第一次数学月考自测卷-2025-2026学年八年级下学期（人教版）解析版

2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

测试范围：八年级下第十九章-第二十章（人教版新版）

第1卷

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。）

I.若式子在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是（）

A.x>1B.x>1C.x>-1D.x>-1

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，列不等式求解，即可解题.

【详解】解：•・•二次根式QT在实数范围内有意义，

・•・被开方数满足％-1工0，

解不等式得XN1.

2.下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A.V3B.J|C.V9D.V12

【答案】A

【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或

因式，逐一判断各选项即可.

【详解】解：A、百是最简二次根式；

B、/的被开方数含分母，不是最简二次根式；

C、打的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3,不是最简二次根式；

D、V12=V43T3=2V3,被开方数含能开得尽方的因数4,不是最简二次根」弋.

故选A.

3.以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.1,1,V2C.6,7,10D.32,42,52

【答案】B

【分析】先求出每个选项中两个较小数的平方和，再求出最大数的平方，比较两个数是否相等，若相

等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形.

【详解】解：选项A：最长边为3,・・・12+22=5,32=9,5。9,・••不能构成直角三角形，不符合

题意.

选项B:最长边为企，・・・12+12=2,（⑨2=2.12+仔=（旬2,能构成直角三角形，符合题

•

选项C：最长边为1（）,・・・62+72=85,102=100,85H100,・••不能构成直角三角形，不符合题

意.

选项D：三边长为3?=9,42=16,52=25,最长边为25,V924-162=337,252=625,337H

625,・••不能构成直角三角形，不符合题意.

4.下列各组根式是同类二次根式的是（）

A.V3WVT8B.我和电

C.仇羽和庐D.拒不I和

【答案】B

【分析】本题考查了同类二次根式.根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断.

【详解】A、V18=3V2,故点和不是同类根式，该选项不符合题意；

B、V8=2>/2,E=故我和£是同类根式，该选项符合题意；

yj2272

C、>Ja2b=\a\Vb,y/ah2=\b\>Ja,故Ja2b4，。产不是同类根式,该选项不符合题意；

D、衍I和GT不是同类根式，该选项不符合题意；

故选：B.

5.下列计算止确的是（）

A.V（-3）2=-3B.（2可=6

C.V2+V3=A/5D.V3x^=V6

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的运算性质，需根据二次根式的化简、乘方、加减、乘法法则逐•判断选

项.

【详解】解：•・・«Z乔=g=3,・・.A选项错误.

V（2V3）=12,・・・B选项错误.

•••鱼与百是不同的最简二次根式，不能合并为若，・・・c选项错误.

*.*V3X\[2=V6,/.D选项正确.

6.如图，在ABC中，^ACB=90°,若正方形4EDC,8C2的面积分别为25,144,则4B的长度为

DG

c

A.13B.169C.119D.VT19

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确宜角三角形的边长的平方印

为相应的正方形的面积.由正方形的面积公式“J'知”2=25,BC2=144,在RSABC中，由勾股定

理得4c2+BC2=AB2,即可得出力B的长.

【详解】解：•.•在Rt△48c中，

由勾股定理得：AC2-^BC2=AB2,而4c2=25,BC2=144,

•••收=25+144=169,

AB=/169=13.

故选：A.

7.《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏.如图，现有一圆柱形

投壶，内部底面直径是10cm,内壁高24cm,若简长36cm,则箭在投壶外面部分的长度可能是（）

A.8cmB.8.5cmC.9cmD.11cm

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理的应用，求出筋在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利

用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键.

【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为36-24=12cm,

最小长度为36-V102+242=36-26=10cm.

故箭在投壶外面部分的长度可能是11cm,

故选：D.

8.如图所示，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（）

A.16V6cm2B.8cm2C.24V6cm2D.（45/6+8）cm2

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键.

根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小

正方形的面积即可得余下部分的面积.

【详解】解：•・•两个小正方形的面积分别为16cm2和24cm2,

两个小正方形的边长分别为4cm和2V6cm.

，大正方形的边长是（4+2V6）cm,

・••大正方形的面积是（4+2V6）=16+16V6+24=40+16V6（cm2）,

・•・余下的面积是40+16V6-16-24=16e（cm?）.

故选:A.

9.如图，当秋千静止时，踏板8离地的垂直高度BE=0.8m,将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=

3m）,踏板离地的垂直高度CF=2.6m,它的绳索始终拉直，则绳索力。的长是（）

A.3.2mB.3.4mC.3.6mD.3.8m

【答案】B

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟冻掌握勾股定理；

设绳索4C的长是xm,-AC-xm,故40-—80,在RtaHDC中，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：设绳索AC的长是％m,则48=4C=%m,

'.'BE=0.8m,CF=DE=2.6m,

：.BD=DE-BE=2.6-0.8=1.8m,

：.AD=AB-BD=(x-1.8)m,

在中，CD=3m,

根据勾股定理，得AD2十C£>2=AC2,

A(r-1.R)2+T=茉2,

解得，x=3.4,

J绳索AC的长是3.4m,

故选：B.

