人教版九年级数学下册相似三角形专项讲义：综合探究

综合探究1圆与相似综合(一)双割图

(2025福建中考改编)如图.四边形ABCD内接于。O,AD,BC的延长线相交于点E,AC.BD相交于点F.G是AB

上一点GD交AC于点H且AB=AC、BG=DG.

(I)求证：UABC=UDBE+UE;

(2)求证：AH2=HFHC;

(3府宾=李/。=2。七,3倔求匚/G//0勺周长.

oCL

综合探究2圆与相似综合(二)单切图

(2025云南中考)如图,。0是五边形ABCDE的外接圆.BD是。0的直径.连接AC.BECE,且AEC=ACF.

⑴若CE=CB,且口。5=60，求匚BCE的度数;

(2)求证:直线CF是。。的切线；

(3探究，发现与证明：已知AC平分□族£是否存在常数a,b,使等式JC2=^CnC£+bABAE成立?若存

在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式Ad=aB8CE+bABME成

立；若不存在，请说明理由.

综合探究3从特殊到一般

【问题提出】

如图LE是菱形ABCD的边BC上一点，匚力以是等腰三角形，AE=EF,CAEF^ABC=a(«>90),AF交CD

于点G.探究UGC尸与a的数量关系.

【问题探究】

（1）先将问题特殊化，如图2,当斫90时，直接写出E1GC用大小；

（2旃探究一般情形，如图1,求匚GCF与a的数量关系；

【问题拓展】

（3照图1特殊化，如图3,当«=120时，若保=；,求径的值.

综合探究4全等与相似

（2025武汉中考）如图.四边形ABCD是正方形点E在边CD上点F在边BC的延长线上，且DE=CF,射线A

E交对角线BD于点G,交线段DF于点H.

⑴求证:DH=GH;（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明〔ADE1CDCF）

⑵求证：AGEH=EGIGH;

⑶若答=〃直接写出笔的值（用含n的式子表示）.

EHDr

备用图

综合探究5模型应用

【问题背景】（1）如图1,已知口4笈。口/1。£,求证：DABD3DACE-

【尝试应用】⑵如图2,在UABC^□力。七中,UBAC=UDAE=^，口力BC=匚力DE=3O,AC与DE相交于点

F.且点D在BC边上、喘=6,求俳勺值；

DUCr

【拓展创」新】⑶如图3,D是［48C内一点，□切0=Z1C&）=30力09048=4,4C=2v5直接写出AD的

长.

A

A

图3

综合探究1圆与相似综合(一)双割图

证明:⑴：AB=AC,

.\ZABC=ZACB.

VZACB=ZADB,

Z.ZABC=ZADB.

VZADB=ZDBE+ZE,

AZABC=ZDBE+ZE;

(2)VBG=DG,

.*.ZABD=ZGDB,

由⑴知NABC=NADB,

VZABC=ZABD+ZDBC,ZADB=ZGDB+ZGDA,

AZDBC=ZGDA.

VZDBC=ZCAD,

AZCAD=ZGDA,

，AH二HD.

VZACD=ZABD,

AZACD=ZGDB.

VZCHD=ZDHF,

.,.△CHD^ADHF,

HD_HC

HF~HD'

IHN=HCUHF,

匚AH^HCHC；

(3)设BC=2k,则AB=^k.

VAD=2DE,

.••可设DE=a，则AD=2a,

AE=AD+DE=3a.

•.*ZADB=ZABC,ZBAD=ZEAB,

BA_AD

•</6k_la

57一派，

••k=a,

ADE=k,AE=3k.

•••西边形ABCD为圆的内接四边形，

AZEDC=ZABC,

VZE=ZE,

•••△EDCsAEBA,

DE_CE

'BE~AEy

k_CE

-CE+2k一项'

匚。炉+2门CE-3d=0,

解得CE=k（CE=-3k舍去）.

,/△EDC^AEBA,

CD_CE

方一族，

%=上

茄_豆，

LAB=3".

由⑵知AH=HD,BG=DG,

AAAGH的周长=AG+GH+AH=AG+GH+HD=AG+GD=AG+GB=4B=3亦.

综合探究2圆与相似综合（二）单切图

解（1）VCE=CB,HZCBE=60°,

・•・ACBE是等边三角形，

匚□"£'=60口；

(2涎长CO交。0于点M,连接EM.

〈CM是。O的直径.

