2026高三数学讲义：导数中的函数构造问题

3.3导数中的函数构造问题

会根据已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式等问题.

母键能力提升互动探究•考点新讲一

考点1通过导数的运算法则构造函数

命题角度1利用/(x)与V，构造函数

［例1］设函数/(x)是奇函数仆)(x£R)的导函数,/(-1)=0,当x>0时，叭x)一©vO,

则不等式./(x)v()的解集为(B)

A.(一8,-I)U(0,I)

B.(-1,O)U(1,+oo)

C.(-8,-1)U(-1,0)

D.(0,1)U(1,+oo)

【解析】设ax)/'),x#0,则k(x)=叶㈤；.因为当x>0时，xf(A-)-Xx)<0,所

XX2

以当x>0时，9(x)0,即广(x)在(0,+8)上单调递减.由于仆0是奇•函数，所以尸(一%)='—不

—X

Jx)=Rx),义产(x)的定义域为(一8,o)u(o,+8),关于原点对称，所以尸(X)是偶函数，

X

所以5(x)在(一8,0)上单训递增.又/(［)=-/(-1)=0,所以当XV-1或X>1时，2x)="")vo；

X

当一1VXVO或0<丫<1时，F(x)=/)>0,所以当一1<x<0或x>1时，危)<0，即不等式儿》)<0的

X

解集为(-1,O)U(1,+8).故选B.

命题角度2利用人工)与旷构造函数

【例2】(多选)已知人制是定义在(-8,+8)上的函数，导函数/(X)满足/(x)V/(x)

对于x£R恒成立，则(AC)

A..A2)<e2A0)B.,A2)>e2/(0)

C.e2A-D>ADD.e2A-l)</ll)

e/，Cv)e7(Y)

【解析】构造尸a)=/)，则广⑴='7="刈一/)，又导函数f(x)满足r(x)

ere2re'

</x),则k(x)VO,凡x)在R上是减函数，故"二”>'?>/(?>'?,所以*2)Ve2/(0),e汉一

e“e°ee-

1)>川).故选AC.

命题角度3利用/(x)与sinx,cosx构造函数

【例3】已知定义在3,2J上的函数«r),/(x)是(丫)的导函数，且恒有cosx〃xj+sin

x：/(x)vO成立，则有(C)

A.I3>2月

B.3Ml

C.ia>3©

D.2[23』：)

[解析】令g(x)="),X'2],则g'(x)=15'/℃5,11"以)，因为cosx/(x)+

COSXcos-x

网g]…一♦fl

sinx-Ax)<0,所以g'a)〈0,则g(x)=♦八1在I2J上单调递减，所以JJ,,即

c°sxcosncosncos”

346

世国故同3£1E>3月故选C.

222

T规律总结

1.利用兀0与炉构造函数

(1)如果题目中出现协力+M(x)的形式，可构造函数尸a)=x7W.

(2)如果题目中出现MU)一〃/(x)的形式，可构造函数P(x)/“).

Xn

2.利用/(x)与构造函数

(1)对于/8)+/次外>0(或V0),构造函数4r)=e"?x).

(2)对于八x)一〃/(x)>0(或V0),构造函数方(刈=/).

e,n

3.利用一)与sinx,cosx构造函数

(1)若F(x)=/(x)sinx,则F(x)=/(x)sinx+/(x)cosx.

⑵若尸。)=/)，贝i]尸(》)J(x)smx?(x)cosx

sinxsin2x

(3)若F(x)=J(x)cosx,则E'(x)=/(x)cosx—/(x)sinx.

(4)若F(x)=/⑴，则尸(x)=[⑶‘osx?(x)sinx

COSXCOS2X

【对点训练I](1)已知/(x)是函数/(x)(x£R)的导函数，且VxER,f(x)>2x,/(2)=5,

则不等式/(用><+1的解集为(B)

A.(一8,2)B.(2,+8)

C.(一8,2)D.(2,+8)

解析：设g(x)=/(x)—H,则gG)=/(x)—2。0,所以g(x)在R上单调递增.又火2)=5,

所以g(2)=/(2)—22=l,不等式儿》>r+1,即火力一炉>1,即g(x)>g(2),所以x>2,即不等式

儿1)>/+1的解集为Q,+8).故选B.

(2)已知函数/(x)及其导函数/(x)的定义域均为R,火。)=0且/(x)+/(x)>0,则不等式/(./

+4工-5)>0的解集为(A)

A.(一8,-5)U(1,+8)

B.(-8,-1)U(5,+8)

C.(一5,1)

D.(-1,5)

解析：设g(x)=eyw，则g'(x)=e'[G)+/‘(刈>0,故g(x)在R上单调递增.又g(O)=e°/(O)

=0,故./滓+4》-5)>0可绊■化为ex2+4x-5/(x2+4A—5)>0,即8(/+4%—5)>*0).由*x)在R

上单调递增可得/+4.丫-5>0,解得x<-5或x>l,即不等式/(x2+4x-5)>0的解集为(一8,

-5)U(1,+8).故选A.