10.一个底面周长为10cm,高为12cm的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底8处，则小虫爬的最短

路径长为（）cm.

A.13B.15C.2闹D.18

【答案】A

【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径.而长方形的

长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果.

【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短.

由题意，得£C=12cm,AC=102=5（cm）,

在山△ABC中，由勾股定理，=\/BC2+AC2=V122+52=13（cm）,

即小虫爬的最短路径长为13cm.

第n卷

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）

11.计算：（V5）=.

【答案】5

【分析】根据(6)2=a(a>0)直接计算得到结果.

2

【详解】解：(«)=5.

12.计算：&x遍+旧=.

【答案】

5百

【详解】解：V2xV6+V27

=V2V6+V27

=712+373

=2V3+3V3

=5V3.

13.如图，直线力且HG=15cm,GI=20cm,HI=25cm,则直线A8与直线CO之间的距离是

_cm.

【答案】12

【分析】本题考杏了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是•掌握卜述知识点并

能运用其来求解.

设直线48与直线CD之间的距离是儿根据勾股定理的逆定理得到AHG/是&△,由题意得，SA”G/=

^xHGxGI=^xHIxh,计算求解即可.

【详解】解：设直线与直线CO之间的距离是九

*：HG=15cm,GI=20cm,HI=25cm,

：,HG2+GI2=HI2,

・•・△HG/是R0

；・SAHG/=^XHGXGI=^xHIxh,

•,HGXGI15X20

••h==12,

Hl25

・•・直线与直线CD之间的距离是12cm,

故答案为：12.

14.如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路/C,行走，直接践踏草坪

沿48行走.为了倡导人们爱声花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留

情”.经过测量得知：A,C两处的距离为12m,B,C两处的距离为5m,则践踏草坪少走的距离仅仅

为m.

【答案】4

【分析】由勾股定理得，AB=yjAC2+BC2=13,根据AC+BC-A从计算求解即可.

【详解】解：-AC=12,BC=5,ZC=90°,

・••由勾股定理得，AB=>/AC2+BC2=13.

：.AC+BC-AB=12+5-13=4.

・••践踏草坪少走的距离为4m.

故答案为：4.

15.小明做数学题时，发现除hg；Pl=2x广鲁3'^=4x.…;按

此规律，若JT^二a・J|（a,b为正整数），则Q-b=.

【答案】-57

【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，数字类规律探索，利用二次根式的性质化简等知

识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解.

通过观察；1'定';式，发现规徐为对于正整数〃，有斤嘉=味［根据此规律，令九=8,求出

。和b的值，进而计算.

【详解】解•：由规律可得：岛二九・^，

当九=8时，式子为产高=8扃，

/.a=8.b=82+1=65,

Aa-ft=8-65=-57,

故答案为：一57.

16.青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法.如图，四

边形4BC。、DEFG、CGH/均为正方形.若正方形/RC。、CGH/的面积分别为45、9,则

AF=_______

【答案】3

【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解EF=

DE=DG=y/CD2-CG2=^=6,证明△4DE三△COG[HL）,可得AE=CG=3,再进一步可得答

案.

【详解】解：：正方形ABC。、CG”/的面积分别为45、9,

：.AD2=CD2=45,CG2=9,乙CGH=900=乙ADC,AD=CD,CG=3,

•・•四边形。£TG为正方形，

:・EF=DE=DG=y/CD2-CG2=V36=6,zE=乙EDG=90°,

•••"GO=ZE=90°,

：,LADECDG（HL）,

：,AE=CG=3,

：.AF=EF-AE=6-3=3.

故答案为：3.

三、解答题（本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）计算：

（1）712+V27-V3；（2）7484-76x72：

【答案】（1）475

（2）673

【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确运用计算法则是正确解决本题的关键.

（1）先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；

（2）先算乘法，再算加减.

【详解】（1）解：原式=2遮+3百一百

=4存

(2)解：原式=4百+26

=66.

18.(1()分)计算：已知x=B+l,y=V3-1,求下列各式的值：

(l)x2+xy+y2；

(2)(y4-x)(y-x).

【答案】(1)10

⑵-4b

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵

活运用是解此题的关键.

(1)由题意可得％+y=2Vlxy=2,再将所求式子变形为(％+y/-xy,整体代入计算即可得

解；

(2)由题意可得x+y=2VLy-x=-2,整体代入计算即可得解.

【详解】(1)解：:x=+1,y=V3—1»

.*.x+y=V3+l+V3-l=20，xy=(V3+1)(75-1)=2

Ax24-xy+y2=(x+y)2—xy=(2x/3)2—2=10：

(2)解：x=V34-1,y=y/3—1,

Ay—x=V3—1—(V34-1)=-2,x+y=2>/5,

(y+x)(y—x)=2>/3x(-2)=-4V3.

