2026届新高考数学考前冲刺最后一课 常见的概率模型

2026届新高考数学考前冲刺最后一课常见的概率模型1．(人A选必三P77练习2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒．如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为 (

)A．0.33 B．0.66C．0.5 D．0.45

【解析】A

【解析】

D

【解析】B4．(人A选必三P80练习2改编)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为______．

【解析】

5．某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X~N(80，25)，如果规定大于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．

【解析】0.158

65正态分布目标1

(1)(2025∙湛江二模)某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(50，4)，现有该新品种草莓10

000个，估计其中单果质量超过52g的草莓有

(

)A．228个 B．456个

C．1587个 D．3174个

【解析】1C

由题意知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，P(X≤a)=0.3，如图，结合P(a≤X≤a＋2)=0.4，得P(X≥a＋2)=0.3，可知a，a＋2关于x=1对称，所以a＋a＋2=2×1，解得a=0.【解析】C解决正态分布问题有三个关键点：①对称轴x=μ；②标准差σ；③分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率；由μ，σ及分布区间的特征，通过转化使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．

(2025∙许昌二模节选)已知某校学生每分钟的跳绳个数X~N(170，100)，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在［170，200］内的人数(结果精确到整数)．

【解答】变式1

超几何分布目标2

(2025∙泰州一模)某校随机调查了100名同学的日运动时间(单位：分钟)，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求该100名同学的平均日运动时间；

由题意得(0.010＋0.020＋a＋0.020＋0.005)×10=1，所以a=0.045，所以该100名同学的平均日运动时间为0.1×55＋0.2×65＋0.45×75＋0.2×85＋0.05×95=74(分钟)．【解答】2

(2025∙泰州一模)某校随机调查了100名同学的日运动时间(单位：分钟)，得到如图所示的频率分布直方图．(2)为进一步调查运动方式，采用分层随机抽样的方式从日运动时间在［50，60)，［60，70)，［80，90)内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在［60，70)内的人数X的分布列和数学期望．2【解答】

X0123P

二项分布目标3

3【解答】

3【解答】

3【解答】

X020406080P

超几何分布与二项分布的联系与区别分布名称超几何分布二项分布试验类型不放回抽样放回抽样试验种数有两种物品有两种结果总体个数有限有限或无限随机变量取值的概率利用排列组合计算利用独立重复试验计算联系当总体N很大时，超几何分布近似二项分布

(2025∙南阳期末)高三(1)班有55名同学，在某次考试中总成绩在650分以上的有4人：甲、乙、丙、丁；在600~650分的有15人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过120分的有10人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申．(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过120分的条件下，总成绩超过650分的概率．变式3

【解答】

(2025∙南阳期末)高三(1)班有55名同学，在某次考试中总成绩在650分以上的有4人：甲、乙、丙、丁；在600~650分的有15人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过120分的有10人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申．(2)从数学成绩超过120分的同学中随机抽取3人．①采取不放回抽样方式抽取，记X为成绩在600~650分的同学的个数，求X的分布列和期望；变式3

【解答】

X0123P

(2025∙南阳期末)高三(1)班有55名同学，在某次考试中总成绩在650分以上的有4人：甲、乙、丙、丁；在600~650分的有15人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过120分的有10人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申．(2)从数学成绩超过120分的同学中随机抽取3人．②采取放回抽样方式抽取，记Y为成绩在600~650分的同学的个数，求E(Y)的值．(直接写出结果)

【解答】变式3

二项分布的最值问题新视角

4－1【解答】

【解答】4－1

【解答】4－2

4－2【解答】

设随机变量X~B(n，p)，若(n＋1)p为整数，则当k0=(n＋1)p－1或k0=(n＋1)p时，P(X=k0)最大；若(n＋1)p不为整数，则当k0=［(n＋1)p］时，P(X=k0)最大．

【解析】

D

【解析】C

因为X~N(μ，σ2)，σ＞0且P(X＜μ＋σ)=p，所以P(X≥μ＋σ)=1－p，根据正态分布曲线的对称性，可得P(X≤μ－σ)=P(X≥μ＋σ)=1－p，所以P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=1－P(X≤μ－σ)－P(X≥μ＋σ)=1－2(1－p)=2p－1.【解析】D4．(2025∙沈阳期中)袋中有大小、形状完全相同的8个白球，4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且Y=2X＋1，则Y的数学期望E(Y)= (

)A．3

B．4

C．5

D．8

【解析】C

【解析】

【答案】BCD6．(多选)(2025∙赣州期末)小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数X~N(27，4)，则 (

)A．μ=27 B．σ=4C．P(X＞33)≈0.0027 D．P(23≤X≤29)≈0.8186

【解析】AD

【解析】

【答案】ACD8．(2025∙南阳期末)某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为______．

【解析】

9．(2025∙福州二模)已知随机变量ξ~N(4，σ2)，若P(ξ≤5)=0.6，则P(3＜ξ＜4)=______．

【解析】0.1

【解析】

【答案】8或911．(2025∙石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数；【解答】

11．(2025∙石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图．(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解青年群体，需要从参加座谈会的年龄在［25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在［25，35)的志愿者人数，求X的分布列及数学期望．【解答】

X0123P

12．(2025∙福州期中)某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．(1)已知某班级的5名学生中，只有甲、乙两位同学体能测试不合格，从这5名学生中抽取两名，记X为抽取的两名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列．【解答】

X012P

【解答】

12．(2025∙福州期中)某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班中每班随机选出5名