(3)设大制是定义在(一心())U(0,兀)上的奇函数，其导函数为/(x),且当xG(0,兀)时,/(x)sinr

yGlsinx的解集为

—/(x)cosX<0,则关于X的不等式｛丫)<2,

解析：令时)=曲，日一兀，())5(),兀)，则如)」'(加二/«3》,...当go,n)

sinxsin~x

时，/(x)siiir—/(x)cosx<0,

:,在(0,7i)上，g\x)<0,/.函数g(x)在(0,兀)上单调递减.,・？=/(》)，尸sinx均是奇画数,

・'.函数g(x)是偶函数，；・函数g(x)在(一X0)上单调递增.当x£(0,7C)时，sinx>0,则不等

可化为)£)JG),A^<x<7t;当x£(一冗，0)时，sinx<0,则

式/(.v)<2/l6jsinxA<’北，即g(x)S

sinxsin6

6

小，即g(x)>g(bl

H.可化为人不>=H)

不等式./w<z人6jsinx71

sinxsin兀

si。6sin6,

・•.一7tq■<().综上，可得不等式的解集为〔一6'JuL*J.

6

考点2通过变量构造具体函数

【例4】已知x,y为正实数，lnx+lny=l-x,则(C)

y

A.x>yB.x<y

C.x~\~y>1D.x+yVl

【解析】由lnx+lny=l-x,得Inx+x=-lny+1=ln\构造函数/(x)=lnx+x,

yyyy

x>0,则八x)=l+l>0,可知/(x)=hix+x在(0,+8)上递增.结合lnx+x=ln1得x

xyy

=、即中=1,因为x>0,y>0,由基本不等式可知x+j22xy=2,当且仅当x=y=l时等

y

号成立，所以x+y>l.故选C.

/规律总结k

若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,

即可构造函数，并利用函数的单调性求解.

【对点训练2】(2024•陕西安康模拟)若0<内<也<1，则(C)

A.e'叶lnxi>e"+ln、2

B.e"4-Inx\<e41nx2

c.X2e">xie」？

x.-T2

D.也e<xie

解析：设(工)=(/—Inx,x>0,则[(x)=c'—[令/“工)=(/—Lx>0,则〃(x)=c，+!>O

x'xx2

恒成立，即1在定义域（0,+8）上单调递增，且NeJ=ec—e<0,f（l）=e—1>0,因

x

P，11

此在区间lcJ上必然存在唯一xo,使得/（xo）=O,・•・当je（o,xo）时/（X）单调递减，当xE（xo,

1）时段）单调递增，故A,B均错误;令g（x）=e,则g'Q）=当0<x<l时，g'(i)vo,

xx-

e*1

、CT/

・・・g(x)在区间(0,1)上为减函数，•••OvxiVQVl,・••一>—,即42eXne\故c正确，

11

D错误.故选C.

考点3通过数值构造具体函数

【例5】（2024•沏南益阳三模）若。=21n1.1,6=0.21,c=tan0.21,则(D)

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【解析】〃=21n1.1=In112=In(1+0.21).设A(x)=tan工一x,0<x<^,则力'(x)=

cosxcosx—(-sinx)sinJT,1，八“4I。，।乂mi,工•，,,、

\—1=—1>0,所以力(x)=tanx—x在I2j上单词速增，所以力。)

COS2Xcos-x

=tanx—x>〃(0)=0,用)tanx>x,0<xv7t.令/(x)=x—In(1+.6,0<工〈尤，则/(工)=1—*=">0,

221+x1+x

所以/(x)=x-ln(l+x)在卜'2)上单调递增，所以/(x)=x-ln(l+x)M0)=0,即x>ln(l+x),

xe[0,2],所以tanx>x>ln(1+x),%e(0,2),从而当x=0.21时，tan0.21>0.21>ln1.21,即

q<b<c.故选D.

"规律总结

当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或

两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利月函数的单调性比较大小.

【对点训练3]已知a=ln6,8=1,《=%,则(A)

567

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

解析：设/(x)=lnx—x+l,x£(0,1),则所以凡丫)单调递增，又41)=0,

X

所以/(x)vO,即lnxa-1,所以心5〈一1,所以一出5>1,即旧6>1,所以江设〃(X)=(1一

666656

x)ev,xe(0,1),则1(x)=-xe'V0,所以力(x)单调递减，所以力(工)<A(0)=1,即1,故

I-X

117111

e7<i=，即e7V,所以b>c,所以“>/>>(?.故选A.

