陕西咸阳市2026届高考模拟检测数学试题二（试卷+解析）

咸阳市2026年高考模拟检测（二）

数学试题

注意事项：

1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.

4,作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.

5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知i，z=4+3i,则z的虚部为（）

A.4B.-4C.4iD.-4i

2.己知全集0=也集合4=卜|国<5},B={x\x>2}t则4U（q，8）=（）

C.{x\x<2^!Hx>5]{x|-5<x<2}

3.若双曲线与=1（。>0/>0）的一个焦点到两渐近线的距离之和为。，则该双曲线的寓心率为

也D.6

.2

4.己知a,B,，是三个不同的平面，相，〃是两条不同的直线，且=6fV=〃，则

“allp”是“加〃〃”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

5.窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2,图2是该窗花

的几何示意图形，则万.而二（）

E

图2

A.-V2B.c.-2V2D——4JI

6.一组数据1,2,2,3,5,8,10,11,13,15的第80百分位数为。，从这组数据中随机取两个数，这

两个数都小于。的概率为（)

21428

A.——B.C.—D.—

452545

7.V月BC内角4,B,C所对边分别为。，b,，若csinA=JJacosC，c=2c，ab=4,则

a+b的值为（）

A.2B.6C.4D.8

8.已知”=e°」,/)=1-In,c=1.1,则()

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知点尸（为，”）在抛物线。：丁=4”上，尸为其焦点，则（）

A,抛物线C的准线方程为x=TB.尸的坐标为（2,0）

C.若先=2,则|PF|二2D.\PF\>\

10.如图所示，在正方体力BCD-44GA中，点E是棱cq上的一个动点（不包括端点），平面

交棱/同于点F，则下列说法正确的是（）

A.存在点E.使得ND尸8为百角

B.对于任意点E,都有直线4G〃平面BE"产

C.对于任意点E,都有平面/qCJ•平面3EQ尸

D.三棱锥B「BD｝F的体积为定值

11.将函数/（力=sincox+—（口＞0）图象向右平移r个单位长度得到g（x）图象，若

I6J2a）

f（x\

产a）=/（x）g"），，（人）=二],则下列说法正确的是（）

A.当69=1,XG0彳时，值域为

B.若“（X）图象关于点；1,0对称，则◎的最小值为1

13J

（TryI

C.若b（x）W〃-对于任意实数%都成立，则0的最小值为：

7T7T（4

D.若，（x）在一7戛上单调递增,则。的取值范围为0,-

44/XJ

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知曲线/（x）=lnx—W在点（1J0））处的切线与直线x+3y—2=0平行，则〃=.

JC

13.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：

ab4/1则次的值为

=ad-hc.已知｛4｝是各项为正的等比数列，，是其前〃项和，若5.=0,

cd%1*

14.已知a〉0,若对于任意xs[L3],不等式e'+202c+恒成立，则〃的取值

范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛4｝,也｝都是等差数列，公差分别为4，d2t数列｛6｝满足％=%+3勾.

（1）证明：数列｛g｝是等差数列；

（2）若4=7,"=-2,4=-4,d2=2,设4“=」一，求数列｛4｝的前〃项和S”.

CC2]

16.2026年央视马年春晚节目《武BOT》将传统武术与现代科技完美融合，“人机共武”完成了棍术攻

防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也

体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻转体完成后，稳准落地让人震撼.研究人员将机器

人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概

率均为09在落地环节，机器人的表现存在差异：若空翻转体完成，则稳准落地的概率为08若空翻转

体未完成，则稳准落地的概率为0』.在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响.

(1)如果随机抽取3个机器人，记X为完成空翻转体的机器人人数，求X的分布列及数学期望；

(2)如果随机抽取一个机器人，已知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率.

17.如图1,在等腰梯形45CO中，AB//CD,EFLAB,CF=EF=2DF=2,AE=3,将四边

形,4石五。沿£尸进行折叠，使力。到达位置，且平面4。户EJ_平面,连接D'C

(如图2).

图1图2

(1)求证：平面4EB//平面OFC；

(2)求平面44。'与平面夹角的余弦值；

(3)若C,E,F,OC四点在一个球面上，求这个球的体积.

22

18.已知椭圆C：二+与7.〉/,〉。)的两焦点分别是片，鸟，左顶点为N(-2,0),M是椭圆。上

a~b~

任意一点，的周长为4+2JL

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)动圆。的圆心坐标为(0,2),过点N作圆。的两条切线，分别交椭I员IC于P、。两点，P、。两点

与N不重合，若直线MP、N。为斜率分别为刈、k2,求证：k,k2=1；

(3)设存在斜率的直线/与椭圆C交于力，8两点(不是左右顶点)，若以线段力B为直径的圆经过点

N,试判断直线48是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.

