等差数列及其通项公式高二下学期数学沪教版选择性必修第一册

4.1.1等差数列及其通项公式教学目标

理解等差数列的概念（重点）01

理解等差数列通项公式的含义（难点）02

掌握等差数列通项公式的推导过程及应用（重点、难点）03

会用等差数列的概念、性质和通项公式解决一些简单问题04等差数列及其通项公式一.数列的概念1.按照一定顺序排成的一列数叫作数列．3.数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．2.数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，……，排在第n位的数叫作数列的第n项，所以数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…简记为{an}．共同特点：（1）1，3，5，7，9（2）15，12，9，6，3（3）48，53，58，63，68（4）8，8，8，8，8发现新知形成概念从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。二等差数列定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写英文字母d表示.数学语言描述：

发现新知形成概念d=2d=-3d=5d=0概念运用1（1）1，3，5，7，9（2）15，12，9，6，3（3）48，53，58，63，68（4）8，8，8，8，8

判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：即an+1-an是不是同一个常数？概念运用2小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：即an+1-an是不是同一个常数？三.等差中项证明：a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b=a＋c

．证明：如果a，b，c成等差数列，由等差数列的定义得b－a=c－b，那么2b=a＋c

．

反过来，如果2b=a＋c，那么b－a=c－b，

由等差数列的定义知，a，b，c成等差数列．因此，a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b=a＋c

．在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M

称为a与b的等差中项．

M

为a与b的等差中项

⟺

2M

=a＋b．思考：能否求出等差数列的通项公式？等差数列1，4，7，10，…中，探索发现不完全归纳1234……100……14710…………=1+1×3=1+2×3=1+3×3=1+99×3=1+(n-1)×3探索发现累加法将这n-1个等式相加可得：

一般地，如果等差数列{an}的首项a1，公差为d，那么该等差数列的通项公式为：an=a1＋(n－1)d．四、等差数列的通项公式

根据等差数列的通项公式，我们可以得到下列数列的通项公式．①25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21．

a1=25，d=-0.5，②15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%．

a1=15.8%，d=2%，③6，10，14，……．

a1=6，d=4，an=25＋(n－1)×(-0.5)=-0.5n＋25.5

an=15.8%＋(n－1)×2%=2n%＋13.8%an=6＋(n－1)×4=4n＋2例1(1)求等差数列8，5，2，…，的第20项。

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？典例分析解：由题意可知解得：课堂评价

例2.在等差数列中,已知,,求.

阅读书P126例2例3：在50到350之间，末位数字是3的自然数个数·。学以致用分析：例4：在-1、7之间插入三个数，使它们顺次构成的数列是等差数列，求插入的三个数·。学以致用分析：解：例5在解决与等差数列有关的数的设法：对称设元法1.如果是三个数成等差数列，可设为2.如果是四个数成等差数列，可设为【归纳总结】等差数列有关的数的设元技巧：课堂评价

例3.书P126.小结：判断或证明等差数列，主要是由定义进行判断：即an+1-an=d03拓展提升ExpansionAndPromotion性质

如果数列{an}、{bn}为等差数列，那么{kan}、{kan+tbn}、{kan-tbn}仍为等差数列．证明：用定义来证明．等差数列的性质五.等差数列的性质练习1已知等差数列{an}中，a6=－24，a30=－48，求{an}的通项公式an．解：记该等差数列{an}的公差为d，则

a6=a1＋(6－1)d=a1＋5d=－24，

a30=a1＋(30－1)d=a1＋29d=－48，两式相减，得

a30－a6=24d=－24，解得d=－1，a1=－19，所以

an=－19＋(n－1)×(－1)=－n－18．

a30－a6=(30－6)d

an－am

=(n－m)d，(n，m∈N+)成立吗？性质

如果数列{an}为等差数列，那么an=am

＋

(n－m)d，(n，m∈N+)

．证明：记等差数列{an}的公差为d，则

an=a1＋(n－1)d，

am=a1＋(m－1)d，两式相减，得

an－am=(n－m)d，即

an=am＋(n－m)d

．等差数列的性质等差数列的性质性质

如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q，（n，m，p，q∈N+）那么an＋

am

=

ap＋

aq．(下标和性质）

特别地，若n＋m=2p，那么

an＋

am

=2ap．证明：记等差数列{an}的公差为d，则

an=a1＋(n－1)d，

am=a1＋(m－1)d，

ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d，所以

an＋am

=2a1＋(n＋m－2)d，

ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d，又

n＋m=p＋q，所以

an＋am

=ap＋aq

．等差数列的性质练习2已知等差数列{an}中，a2＋a6=14，a3=8，求a5．解：因为等差数列{an}中有