/.ZCEM=90°,

AZAEC+ZAEM=90°.

ZAEM=ZACM,ZAEC=ZACF,

AZACF4-ZACM=90°,

ZMCF=90°,

AOC1CF,

VOC是。O的半径，

工直线CF是。O的切线；

(3存在常数a=l.b=l.使等式JC2=aBCCE+bABAE成立.理由如下:设AC与BE交于点N.

VAC平分NBAE,

AZEAC=ZBAC.

ZEAC=ZEBC,ZBEC=ZBAC,

・•・ZEAC=ZEBC=ZBAC=ZBEC,

.\CE=CB.

ZBCN=ZACB.ZCBE=ZBAC,

/.△BCN^AACB.

BC_CJV

元一而，

[Bd=AC"Nd

*/ZAEN=ZACB,ZEAC=ZBAC,

/.△AEN^AACB,

延="

ids'

，AE.AB二ACAN②.

①+②，得Bd+AE/1fi=/iCnCN+ACAN=AC(CN+AN)=AC2.

VCE=CB,

[A^BCQCE+AB^AE,

:.比时a=1.b=1.

二存在常数a=l.b=l,使等式＞4C2=aBCCE+bABAE成立.

综合探究3从特殊到一般

解⑴如图2中，在BA上截取BJ.使得BJ二BE,连接EJ.

•••西边形ABCD是正方形，

・•・ZB=ZBCD=90°,BA=BC.

VBJ=BE,

AAJ=EC.

VZAEC=ZAEF+ZCEF=ZBAE+ZB,ZAEF=ZB=90°,

.*.ZCFF=ZFAJ,

VEA=EF,

•••△EAJgZXFEC(SAS),

.,.ZAJE=ZECF.

VZBJE=45°,

匚□4/E=180-45=1350,

AZECF=135°,

AZGCF=ZECF-ZECD=I350-9()=45;

(2)结论：口6。尸="-90'.

理由:在AB上截取AN,使AN二EC,连接NE.

VZABC+ZBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180°,ZABC=ZAEF,

.\ZEAN=ZFEC.

VAE=EF,

.*.AANE^AECF(SAS),

AZANE=ZECF.

VAB=BC,

ABN=BE.

VZEBN=a,

□□^VF=90

：.ZGCF=ZECF-ZBCD

=ZANE-ZBCD

=(90u+^/)-(180J-«)

=1a-90;

⑶过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P,设菱形的边长为3m.

lDG1

DG=m,CG=2m.

在RtAADP中，

ZADC=ZABC=120°,

/.NADP=60。，

[PD=|myAP=|V3/??.

□a=120,

由⑵知EIGCF=|a-90a=90

VZAGP=ZFGC,

AAAPG^AFCG,

r—=—

CF~CGy

纪包=2

CF2'

LCF=­m.

J

由⑵知BE=[CF=QI,

[CE=w,

5£=2

CE~3'

综合探究4全等与相似

解⑴：四边形ABCD是正方形,

/.AD=CD,ZADC=ZBCD=ZDCF=90°,ZADB=ZBDC=45°.XDE=CF,

/.△ADE^ADCF(SAS),

/.ZDAE=ZCDF.

VZHDG=NCDF+ZBDC=ZCDF+45°,

NDGH=NDAE+ZADB=ZCDF+45°,

.\ZHDG=ZDGH,

ADH=GH;

(2)由(1)知.NDAE二NCDF,

又•••NDHA:NEHD,

/.△DHA^AEHD,

l-E=H—DE

DHAD'

VAB/7DE,

/.△DGE^ABGA,

又YAD=AB.DH=GH,

EH_EG

港一份

/.AGEH=EGGH;

(3)由(1)得DF=AE,NCDF二NDAE,

由⑵得内=含=〃，

设GE=na厕DH=GH=(n+l)a.

AG=nb,贝！|AH=(n+l)b,

AEH=GH-GE=a,

AE=AG+GE=na+nb,

VAH-AG=GH=(n+l)b-bn=b=(n+l)a,

DH_GH_(n+T)a_("+l)“_〃+l

DFAEna+nb”0+〃(〃+1)。n~+ln'

综合探究5模型应用

解(I)：△ABCs△ADE,

*=《,「84C=匚加及

AUAL

匚匚8心匚。若=当，

ACAE

AAABD^AACE;

(2涟接CE.