19.已知函数/'(X)=sin(cx)+hu-ax,g(x)=ev-ax-Z)sinr(a,/),c€R),

(1)当c=0时，讨论/(x)的单调性；

（2）当c=§时，试求出正整数〃的最小值，使/‘（X）存在唯一的极值点;

22

（3）若g（x）在（0,+动上有零点,求证：a+b>—

2

咸阳市2026年高考模拟检测（二）

数学试题

注意事项：

1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.

4,作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.

5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知i，z=4+3i,则z的虚部为（）

A.4B.-4C.4iD.-4i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算可得z=3-4i,进而可得虚部.

4+3i

【详解】因为i-z=4+3i,则z==3-4i,

i

所以z=3—4i的虚部为-4.

故选：B.

2.已知全集。=R,集合4=卜|，区5},B={x\x>2}t则4U（Q，8）=（）

A.B.{小<5}

C.{x|x«2,必25}D.{x|-5<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式求得z,进而求得q4,根据集合的并集运算，即可求得答案.

【详解】依题意，^={x|-5<x<5},Cl：B={x\x<2},故彳U（Q.8）={x|x«5}.

故选:A.

3.若双曲线三-%>=1(a>0/>())的一个焦点到两渐近线的距离之和为明则该双曲线的离心率为

()

A.-B.3C.@D.6

422^

【答案】C

【解析】

【分析】由点到直线的距离公式计算点到渐近线的距离，再化简得到离心率的值.

则可(w,o),渐近线方程为/=±2工,

\bc\

则焦点K到两渐近线的距离之和d=2/。,

>Ja-+b~

结合。2=/+从化简得o=二25,

a24

故离心率©=正.

2

4.已知a,B,7是三个不同的平面，加，〃是两条不同的直线，且an，=/〃，0C\y=n,则

“aup”是“m//n”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】由any=w,p[}y=n,若a/〃?，由面面平行的性质知：〃“/〃，

所以“a〃尸”是“m//n”的充分条件；

由。07=〃?，£07=〃，若〃〃/〃，则。〃尸或a与夕相交，

所以“a〃夕”是“m//n”的不必要条件.

则“all/3w是“ni//n”的充分不必要条件.

5.窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2,图2是该窗花

的几何示意图形，则方.丽=（）

-—固―'FE

AB

图1图2

A.—^2B.-2C.—2^2D.—40

【答案】C

【解析】

【详解】•・•任意凸多边形的外角和都等于360。，

360°

・•・Z^J//=180°--=135°,

8

••・画二|画=2,

・••方•丽=|而、而卜osN"〃=2x2x--=-2>/2.

\/

6.一组数据1,2,2,3,5,8,10,11,13,15的第80百分位数为a,从这组数据中随机取两个数，这

两个数都小于。的概率为（）

【答案】D

【解析】

【详解】这组数据共有10个，所以10x80%=8,

所以第80百分位数是第8项和第9项数据的平均值：Q=U©=12,

2

8£7

小于12的数据有8个，所以尸=条二音朱二名.

C10lux-45

2x1

7.V4BC内角4,B,C所对边分别为。，b,c,若csin/1=JJacosC，c=2a,ah=A,则

a+b的值为（）

A.2B.6C.4D.8

【答案】B

【解析】

【详解】在V/l8c中，由csiM=JJocosC及正弦定理，得sinCsiM=JJsin4cosC，

而sin4>0,则tanC=JJ，又0<C<兀，因此C=1,而c=2巫,。6=4,

由余弦定理得24=。2=。2+〃-2。/7cosc=（。+8）2—3。b=（〃+力）2—12,

所以Q+Z）=6.

8.已知Q=e°/，/?=1-In,c=1.1,则（）

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】构造/（力=«*一工-1,x>0,可知/（X）在（0,+x）内单调递增，结合函数单调性比较大小即

可.

【详解】构造/（x）=e'-x-l,x>0,则/'（x）=e、-l>0,

可知/（x）在（0,+e）内单调递增，

因为/（0.1）>/（0）=0,可得芭」一1.1〉0,即所以。>。，

又因为/（lnl.l）>/（0）=0,可得1.1-In1.1-1>0,

Kijl.l>l+lnl.l=l-ln—,所以c>6,

综上所述：a>c>b

*

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.己知点「（%,%））在抛物线C：/=4x±,产为其焦点，则（）

A.抛物线C的准线方程为x=-lB.尸的坐标为（2,0）

C.若%=2,则归可=2D.|PF|>1

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C,由抛

物线的性质判断D.