19.(10分)如图，在△ABC中，。是AB上一点，连接CD,AD=5,BD=9,CD=12,Z1C=13.

(1)求证：CD1AB；

(2)求BC的长.

【答案】(1)见解析

(2)BC=15

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果•个三角形的三条边

a、b、。满足小+炉=，2,那么这个三角形为直角三角形.在•个直角三角形中，两条直角边分别为

〃、h.斜边为「.那么M+人2=「2

(1)根据勾股定理逆定理证明△力C。为直角三角形，即可得出CD_LAB；

(2)根据勾股定理求出8C=VBD2+CD?=79?+底2=15,即可得出答案.

【详解】(I)证明：-AD=5fCD=12,AC=13,

.'.AD2+CD2=AC2,

・•・△ACD为直角三角形，

•••^.ADC=90%

••・CD1AB,

(2)解：•/CD1AB,BD=9,CD=12,

BC=>JBD2+CD2=V92+122=15.

20.(10分)在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑

轮A,一端拴在滑块8上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块8放置在水平地面的直轨道上，通

过渭块S的左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道_L,物体

C到滑块8的水平距离BC=5cm,物体C到定滑轮A的垂直距离AC=12cm.(实验过程中，绳子始

终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计.)

图1图2

⑴求绳子的总长度；

(2)如图2,若物体。升高2cm至G处，求滑块8向左滑动至B］处的距离.

【答案】⑴25cm

(2)4cm

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

(I)在RtA4C8中利用勾股定理直接计算即可；

(2)由(1)得绳子的总长度为25cm,得到ABi=15cm,在Rt△/C当中利用勾股定理求出当。=

9cm,再利用线段和差即可解答.

【详解】(1)解：由题意得,乙4c8=90。，

.•・在Rt△力AB2=AC2+BC2,

AB=yjAC2+BC2=x/52+122=13cm.

/.4-71C=13+12=25cm.

答：绳子的总长度为25cm.

(2)解：由题意得，CG=2cm,

•••ACi=AC—CCi=12—2=10cm,

由(1)得，绳子的总长度为25cm,

•••ABi=25—z4C[=25-10=15cm>

22

在俎中，ABf=AC-¥BXC.

81c=yjABl-AC2=V152-122=9cm,

:.BBi=B1C-BC=9-5=4cm,

答：滑块8向左滑动的距离为4cm.

21.(10分)若两个含有二次根式的代数式M,N满足M-N=£,其中，是有理数，则称M与N是互为。

相关代数式”.

(1)若M与V5是互为“6相关代数式“，则M=_：

(2)若其中M=a-V5(〃是有理数)，=8+2V5,且M与N是互为。相关代数式”，求。和，的

值.

【答案】(1)2次

(2)a=4,t=22

【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键.

(1)由题意知百M=6,计算求解即可；

(2)由题意知"-乂=(。一西)(8+2遥)=3计算求解即可.

【详解】(1)解•：与V5是互为“6相关代数式”，

vV3M=6.

•*-M=*=2V3：

(2)解：与N是互为”相关代数式”，

:.M•N=(a-75)(8+2V5)=t,

整理得，(2a-8)V5+8a-10=t,

£是有理数，

2a-8=0,8a—10=t,

解得Q=4,t=22.

22.（10分）【问题提出】勾股定理是几何学中•颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石（I）在我国

最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的

直角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c）拼成，用它可以验证勾股定理小+块=/；（2）图2为

美国第二卜任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a,b,斜边为

c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理。2+〃=。2

C

【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为a,b,斜边为c,从上述两种方法中，任选一种方

法证明勾股定理。2+炉=。2：

（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（）；

A.函数思想B.整体思想C.分类讨论思想D.数形结合思想

【知识应用】（3）如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4B,该村

为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（力，W,8在同一条直线上），并新修一条路C/7,现测

得。4=1千米，4B=2.1千米，BC=1.7千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），

求新修路CH的长.

【答案】（1）见解析：（2）D：（3）0.8千米

【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用.

（I）在图I中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子

后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明.

（2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答；

（3）当CH148时，CH最小，能最大限度节省铺路的费用.设AH=x千米，则=AB-AH=

2.1-x（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答.

【详解】解•：（1）根据赵爽弦图进行证明：

TS大正方形=4s三角形+S小正方形'

:.心=4x；ab+（匕-a）2,

Ac2=a2+b2.

根据“总统证法''进行证明:

•S梯形A8CD=SRSADE+SRSCDE+SRSHCE，

1(a+b)(a+b)=[ab+1c2+gab,

/.a2+2ab+b2=c2+2ab,

.*.a24-b2=c2.

(2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想.

故选：D

(3)当148时，CW最小，能最大限度节省铺路的费用.

设4H=x千米，则8”=48—力，=2.1—%(千米)

'：CHLAB,

・••在Rt/kAC”中，CH2=AC2-AH2=12-X2,

在RtaBC”中，CH2=BC2-BH2=1.72-(2.1-x)2,