.9°«0.75).

池底

60.（25-26九年级上川|西运城•期中）阅读材料，问答问题:

小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1,在RlZXABC中，如果NC=90344=30。,

BC=a=\,AC=b=6,AB=c=2,那么."，=."=2.

sinAsinB

通过上网查阅资料，他又知‘飞皿90。=1"，因此他得到“在含30。集的直角三角形中，存在着一

sinAsinBsinC

的关系.”

这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

请判断此时“的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由；

sinAsinBsinC

（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角VABC,上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究:

如图3,在锐角VA8C中，RC=a,AC=b,AB=c.

过点。作8_!,人2于D.

•・•在RtADC和RtjBQC中，ZADC=ZBDC=90°,

sinA-,sinB=.

,a_b

••一______，一_______・

sinAsinB

.a_b

••—・

sinAsinB

hc

同理，过点4作AH」AC于可证「二

sinBsinC

.abc

••―•

sinAsinBsinC

请将上面的过程补充完整.

（3）如图4,在V/WC中，如果N8=60。，NC=45。，48=2,那么AC=.

2能力培优练

1.（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，在矩形A3CO中，E,尸是AB边上

的二等分点，连接CK,。F相交于点G,连接，G.若A/3-6,BC-4,贝ijtan"。"的值是（）

r3厢2

V.------D.

103

2.（2025・四川绵阳•中考真题）如图，在正方形ABCO中，点E在8C的延长线上，点?是CO的中点，连接

Q并延长交A。于点G,连接8F,8GA8=4C£=4,则tanNE8G=()

r26

D.2

5

3.（25-26九年级上•山东日照•月考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高

空测量距离和角度.某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔A8的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平

地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22。，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N,测得潮汐

塔底端3的俯角为45。（点M,N,A,4在同一平面内），则潮汐塔A3的高度为（）m.（结果精确到1m.参

考数据：sin22°«0.37.cos22°a0.93.tan22°a0.4（））

A.41mB.42mC.43mD.77m

4.（24-25九年级上•河南平顶山•期末）如图，将V48C放在每个小正方形的边长均为1的网格中，A,B,

C都在格点上，则tan4的值是（）.

I巫

C3

3-D.

2

5.（25-26九年级上•甘肃酒泉•月考）在中，ZC=90°,A8=3,sinB=-,那么AC的长是.

6.（25-26九年级上•山东滨州•月考）海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一.在一次综

合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距

水平地面84m的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为45。，底端B的俯角为63。，则测得海丰塔的高度是一

m.（参考数据：tan630*2）

C

7.（25-26九年级上•山东烟台・期中）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A,B,C,。，E均在LMBN

的边上，贝ijcos”的值为.

8.（25-26九年级上•全国•期末）如图，在VA4C中，A4=4,47=26，点。是丫入4。内一点，连接A。,

BD,CD,且比＞_1_8,过点。作OE2AO交A8于点E,若NZW?=NO&7=30°,则VADE的面积

为.

9.1安徽省宣城市皖东南初中四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题)现有一台红外线理

疗灯(如图I所示)，该设备的主体由底座A3、立柱BC、伸缩杆CO和灯臂OE组成，A、B、C三点在同

一直线上，图2是该设备的平面示意图.AC垂直于A/,A厂与水平线/平行，C。与/的夹角为Nl,DE与

/的夹角为N2.经测量：AB为12cm,BC为26cm,DE为30cm,ZfiCD=154°,ZCDE=63°.

(I)填空：Zl=。，N2=。：

⑵已知点七到A/的距离EM为5M7?时，该设备使用效果最佳.求此时伸缩杆CO的长度.(参考数据:

sin260=0.44,cos26°=0.90,sin370=0.60,cos37°=0.80)

oo

1().(25-26九年级上•江苏南通•月考)(I)计算:3tan300-tan45+2sin60;

(2)如图，在RtZ\A3C中，ZC=90°,AC=6,BC=E解这个直角三角形.

11.(25-26九年级匕吉林长春・期末)图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为

格点,V48C的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕

迹.

图①图②图③

2

(1)在图①中的BC边上确定一点0,连接A。，使得tan/D48=§；

(2)在图②中的AC边上确定一点E,连接用T,使得cosNE8C=也;

(3)在图③中的4C边上确定一点尸，连接防，使得sinNMC=g.

12.（25-26九年级上•海南僻州・期末）数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下:

项目设计遮阳棚前挡板

脩州受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时

间长.我方某景点的游客服务中心为了方便旅游f，峰期间游客遮

阳，在服务窗口外安装了遮阳棚如图所示，结果;发现旅游高峰期

正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到

2.94m宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（1也挡板垂直了地

素材面），抽象模型如图1,现在要计算所需前挡板石9的宽度.

,前挡板

1rl:厂,彳

?，游客服务中心

=94m

图1

实践小组实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，遮阳篷

A8的长为4m,其与墙面的夹角Z/MO=80°,其靠墙端离地面的

高度4。为4m.如图3,通过实地勘察：该服务窗口在每年的旅

游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角NCMN）

约为60。：加装前挡板BC后，此时服务窗口前恰好有2.94m宽

测量数据的阴影DW,如图3所示.