2027届新高考数学热点精准复习一元二次不等式及其解法

2027届新高考数学热点精准复习一元二次不等式及其解法一2知识梳理知识点一一元二次不等式只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a，b，c均为常数，a≠0)．两相异两相等没有知识点二三个二次之间的关系ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集____________________________________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集______________________{x|x>x2或

x<x1}{x|x∈R且x≠x1}R{x|x1<x<x2}∅∅3．一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从右至左，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正．如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿．归纳拓展1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．4．简单分式不等式的解法双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(

)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(

)[答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×题组二走进教材2．(必修1习题2.3T3改编)设集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|x2－5x＋4>0}，则A∩B＝(

)A．(－∞，1) B．(－∞，3)C．(3，＋∞) D．(4，＋∞)[答案]

D[解析]

A＝{x|x>3}，B＝{x|x>4或x<1}，A∩B＝{x|x>4}，故选D．[答案]

－144．(必修1复习参考题2T6)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.[答案]

[0，4)[解析]当m＝0时，显然成立；当m≠0时，题组三走向考场A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2}C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1}[答案]

C1考点突破·互动探究一元二次不等式的解法——多维探究角度1不含参数的不等式求下列不等式的解集．(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2<6x－10.[解析]

(1)∵Δ＝49>0，∴方程2x2＋5x－3＝0有两个不等的实数根，(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.∵Δ＝12>0，(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，画出函数y＝x2－6x＋10的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集为∅.名师点拨：解一元二次不等式的一般方法和步骤(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系．角度2含参数的不等式解下列关于x的不等式：(1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a<0)；(2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)．[引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？[引申2]若再改为a∈R呢？再增加a＝0情况．[解析]若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.名师点拨：含参数的不等式的求解往往需要分类讨论1．若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．3．解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．4．解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．【变式训练】1．(角度1)不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(

)A．(－2，5)B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)C．(－5，2)D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)[答案]

A[解析]由－x2＋3x＋10>0，得x2－3x－10<0，得(x－5)(x＋2)<0，解得－2<x<5.故选A．2．(角度2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．[解析]原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，三个二次间的关系——师生共研[答案]

ACD(多选题)(2026·安徽合肥模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(

)A．a>0B．a＋b＋c>0C．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}[分析]利用根与系数的关系求解．[答案]

B则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.故选B．一元二次不等式恒(能)成立问题——多维探究角度1恒成立问题[解析]

(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0；所以m的取值范围为(－4，0]．(2)要使f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立，只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1，3])，(3)将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1<0.令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1，1]．不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0名师点拨：一元二次不等式恒成立问题1．一元二次不等式在R上恒成立的条件策略一若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围策略二转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a2．在给定区间上恒成立问题的求解策略3．转移变量解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．(如本例中(3))[答案]

A角度2能成立或有解问题若关于x的不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有实数解，则a的取值范围是(

)A．(－∞，8) B．(－∞，8]名师点拨：一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略1．分离参数法：把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式，只需a>f(x)min或a<f(x)max.2．最值转化法：若f(x)>0在集合A中有解，则函数y＝f(x)在集合A中的最大值大于0；若f(x)<0在集合A中有解，则函数y＝f(x)在集合A中的最小值小于0.3．数形结合法：根据图象列出约束条件求解．4．最后一定要注意检验区间的开闭．【变式训练】1．(角度1)若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为(

)A．(－∞，3) B．(－1，3)C．[－1，3] D．(－1，3][答案]

D[解析]当a＝3时，－4<0恒成立；2．(角度1)(2025·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0，1]恒成立，则有(

)A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4[答案]

A[解析]令f(x)＝x2－4x，x∈(0，1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0，1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A．3．(角度2)(2025·九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)[答案]

A[解析]解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A．解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故选A．4．(角度1)(2026·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围为(

)A．[－1，3] B．(－∞，－1]C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[答案]

D[解析]不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得名师讲坛·素养提升一元二次方程的根的分布情况一元二次方程的根的分布情况多样，比较复杂，常结合二次函数的图象从判别式“Δ”、端点函数值、对称轴三方面入手综合考虑．设二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)对应方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，其根的分布情况如下：根的分布情况x1<x2<mm<x1<x2x1<m<x2图象的大致形状a>0a>0a>0a<0a<0a<0根的分布情况m<x1<x2<nm<x1<n<x2<p只有一根在(m，n)之间图象的大致形状a>0a>0a>0a<0a<0a<0若关于x的一元二次方程(