2026届新高考数学考前冲刺最后一课三角形中的最值问题探究

2026届新高考数学考前冲刺最后一课三角形中的最值问题探究

【解析】

C

【答案】玉

【解析】

【答案】B

【解析】

2

【解析】

4目标1与正切相关

1【解析】

【答案】A

【解析】

1

【答案】B

三角恒等变换经常遇到“弦化切”的转换，并通过“弦化切”构造正切函数之间的方程，或和、或积、或倒数和等关系实现问题减元，进而利用基本不等式或函数单调性求最值是常用策略．变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a不是最大边．

若a2－b2＝2bcsinA，则tanA－9tanB的最小值是_______．【解析】

【答案】－2

目标2与边的平方相关

(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．已知a＝4，2S＝a2－(b－c)2，则△ABC周长的最大值为__________．2【解析】

【解析】

2

余弦定理与边的平方相关，边的齐次分式可化为正弦函数比值，即在有边的平方的三角函数最值问题中，常利用余弦定理、正弦定理并结合基本不等式求解．此外，借助面积公式将问题转化为三角函数最值也是常用的策略，在特定的情况下还可使用一些二级结论进行求解(如外森比克不等式)．变式2

(1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的三边长，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为_______．【解析】

【解析】

【答案】(1，7)

目标3与轨迹相关

3【解析】

【解析】

3

【答案】AC当三角形的边角关系满足圆锥曲线定义时，可建立平面直角坐标系，确定三角形顶点轨迹，结合圆锥曲线的方程与性质解决三角形中的某些最值问题．

【解析】

A组基础必会——过关训练1．(2025·萍乡一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

csinA＝acosC．(1)求角C的大小；【解答】

1．(2025·萍乡一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

csinA＝acosC．(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解析】

【答案】C

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】ACD

【解析】

【解析】

【解析】

10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanAtanB＝(2tanA－tanB)tanC．若b＝2，则当角B取最大值时，△ABC的面积是_______．【解析】

【解析】

【解析】

【答案】C

【解析】

【答案】C

【解析】

【答案】B

【解析】

C

【解析】

【答案】A

【解析】

【答案】C7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，则△ABC面积的最大值是______．【解析】

128．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3－cosA)sinB＝sinA(1＋cosB)，a＋c＝6，则△ABC面积的最大值为_______．【解析】

【解析】

【解析】

等边三角形

【解析】

12．(2025·德州下学期开学考)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2＝2a2－2b2，则A－B的最大值为______．【解析】

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，两式相减得2(a2－b2)＝2c(acosB－bcosA)．因为c2＝2a2－2b2，所以c＝2(acosB－bcosA)，由正弦定理得sinC＝2(sinA·cosB－sinBcosA)，即sin(A＋B)＝2(sinAcosB－sinBcosA)，所以sinAcosB＋sinBcosA＝2(sinAcosB－sinBcosA)，则sin