【高一数学期末】河北石家庄市2023-2024学年高一下学期期末考试数学

2023—2024学年第二学期期末教学质量监测高一数学班级________姓名________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数为纯虚数，则实数（）A． B．4 C．0 D．4或2．样本数据11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的第80百分位数是（）A．18 B．19 C．18.5 D．18或193．某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（）A． B． C． D．4．已知四棱柱的高为3，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）如图所示，其中，，则这个四棱柱的体积为（）A． B． C． D．5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则这个三角形是（）A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形6．在中，，，P是BN上一点，且，则（）A． B． C．0 D．17．河北定州开元寺塔是世界上现存最高的砖木结构古塔（如图），著名古建专家罗哲文誉其为“中华第一塔”．为了测量开元寺塔的高度，一研究小组选取了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A，B，C，分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，示意图如图，则该塔高（）A． B． C． D．8．如图，在正三棱台中，，M，N分别是AB，的中点，则异面直线MN，所成角的余弦值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（）A．若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立B．事件A与事件B可能为对立事件C．若事件A与事件B相互独立，则D．若事件A与事件B互斥，则10．已知向量，，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．的最小值为3C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标是11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A．点P到平面BEF的距离不变B．平面BEF截该正方体所得的截面面积为5C．当点P在线段上运动时，始终有平面D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为________．13．为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个问题，不管答对或者答错，三题答完活动结束．规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能获奖．已知员工甲第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，假设员工甲是否答对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为________．14．在中，，，，M，N分别为AC，AB上的动点（不包括端点），将沿MN折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCMN．若点，B，C，M，N均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知复数，，在复平面内表示的点分别为，，O为坐标原点．（1）若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值；（2）若与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．16．（本小题满分15分）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，．（1）证明：A，B，C三点共线；（2）若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP，求点P的坐标．17．（本小题满分15分）某学校高一年级举办了数学竞赛活动，共有1000名学生参加．从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按，，，，的分组作出频率分布直方图，如图所示．（1）求实数x的值，并估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；（2）现从，两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7人组成数学学习小组，再从这7人中抽取2人作为组长，求至少一名组长来自的概率．18．（本小题满分17分）在如图所示的几何体中，，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，，，点M为AB的中点．（1）证明：平面ABF；（2）证明：平面平面ABF；（3）求直线EM与平面ADE所成角的正弦值．19．（本小题满分17分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求角A；（2）若D为BC边上一点，且满足，，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的取值范围．

2023—2024学年第二学期期末教学质量监测高一数学参考答案题号1234567891011答案BCADACDCACDBDACD1．B解析：复数为纯虚数．所以，解得，故选B．2．C解析：共10个数．已经从小到大排列好，，则第80百分位数是第8个和第9个数的平均数．即18.5．故选C．3．A解析：总体有60个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为，故选A．4．D解析：由于直观图的面积为．所以四边形ABCD的面积为，所以四棱柱的体积是，故选D．5．A解析：由正弦定理可得，化简可得，即，由正弦定理可得，即．所以或．即或，所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形，故选A．6．C解析：，，且，，B，N三点共线，，即，，所以．故选C．7．D解析：设，由在点A，B，C处分别测得塔顶P点的仰角为，，，则，，，在，中，由余弦定理知，，因为A，B，C三点共线．所以，则．解得，故选D．8．C解析：如图所示，连接MC，，取MC的中点P，连接，PB，在正三棱台中，设，由M，N分别是AB，的中点易知．，且，所以四边形是平行四边形．所以，即为异面直线MN，所成角（或其补角），在梯形中，MN为梯形的高，易知，，，即，，在中，易知．所以，即异面直线MN，所成角的余弦值为．故选C．9．ACD解析：对于A，根据相互独立事件的定义易知正确；对于B，对立事件的概率和为1，但．故B错误；对于C，根据相互独立事件的定义，，故C正确；对于D．事件A与事件B互斥，则，故D正确，故选ACD．10．BD解析：对于A，由，．得．由，得．解得，故A错误；对于B．．因此．故B正确；对于C．因为．所以，即，故C错误；对于D，向量在向量上的投影向量为．故D正确．故选BD．11．ACD解析：对于A．易知，平面BEF，平面BEF．所以平面BEF，点P在线段上，所以点P到平面BEF的距离不变，故A正确；对于B，如图1，连接，，易知，．平面BEF截该正方体所得的截面为平面，，．所以易知四边形的面积为，故B错误；对于C．如图2，连接，，易知平面平面．又因为平面．所以始终有平面．故C正确；对于D，如图3．连接，把平面沿展开到平面所在平面，如图4，连接交于点P，此时取得最小值，即最小值为，在中，，．由余弦定理得，，故D正确，故选ACD．图1 图2 图3 图412．解析：由题意可得，，所以复数的共轭复数为．13．解析：员工甲答对两题的概率为．员工甲答对三题的概率为．所以员工获奖的概率为．14．解析：显然M不与A重合，由点，B，C，M，N地在球O的球面上，得B，C，M，N四点共圆，则．又为直角三角形．AB为斜边，则有，如图，将翻折后，，，又平面平面BCMN，平面平面，平面，平面BCMN，于是平面BCMN，平面，显然，BM的中点D，E分别为，四边形BCMN外接圆圆心，则平面，平面BCMN．因此，．取NM的中点F．连接DF，EF，则有，．所以四边形EFDO为平行四边形．设且，，．设球O的半径R．则，当时，，所以球O表面积的最小值为．15．解：（1），因为复数在复平面内对应的点在直线上，所以，解得．所以．所以．（2），，因为与的夹角为锐角，则且两向量不同向，所以，即，即，解得或，当两向量共线且同向时，设且，即，，所以，解得，，所以，综上，实数m的取值范围为．16．解：（1）因为，所以．所以A，B，C三点共线．（2）设点P的坐标为，则，，因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP．所以，即，解得，所以点P的坐标为．17．解：（1）在频率分布直方图中，，解得，结合频率分布直方图，估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数为75分，落在的频率为0.16，的频率为0.3，的频率为0.4．则中位数落在内，设中位数为y，则，解得，即中位数为71分，平均数为（分）（2）按比例分配的分层随机抽样方法．中抽取的人数为，中抽取的人数为．记来自的5人和来自的2人分别为，，，，，，，则所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个，满足题意的有11个，由古典概型知，至少一名组长来自的概率为．18．解：（1）因为，平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，因为是等边三角形，点M为AB的中点，所以，又，BF，平面ABF，所以平而ABF．（2）如图，取AF的中点N，连接EN，MN，因为M，N分别为AB，AF的中点，所以，，又因为，，所以，．所以四边形EDMN为平行四边形，所以，由（1）知平面ABF．所以平面ABF，因为平面AEF．所以平面平面ABF．（3）因为平面ABCD，平而ADE，所以平面平面ADE．又平面平面．过点M作AD的垂线，重足为Q，即，所以平面ADE，连接EQ．所以是直线EM与平面ADE所成的角．易知点Q为AD上靠近点A的四等分点．在中，，则，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以在中，．因为平面ADE，平面ADE，所以，在中，，所以直线EM与平而ADE所成角的正弦值为．19．解：（1）由余弦定理，等式左边，因为．所以，