棱柱、棱锥和棱台高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥和棱台

学习目标：1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征（数学抽象）.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系（逻辑推理）.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构（直观想象）.

观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.情境导入问题1

观察下列物体，它们有什么特点？提示：可以发现，纸箱、金字塔、茶叶罐、水晶萤石、储物箱等物体有相

同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸

杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们

的面不全是平面图形，有些面是曲面.情境导入空间几何体：若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.知识点一|空间几何体、多面体、旋转体的定义共同特点：围成它们的每个面都是平面多边形.我们把这种由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.共同特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.我们把这种由封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.知识点一|空间几何体、多面体、旋转体的定义由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．两个面的公共边围成多面体的各个多边形棱与棱的公共点知识点一|空间几何体、多面体、旋转体的定义（1）多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分；（2）多面体至少有4个面；（3）各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有以下五种——一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．常见的旋转体知识点一|空间几何体、多面体、旋转体的定义

探究一：分组发放棱柱（三棱柱、四棱柱、六棱柱），引导学生观察底面、侧面、棱的数量及位置关系。完成表格。几何体底面形状侧面形状棱的特点立体图形棱柱两个平行的全等多边形平行四边形侧棱平行且相等知识点二|棱柱的结构特征思考1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？提示：不一定.“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱.

知识点二|棱柱的结构特征思考2：底面是长方形的棱柱一定是长方体吗？棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面.直棱柱：侧棱与底面垂直.知识点二|棱柱的结构特征五棱柱：底面是五边形.斜棱柱：侧棱不垂直于底面.(1)按棱柱底面边数分类:三棱柱，四棱柱，五棱柱......；四棱柱：底面是四边形.三棱柱：底面是三角形.直棱柱：侧棱与底面垂直.直棱柱，斜棱柱；(2)按棱柱底面与侧棱的位置关系分类知识点二|棱柱的结构特征(3)正棱柱:正五棱柱正四棱柱正三棱柱(4)平行六面体:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.知识点二|棱柱的结构特征【例1】

如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？解：

是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.知识点二|棱柱的结构特征（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是

棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用字母表示；如果不是，请说明理由.解：

是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方

部分是四棱柱ABMA1-DCND1.知识点二|棱柱的结构特征【规律方法】辨析棱柱的方法根据棱柱的三个结构特征判定，也可利用等价命题判定：即①有两个面互

相平行（底面）；②所有侧棱互相平行.知识点二|棱柱的结构特征训练1

（1）设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，

Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是（

B

）A.

P⊆N⊆M⊆QB.

Q⊆M⊆N⊆PC.

P⊆M⊆N⊆QD.

Q⊆N⊆M⊆P解析：

根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的

长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方

体}⊆{直四棱柱}.故选B.

B知识点二|棱柱的结构特征（2）〔多选〕下列关于棱柱的说法正确的有（

CD

）A.

所有的面都是平行四边形B.

每一个面都不会是三角形C.

两底面平行，并且各侧棱也平行D.

被平面截成的两部分可以都是棱柱解析：

A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.CD知识点二|棱柱的结构特征

探究二：分组发放棱锥（四棱锥、正三棱锥）模型，引导学生观察底面、侧面、棱的数量及位置关系。完成表格。几何体底面形状侧面形状棱的特点立体图形棱锥知识点三|棱锥的结构特征多边形三角形侧棱交于顶点棱锥棱锥定义一般地，有一个面是

，其余各面都是有一个公共顶点

的

，由这些面所围成的多面体叫做棱锥相关概念棱锥的底面：

面；棱锥的侧面：有公共顶点的各个

面；棱锥的侧棱：相邻侧面的

⁠；棱锥的顶点：各侧面的

⁠

结构特征（1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形；（2）各侧面三角形有一个公共顶点多边形

三角形

知识点三|棱锥的结构特征多边形

三角形

公共边

公共顶点

(1)按棱锥底面边数分类:三棱锥，四棱锥，五棱锥......；五棱锥：底面是五边形.四棱锥：底面是四边形.三棱椎：底面是三角形.三棱锥又叫四面体.(2)正棱锥:底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.知识点三|棱锥的结构特征【例2】

说出图中几何体的名称，并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、侧面、底面及侧棱.解：该几何体为五棱锥；用字母可表示为五棱锥P-ABCDE；顶点为点P，点A，点B，点C，点D，点E；侧面为△PAB，△PBC，△PCD，△PDE，△PAE；底面为五边形ABCDE；侧棱为PA，PB，PC，PD，PE.

知识点三|棱锥的结构特征棱锥的辨析方法（1）直接法（扣定义）：①看面：即观察这个多面体有一个面是多边

形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；②看线：即观察侧棱是否相

交于一点；（2）举反例.知识点三|棱锥的结构特征训练2

（1）〔多选〕下列说法中正确的有（

AB

）A.

棱锥的各个侧面都是三角形B.

四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面C.

棱锥的侧棱平行D.

有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥解析：

由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四

面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以

作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；

棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误.AB知识点三|棱锥的结构特征（2）下列说法中正确的是（

D

）A.

各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B.

各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥C.

各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥D.

底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥D知识点三|棱锥的结构特征解析：

对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长均为侧棱长，C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确.知识点三|棱锥的结构特征问题4

如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的

下部分具有怎样的特点？提示：截得的下部分上、下两个面互相平行且相似，各侧面为梯形.知识点四|棱台的结构特征原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间那部分多面体叫做棱台.定义:底面：侧面：侧棱：顶点：侧面与上下底面的公共顶点.除上下底面以外的其余各面，它们都是梯形；相邻侧面的公共边；表示：棱台用表示上下底面的各顶点的字母表示.例如图中的棱台记作：棱台ABCD-A′B′C′D′.知识点四|棱台的结构特征知识点四|棱台的结构特征(1)按棱台底面边数分类:五棱台：由五棱锥截得的棱台.四棱台：由四棱锥截得的棱台.三棱台：由三棱锥截得的棱台.三棱台，四棱台，五棱台......；(2)正棱台:由正棱锥截得的棱台，上下底面都是正多边形，侧面都是全等的等腰梯形的棱台叫做正棱台.判断一个台体是棱台的依据是：看台体的各侧棱延长是否交于一点.知识点四|棱台的结构特征

提醒：棱柱、棱锥、棱台之间的变化关系为：当棱台的上底面与下底

面相同时，棱台就转化为棱柱；当棱台的上底面收缩为一个点时，棱台就

转化为棱锥.如图所示.知识点四|棱台的结构特征【例3】

下面四个几何体中为棱台的是（

）解析：

A项中的几何体的两个底面不平行，不是棱台；B项中的几何体

是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几何体的棱

AA'，BB'，CC'，DD'的延长线没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台.√知识点四|棱台的结构特征判断棱台的一般思路（1）举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某

些说法不正确；（2）直接法：①定底面，两个互相平行的面，即为底面（两个多边形相

似）；②看侧棱，延长后相交于一点.知识点四|棱台的结构特征训练3

〔多选〕下列选项中，不正确的是（

）A.

用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B.

有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.

有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D.

棱台的侧棱延长后必交于一点√√√解析：A中的平面不一定平行于底面，故A错误；

B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；由棱台的定义知，D正确.知识点四|棱台的结构特征多面体活动1：将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.棱锥四面体棱台直棱柱平行六面体棱柱长方体提能点|合作探究活动2：某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(

)剪开的相邻面在展开图中可以不相邻,但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面,展开后不能相邻.提能点|合作探究√变式1水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是

(

)A．1 B．9C．快