【详解】抛物线/=4x的焦点坐标为（1,0）,准线方程是x=-1,A正确，B错误，

由点。（%,%）在抛物线72=4x上，可得y；=4xO,

若%=2,则％=|尸尸|=/+1=1+1=2,故附|=2,

抛物线上的点P到焦点F的距离「可=%+1,又飞之0,

因此|P目21,当且仅当玉）二。时取等号

10.如图所示，在正方体力8CQ-4"G"中，点£是棱CC］上的一个动点（不包括端点），平面BER

交棱彳4于点F,则下列说法正确的是（）

A.存在点七，使得/。尸8为直角

B.对于任意点E,都有直线4G〃平面8E

C.对于任意点E,都有平面/&C1平面BE"产

D,三棱锥B「BDyF的体积为定值

【答案】CD

【解析】

【分析】先证明GE=4b，对于A：假设NAq为直角，结合线面垂直判定定理证明4/1.平面

推出矛盾即可判断：B：根据线面平行的性质证明/G//E77,推出矛盾即可判断：C：证明

4口_1平面/片。，再由面面垂直判定定理证明结论即可判断；D：先证明点尸到平面的距离为定

值，由体积公式可判断即可.

【详解】因为平面488///平面。CGR，

平面ABB.A,c平面BED、F=BF,平面DCCQ、c平面BED.F=D1E,

所以3”//。山，乂AB//D\G，山都为锐角，

所以/ABE=/C1D]E,又AB=C]D「/FAB=/ECR=三,

2

所以“"三△G0£，故C[E=4F,

对于A,若/。F3为直角，则W7，。]/7,

因为_L平面4,u平面,

所以ADJ.8F,又。尸,彳。相交，。尸，力。u平面力。。4,

所以JL平面力。。4，又从1J_平面4。。第1,

与过点B有且只有一条直线与平面ADDM垂直矛盾，故A错误；

对于B,连接4G，则平面4CG4n平面8E。尸二石/，

若,4。"/平面尸，且力Qu平面力CG4,则力。"/所，

又AF/iC、E,4F=C、E,故四边形力产。石为平行四边形，

故,4。卜所相交，矛盾，故B错误;

对干C,连接力4，AC,B©,BDi，

由.4B_L平面3CG4，4。（=平面8。。£,得45_L8C，

由ECC4为正方形，易知Bq工B】C,

因为/8C8G=8,u平面/8CQ1,，8C_L平面48GA,

•.,BD、u平面ABCQ[,B]C1BDX,同理可证ABy1BDX,

vAByc,4B[,B[Cu平面AB}C,

BDi1平面AB、C,又BD]u平面BED.F,

平面43C_L平面8EZ）E，故C正确；

对于D,•/AA}//BB],AA}a平面BBR,BB】u平面BBR,

：.44〃平面"Q,

所以点F到平面BBQ、的距离为定值，乂48坊j的面积为定值，

二•三棱锥F-BBR的体积为定值，

故三楂锥4-8乌尸的体积为定值，D正确.

11.将函数/。）=痴（3+?]（回＞0）图象向右平移三个单位长度得到g（x）图象，若

f(\

F(x)=/(x)g(x),H(x)=一汴x，则下列说法正确的足()

g⑴

A.当o=1,xe0,—时，月⑺值域为

6

B.若〃(x)图象关于点对称，则口的最小值为1

\I

C.若尸(X)二尸5对于任意实数人都成立，则少的最小值为:

\^73

，兀兀、(4

D.若，(x)在一二,二上单调递增，则。的取值范围为0,-

I44JI3.

【答案】BCD

【解析】

【分析】当①=1,化简可得”(xhlsmbx+g),根据正弦型函数性质计算可判断A；化简可得

〃3=tanOX+：,根据正切函数性质计算可判断B：由题意可知/仔二b(x)max，列式计算可判

断C；根据正切函数性质列不等式计算可判断D.

