高等数学教学课件54

二、直接积分法三、不定积分的第一类换元积分法一、不定积分概念第四节不定积分

第五章四、不定积分的第二类换元积分法五、分部积分法六、有理函数的积分七、三角函数有理式的积分八、简单无理函数的积分定义1.函数在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若

可积，则(C为任意常数)例如,记作一、不定积分的概念C

称为积分常数，表示原函数全体，不可省略！从不定积分定义可知:或或利用逆运算思想，直接写出原函数二、直接积分法(1)式表明函数先积分再微分得到的还是原来的函数,而(2)式表明先微分再积分则要增加一个常数!或或不定积分的性质推论:

若则例1.解:求原式=例2.

求解:原式=原式=例3.求解:原式=解:例4.

求原式=例5.

解:例6.解:原式=求求原式=第一类换元法设可导,则有三、不定积分的第一类换元积分法第一类换元法又称“凑微分法”，凑出一个微分：就是在被积函数中解：令则于是例8.

计算解：例7.看作u，直接凑微分计算计算解：例11.计算解：类似例9.例10.计算解：原式原式原式例12.

解:令则想到公式计算原式例13.想到解:(直接凑微分)计算例14.

解:原式=计算例15.

解法1计算解法2同样可证或例9—例13可以作为基本积分公式记住.计算解：例17.计算解：例16.解：例18.计算下列不定积分例18.解：常用的几种凑微分形式:万能凑幂法例19.

计算解法1解法2结果一样！例20.计算下列不定积分:解：例21.计算下列不定积分:解：例22.计算下列不定积分:解：原式例22.计算下列不定积分:解：例23.计算下列不定积分:解：例23.

解：例24.

计算解:原式=例25.

解:分析:

计算原式=例26.

解:计算原式=四、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，设是单调可导函数,且具有原函数,则有换元公式的反函数.例27.计算解：令得于是再将代回，整理得（也可用凑微分法）例28.计算解：希望去掉根号，故令于是原式代回例29.

求解:

令则∴原式原式代回例30.

求解:则∴原式令例31.

求解:则∴原式注:1.被积函数含有除采用三采用双曲代换消去根式,所得结果一致.还可用代换

或角代换外,还可利用公式2.再补充两个常用双曲函数积分公式倒代换例32.解:则当x>0时,t>0,当x<0时,也有相同的结果.计算下列不定积分:故代回(1)令例33.(2)解:令则于是代回（也可用部分分式方法）例34.计算解:令则于是代回（也可用部分分式方法）例35.计算解:因为被积函数中有故可设则于是代回（也可用拆项法做）注:第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第八节讲由导数公式得实际操作程序：(1)v容易求得;容易计算.五、分部积分法移项后凑一个微分dv交换u、v位置例36.解:

令则∴原式同理原式计算例37.

解:

取则∴原式当被积函数是指数函数(或三角函数)与幂函数相乘时，将后者取为u，前者取为v’.幂函数的幂次会降低，故称“降幂法”.如上面两例.由于在运算过程中计算注：例38.计算解：例39.

解:

令则原式=计算例40.计算解：原式=例39和例40给出的是“升幂法”，三角函数)与幂函数相乘时.用在被积函数是对数函数(或反幂函数的幂次会升高.是由于在运算过程中例41.计算解：原式=x=sint解:

,则继续凑微分故注:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.本例及例43是循环法.例42.

计算取例43.计算解:于是将被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例44.

求解:

令则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例45.

计算解:于是

可先用三角函数凑微分例46.

计算解:若凑则做分部积分后不易运算.因此可考虑凑微分于是例47.

解:则得递推公式计算令注:递推公式已知利用递推公式可求得例如,例48.

证:证明递推公式:设注:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,

解出积分后加

C)3)对含自然数n

的积分,通过分部积分建立递推公式.例49.

的一个原函数是求解:若先求出再求积分反而复杂.已知例50.

解法1：令则故计算先换元后分部解法2：直接用分部积分法六、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+既约真分式分解若干部分分式之和设是既约分式，则部分分式中有形式：其中都是待定的常数.例51.

解:

被积函数分解为可以写成为确定A1的值,在等式两边同乘以(x+3),再令x=-3得计算A1=1.为确定A2的值,在等式两边同乘以(x-2),再令x=2,得A2=2.因此例52.

解:在等式两边同乘以x-1，再令x=1,得A=1被积函数分解为可以写成计算

在等式同乘以(x2+1)2,再令x=i得-2i=Di+E，即D=-2，E=0在等式两边同乘以x再令x=∞.得B=-A=-1.

在等式两边令x=0，得-2=-1+C，即C=-1故于是原式=

四种典型部分分式的积分:

变分子为再分项积分例53.

解:问题:提示:变形方法同本例,并利用例47的递推公式.计算原式求例54.求解法1:注:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.由于我们可以把x2看成一个变量,被积函数为两边乘以x4,再令x=0,得D=1;两边乘以x2+1,再令x2=-1得F=1;两边乘以x2,再令x2=∞,得B=-F=-1,于是解法2：于是设解法3：于是设例55.计算解：七、三角函数有理式的积分设表示三角函数有理式,令万能代换转化为t

的有理函数的积分.则则万能代换令例56.解:

令可得计算虽然三角函数有理式的不定积分都可以用万能代换化成有理函数的不定积分，函数的积分往往比较繁，方便的方法来解.例57.计算解：但是得到的有理在很多情