।—1676

7

课时作业19

目基础巩固.

1.(5分)已知定义在R上的函数次幻的导函数为f(x),/(0)=1,且对任意的x满足/(x)</(x),

则不等式/U)>e'的解集是(B)

A.(一8,1)B.(一8,0)

C.(0,+8)D.(1,+8)

解析：令仪工)={"，则^所以鼠幻在R上单调递减.因

evelrev

为/(O)=1,所以g(0)=1,不等式/(A-)>cr可变形为"x)>1,即g(x)>g(O),可得A<0.故选B.

ex

2.(5分)函数/(X)的定义域为R,/1)=2,对任意x£R,/(x)>2,则/(X)>2Y+4的

解集为(B)

A.(-1,1)B.(-1,+8)

C.(—8,—1)D.(—8,+co)

解析：令g(x)=/")一2丫一4,则g(x)=/(x)—2>0,，g(x)为R上的增函数.又乱一1)=

,A-l)-2X(-l)-4=0,,\Z(x)>2x+4等价于蚁x)>g(—1)=0,解得工>一1.故选B.

3.(5分)已知定义在(0,+8)上的函数/(》)的导函数为/(x),若且的，(外+

1>0,则下列式子中一定成立的是(C)

A.y0>3B.yO>7t

C./(Iog2e)>ln2D./(In3)<logje

解析：因为当x>0时，xy(x)+l>0,可得八x)+!>0,令g(x)=/(x)-L可得g'(x)=/(x)

X-X

+1>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增.因为火1)=],可得g(])=*i)­1=0.对于A,由

』3)<g(l),即/J一30,可得yL)XJ<g⑴,即XJ

1<3,所以A不正确：对于B,由/一兀<0,

可得人力<兀，所以B不正确；对于C,由g(log2e)>g(l),即/(logze)—In2>0,可得/(Iog2e)>ln

2,所以C正确；对于D,由鼠In3Ag(1),即/(In3)—.>0,可得/(hi3)>log3e,所以D不

In3

正确.故选C.

4.(5分)已知定义在R上的函数/(x)的导函数为八x),对于任意的实数x都有卢)=

./(-X)

c2r,且x>0时，，(x)次r).若“=川)，力=川口2),c=3/("3),则a,h,c的大小关系是

e2

(C)

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.c>b>a

解析：令g(x),对于任意的实数x都有=e2,J力=兀“)，即g(-A-)=g(.r)=»g(A-)

cv火一x)e-vev

为偶函数.a=g(l),6=g(ln2),c=g(—In3)=g(ln3),当x>0时，/(x)》(x),则gr(x)=

/㈤一火力,故当x>0时，烈r)为增函数.又0v]n2vlvln3,・・・g(ln3)>g(l)>g(ln2),即0Ab.

e'

故选C.

5.(5分)已知/(x)是定义在R上的函数/(X)的导函数，且/(x)一寸(x)>0,则a=)2),b

=%e),c=)3)的大小关系为(B)

e3

A.b<a<cB.c<b<a

C.a<b<cD.c<a<h

解析：令g(x)=/a)(.v>0),则g'(x)=火幻，因为小)-^(.r)>0,所以g(X)=

xx2

〃(x)：_/(x)vO,所以g(x)在(()，+8)上单调递减.因为()<2<e<3,所以g(2)>g(e)>g(3),所以

火2)4)«),所以故选B.

2c3

x

6.(5分)若xwC'",a=2fb=sinx,c=x,则。，b,c的大小关系为(D)

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

解析：令/(x)=x-sinx,x£(0,1),«'J/(x)=1-cosx>0,所以«x)在(0,1)上单调递增,

/1]f7111

所以火工)力(())=(),即Qsinx在(0,1)上恒成立，则在[6'J上恒成立.又当x£16'J时，

。=2»2°=1,c=x<\t所〃心.故选D.

7.(5分)若L<b<l,则(C)

e

A.力“<a"B.

C.ah<aa<bh<baD.ah<bb<cf<tfl

11

解析：因为y=°vleJ在R上单调递减，且<a<b<1,所以ae>aa>ab>a.E)为y="leJ

e

在R上单调递减，且L“vXl,所以.令仆)=xlnJe"<D则/V)=lnx+1,因

c

为l〃vl,所以/\x)>0,所以/(x)在［'1上单调递增.因为1<中6<1,所以/(a)v/(6),所以。

CC

Ina<bInb,所以In^<ln牝所以aa<b\所以〃<«"<//<〃.故选C.