【详解】对于A,当0=1,/(j)=sin|x+

将函数/(x)图象向右平移•^个单位得g(x)=/x-g=sin^x-j=cosx+.)的图象,

=-sinf2x+-l

所以爪x)=/(x)g(x)=

2I3J

又工£。，刍，—2x4--<—,所以立Wsin2.r+—1<1,

L6j3332I3J

匚G】G,1.(r71^1，所以/(x)值域为f

所以——<—sm2x+—<—故A错误;

42I3)2

对干B,由题意得g(x)=/「-共.71

=sincox+——

I6

sin(ox+—

/\/(x)6J兀

所以Hx二一4:=tan5+—,

g(x)k6J

COSCDX+-

l6

因为H（x）图象关于点|T，oJ对称,ll«I加兀ATT.r

所以一。-1—=—,k€Z,

362

%k1

得①二------JGZ,又。>0,所以0的最小值为1,故B正确；

22

对于C,由B得尸(x)=/(x)g(x)=sin(<yx+jcos(j=—sin(Icox+y

又因为尸⑺"用,所以尸传卜尸⑺”

TtTlTI\

所以2。乂一十—=24兀+—,女£2,解得。二一十4七〃wZ,

4323

又3》0・所以。的最小值为故C正确：

对干D,由B知〃（x）=tan十二，

\6J

71兀、”，Tl71717171

因为xe所以1—co+-<COX+-<-co+—

9466469

TI7171

——69+—>——

又“（X）在（-苦J上单调递增，所以,4624

,解得0＜。工一,

7171,713

—69+—<—

462

所以。的取值范围为（0,g,故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知曲线/（x）=hLt-W在点处的切线与直线）十3沙-2=0平行，则a-

工

2

【答案】

【解析】

【详解】由/（x）=lnx—［求导得/'（x）=g+?,则/'⑴=1+2%

因为函数/（X）的图像在x=l处的切线与直线工+3N一2二0平行，

ii2

所以/'(1)=一可，即1+2。=一三，解得。=一可.

•X7。

13.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：

cd=ad-bc.已知｛%｝是各项为正的等比数列，S”是其前〃项和，若Jro’则？的值为

【答案】|

4

【解析】

4/1

【详解】由题意可得।=4%-1—lq=O,即4%=%，

%1

设等比数列｛%｝的公比为夕(夕〉0),

./_%_1

..q————,

为4

1

:.q=一,

2

.(if4)

・•・邑二尸二]”2=]+LW.

S?q(l-g-)44

1-夕

14.已知〃>0,若对于任意xw[l,3],不等式e*《2百(0?+工-1)42/卜2+1)恒成立，则〃的取值

范围为.

【答案】

【解析】

【分析】将原不等式拆分为左右两个独立的不等式，对于拆分后的每个不等式，将参数。分离出来，转化

为。之/(八)或。48(工)在xe[l,3]上恒成立的形式，因此利用导数法求函数/*)、g(x)在区间[1,3]的最

值即可

【详解】左侧不等式：et+2<2e2(ax2+x-l),整理得吐字2

2x2

e'—2.x+2(x—2)(e'+2)

设/(x)=,xw[l,3]，求导得/'(x)=

2x22x3

当工£口,2)时，/(x)单调递减;

当工«2,3]时，/'(x)>0,/*)单调递增

/⑴的最大值在端点处取得，经计算川)="⑶二得哼

/(工)最大值为/'(1)=:，故

乙乙

22r2

右侧不等式：2e(ax+x-l)<2e(e+l),整理得：a<

设式工)=色则ex-2-x+\(x-2)|^(e2+l)ev-2+1

,xe[l,3]»求导得g")

当xw[l,2)时,g\x)<0,g(x)单调递减;

当工w(2,3]时,g\x)>0,g(x)单调递增

22

g(x)最小值在x=2处：g(2)=—e,故QWe.

ee~

综上，。的取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛%｝,但｝都是等差数列,公差分别为4，人，数列｛%｝满足%=勺+3".

(1)证明：数列｛生｝是等差数列；

(2)若q=7,4=-2,4=-4,4=2,设4=」一，求数列｛4｝的前〃项和S〃.

【答案】(1)证明见解析

⑵S.二

【解析】

【分析】(1)根据等差数列的定义，证明数列为等差数列即可；

(2)根据等差数列的概念，求出数列通项公式，根据裂项求和法，求出结果即可.

【小问1详解】

因为C”=册+3b”,C"]=〃向+3%,

所以4+1-C”=（%+|+32+J-（%+3%）=（。向一%）+3（"+「“）=4+3d2,

所以数列｛qj是以％+3&为首项，4+34为公差的等差数列.