8.(5分)设a=l+lnl.O3,c=1.03,则(B)

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

解析：设g(x)=ln(x+l)—x(x>0),则g'(x)=-1=；当xK)时，g'(x)<0,即g(x)

x+(1x+1

在。+8)上单调递减，故g(x)<g(o)=o,故ln(x+g,所以In1.030.03,所以1+ln1.03<1

+0.03,即”<c.因为湃。3>1,所以I£VL03,即b<c.构造函数/)=l+ln(l+x)」+。典"(x)

eM)3eY

i

=+r,当x>0时，/k)>0,/(x)单调递增，所以/(0.D3)》0)=0,即a>b.故选B.

1+xer

9.(6分)(多选)已知函数人工)及其导函数/(x)的定义域均是(0,十8),.‘=2是仆)的

唯一零点，且(x+l*(x)勺(x),则(AB)

A.2025/(2023)>2024^2024)

B../(1)>0

C.2026/(2024)<2025/(2025)

D./(3)>0

解析：令如-)=/*,则尸(x)="+""")「")，由题意知(x+l)/'(x)矶r),所以尸(x)v(),

x+1(x+I)2

即%)在(0,+8)上单调递减，所以A2023)"024)火2024)/2025)故、正确，c错误.又

2024202520252026

x=2是儿:)的唯一零点，所以尸(2)=0,又向(x)在(0,+8)上单调递减，所以少(1)=?)>0,

b(3)/3)<(),即小)>(),八3)<(),故B正确，D错误.故选AB.

4

10.(6分)(多选)奇函数.危)满足对于任意(0,2］有/(x)sinx+/(x)cosx>0,其中

/(X)为人工)的导函数，则下列不等式成立的是(ABC)

-3「MJ

B.3此月

c.J1-B)

D.卜工8

(07t

解析：设g(x)=/(x)sinx,则g'(x)=/(x)sinx+/(x)cosx>0,所以函数g(x)在I'2J上单调

递增，且g(-x)=/(-x)sin(—x)=X.v)sinx=g(x),所以函数g(x)是偶函数，则g[3)=

以©,即卜北卜)吐”.3卜；盛),故A正确;

:>£)sin:，所以3A以2,故B正确:「3£以：1即£)sin：>yM)sin卜2,

3-64

即2，：)>-卜2,故C正确:g卜工gt)<g"),即.「北」-：)<思抽；,即-

J-JvJJ,故D错误.故选ABC.

11.(6分)(多选)已知函数/(》)的导函数为/(x),对任意的正数x,都满足f(x)<xf(x)<2/(x)

-2.x,则下列结论正确的是(BCD)

A.火l)v〃UB.川)〈)2)

C.川)</-2D.川)%)+1

解析：设以幻=/*%>0),则g，(x)=M'a)：/b)>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，由

XX2

欧l)>gLJ得｛1故A错误；由g(1)<g(2)得/(1)〈*2),故B正确；设僦外=，*「2%>0),

则/冷=『°)-2]“二网)-2Al2丫=切(工)一[2')-2幻<0,所以贴)在©+8)上单调递减,

X4xi

由h[\]<hQJ得/(1)<4/0—2,故C正确；由/?(1)>人(2)得J”)>，(2)+1,故D正确.故选BCD.

12.(5分)已知奇函数於)及其导函数的定义域均为R,义2)=3,当x>0时，MG)

+/(x)>0,则使不等式玳理>6成立的x的取侑范围是(一8,—2)U(2,+8).

解析：因为当x>0时，M(x)+/(x)>0,所以[欢切X),令尸(劝=欢工),则尸(x)析,方⑴在

(0,+8)上单调递增.因为/(x)是奇函数，所以/(幻=一次一外，所以产(一刈=

(-x)/(-x)=~x[-f(x)]=x/(x)=F(x),所以月(x)是偶函数，图象关于)，轴对称.因为<2)

=3,所以F(2)=〃(2)=6,所以尸(一2)=6,大致图象如图.

所以使M(x)>6成立的x的取值范围是(一8,—2)U(2,+°°).

11

13.(5分)(2024•广东东莞三模)若〃=2,b=e-c=而，贝Ua,b,c的大小关系为

a<c<b.

解析：lna=ln2=hn2,In/)='ine,Inc=冗.令儿丫)=""(戈>0),则［(戈)=1

2eitxx2

由/(x)>0,得04«e,由/㈤<0,得x>e,・•・/(X)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

；•In8=Inc是4x)的最大值，而Ina—Ine=Un2—In丸=In4—In兀<0,a<c,则

C271471

14.(22分)已知函数.儿丫)及其导函数/(x)的定义域均为(-2'2),且/(x)为偶函数，若

x20时，且［J=2,求不等式/(x)v1的解集.

cosJ

07fl

x)sinx

解：因为当