【小问2详解】

因为q=7,b]=-2,&=一4,4=2,

所以%=7-6+(/?-1)(-4+2x3)=2/7-1,

1=11_______

所以4=(2〃-1)(2〃+1)2(2〃-12/7+1)

c卢向

1(111...-!---

所以s〃=5。一+一++

3352n-\2/7+1)212/z+lJ2〃+1

16.2026年央视马年春晚节目《武BOT》将传统武术与现代科技完美融合，“人机共武”完成了棍术攻

防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也

体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻转体完成后，稳准落地让人震撼.研究人员将机器

人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概

率均为（）.9；在落地环节，机器人的表现存在差异：若空翻转体完成，则稳准落地的概率为08若空翻转

体未完成，则稳准落地的概率为Q.1.在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响.

（1）如果随机抽取3个机器人，记X为完成空翻转体的机相人人数，求X的分布列及数学期望；

（2）如果随机抽取一个机器人，已知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率.

【答案】（1）X的分布列为：

X0123

P0.0010.0270.2430.729

数学期望为2.7（2）—

【解析】

【分析】（1）分析可知万~4（3,0.9）,利用二项分布求分布列和期望即可；

（2）设相应事件，利用全概率公式可得。（8）=0.73,结合条件概率公式运算求解.

【小问1详解】

由题意可知：X~4（3,0.9）,则有：

P(%=O)=C；x0.9°x(l-0.9)?=0.001；

P(X=1)=C；x0.9'x(l-0.9)2=0.027；

P[X=2)=C；x0.92x(l-0.9)'=0.243：

P(X=3)=C；x0.93x(l-0.9)°=0.729；

则X的分布列为：

X0123

P0.0010.0270.2430.729

数学期望为E（X）=3XO.9=2.7.

【小问2详解】

设事件力为“一个机器人空翻转体完成”，事件8为“一个机器人稳准落地”.

则P（4）=0.9,Pp）=0.1,P（8|4）=0.8,P（5|7）=0.1,

由全概率公式可得:尸（B）=P（4）P（BM）+P（7）P（3|可=0.9x0.8+0.1x0.1=0.73,

0.9x0.8_72

0.73-73,

17.如图I,在等腰梯形力4CO中，ABHCD,EFLAB,CF=EF=2DF=2,AE=3,将四边

形.4£7吸沿K尸进行折叠,使4D到达位置,且平面HORE_L平面AC在，连接.>C

(如图2),

图1图2

（1）求证：平面WEN//平面。'尸C；

（2）求平面44。与平面比T。'夹角的余弦值；

（3）若C,E,F,四点在一个球面上，求这个球的体积.

【答案】（1）证明见解析

5^/123

123

9

（3）一兀

2

【解析】

【分析】（1）利用线面平行的判定及面面平行的性质推理得证.

（2）以尸为原点建立空间直角坐标系，求出平面44。与平面84。'的法向量，利用面面角的向量法求

解.

（3）根据给定条件，结合（2）中信息构造长方体，由此求出球的直径，进而求出球的体枳.

【小问1详解】

依题意，AEHD'F,才£（2平面。下。，Q'Fu平面。下C,

则4E//平面。户C,乂BEIICF,8£仁平面。下C,Bu平面。'FC,

则BE//平面。'FC,又AEcBE=E,*E,BEu平面AEB,

所以平面0E8//平面Q'FC.

【小问2详解】

由四边形为等腰梯形，AB//CD,EFA.AB,得EFtCD,D'FLEF,

又平面AD'FE1平面BCFE,平面A'D'FE口平面BCFE=EF,DlFu平面AD'FE,

则DN_L平面8c在1,直线户口尸瓦五。两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系尸-不立，

点.4(3,2,0),5(-4,2,0),4(0,2,3),。'(0,0,1),

得到Z7=(-3,0,3),~AD'=(-3,-2,1),5^=(4,一2,1)，所二(4,0,3),

设平面AA'D'的法向量为m=(再，必,Z]),

Z?w=-3x+3z1=0一

则＜一，取再=1,得加=(1,一1,1),

•历二一3七一2乂+4=0

设平面BA'D'的法向量为〃=(超,%*2),

BA'n=4x,+3z,=0_

则＜一-~，取々=3,得〃=(3,4,—4).

,

BDn=4x2-2y2-i-z2=0

\m-n\_5_5J123

因此|cos〈〃?,〃〉|=

而||3I•同一123

所以平面AA'D'与平面BAD'夹角的余弦值为生叵.

123

【小问3详解】

点C,E,£Q'四点在一个球面上,

由（2）得该球可看成是以厂CM,心,分别为长、宽、高的长方体的外接球，

因此该外接球的直径为Ji?+2?+2?=3,

4439

所以所求球的体积为V=-TtR3=-兀（-）3=-7T.

22

18.已知椭圆C：鼻+2r=1（〃>6>0）的两焦点分别是小6，左顶点为N（—2,0）,“是椭圆C上

任意一点，8的周长为4+2JT

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）动圆。的圆心坐标为（0,2）,过点N作圆。的两条切线，分别交椭圆。于P、。两点，P、。两点

与N不重合，若直线NP、N0的斜率分别为勺、k2,求证：k}k2=1；

（3）设存在斜率的直线/与椭圆。交于力，8两点（不是左右顶点），若以线段43为直径的圆经过点

N,试判断直线46是否恒过定点，若是，求出该定点坐标：若不是，说明理由.

丫2

【答案】（1）—+/=1

4.

，6、

（2）证明见解析（3）是，一〒0

【解析】

【分析】（1）根据顶点和椭圆的定义分别求出。1,再求出〃可得椭圆方程.

（2）设切线方程，根据点到直线的距离等于半径建立关于斜率的方程，最后用韦达定理可解.

（3）先设直线方程和两点坐标，将条件转化为向量法.福=0,最后用联立方程，用韦达定理化简求出机N

的关系等式，即可确定定点.

【小问1详解】

因为椭圆。左顶点为N（—2,0）,所以。=2,

的周长为4+26，则2Q+2c=4+2c=4+2jJ，所以c=JJ,所以力=1,

椭圆C的标准方程为—+v2=l.

4.

【小问2详解】

易知过点N的圆。的切线斜率存在，则设切线的方程为y=k（x+2）,动圆。的半径为广（厂＞0）,

卜2+2勺

由已知得厂＜|。乂|=2近，化简得（4一户一8%+4—户=0,

VF+7

当r=2时，过点N的两条切线的方程分别为歹=0,工=-2,与条件矛盾;

当r=2时.，尢和〃2是方程（4-/）/-8%+4-r=0的两根，

由韦达定理知，用2=1.

【小问3详解】

设直线/的方程为y=〃?x+r,

X~2

联立，z+j’一消去y可得（4加2+1卜2+8m戊+4〃-4=0,

y=nix+1

A=64,后2_4（4/+1）（4*—4）=64/7?2一⑹？+16＞0,设/（玉,弘），8（々,外），

则用,%是方程（4〃?2+1）/+8，〃江+4/-4=0的两个根，

-Smt4/一4

所以$+x=

24m2+1…2=E

因为以为直径的圆经过点N,所以福.福=0,

又NA=（X+2,必），NB=（x2+2,y2）,

所以为工2+2（再+工2）+4+以%=0,①

又必、2=(〃历+')(〃7工+')二〃/玉工2+〃"(玉+工2)+产，

所以必为=必忙叫一刎匕+/)—田.

'咫4/w2+14/+14//+1

一8〃〃4r2-4t2-4m2、公―

将工j+x,=-；----,x.x=——-——，必乃二——代742入①式，

-4/+1'234〃/+1124/+1

可得5/一16〃"+12〃/=0，解得，=4加或，=2m，

当用=0时，直线/的方程为y=0,与已知矛盾，所以〃2工0：

当1=£〃？时，直线/的方程为y=m1+—£=机x+-,直线/过定点一三,0；

当1=2加时，直线)的方程为y=/nx+2m=m(x+2),直线/过定点(-2,0),矛盾.

所以直线/恒过定点

\7

19.已知函数/(x)=sin(以)+限一以，g(x)=ex-ax-bs\nx(a,b,ceR).

(1)当°=0时-，讨论/(x)的单调性；

(2)当时，试求出正整数。的最小值，使/(x)存在唯一的极值点；

22

(3)若g(x)在(0,+8)上有零点，求证：a+h>—.

【答案】(1)答案见解析

(2)2(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)通过求导分析/'(X)的符号，结合。不同的取值范围，判断了(口的单调区间;

（2）先通过代入最小的正整数即。=1,验证不满足“唯一极值点”，再代入。=2,通过分析。（x）的

单调性与零点唯一性，即可确定。=2是满足条件的最小值；

（3）将函数零点转化为直线方程，利用点到直线的距离公式结合导数放缩，把/+/与函数最值关联,

从而证明不等式.

【小问1详解】

当c=0时，函数〃工）=欣—ox,其定义域为（0,+巧，求导得*

X

当“40时,/'（切＞0在（0,+叼上恒成立