数列放缩的六大技巧-2026高考数学一轮常考题

49.解决数列放缩问题的六大技巧

本篇主要目标是聚焦于数列放缩，常见的方法有六种，具体我将在文中以实例详细说明.

类型1.利用单调性放缩

例1.已知数列｛为;满足％=1,例+1=34+1

（1）设以=凡+，证明：的｝是等比数列，并求出｝的通项公式；

2111

（2）证明：—+7~+,,，+7_<1.

3"b2bn

I1Ai3

解析：（D・・・az=3%+l,则4,用+5=3。“+5,即么7=3。，又・・・4=q+：=：,所以

也｝是首项为:，公比为3的等比数列，•♦・勿=5,故也｝的通项公式为"=；■.

（2）由⑴知;=京即1是首项为1公比为1的等比数列，

hn3⑷33

aLriYl

・・・_L+L…+L2+2+…+2=3[⑴」=]_邛又・・•数列单调递埔

2

4b2bn3'33"]」⑶I"

3

・・・1一曾41一口[<1,*4+：+…

⑴⑴3"b2bn

类型2.先求和再放缩

先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也

很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.

例2.记5.为数列｛%｝的前〃项和，已知q=1,｛ZQ｝是公差为1的等差数列.

43

（1）求｛可｝得通项公式；

（2）证明：1+—+...+—<2.

风生凡

解析：（1）工=4=1,所以3=1,所以｛4｝是首项为I,公差为』的等差数列，

4%3

所以区=1+（〃一1）.!="2,所以，=小匕4・当儿.2时，

an333

an=~Tan一~，所以（〃-1）凡=（〃+。《一，即——=—7（儿.2）；

33an_,n-\

累积法可得：%=驾D（〃..2）,又4=1满足该式，所以｛%｝得通项公式为q=驾D.

1

(2)—+—+・•・4=2(-----+-------F••・+----------J=2(1—+---------1-•••+-----------)

4a2an1x22x3n(n+1)223nn+\

=2(1--^-)<2.

〃+1

411/11、111111

注：------=-(---------),贝!)：=>——+——+……+------=-(z--------).可以看

凡4讨datlafJ+ia.a2%%。4向da}an+l

到，裂项后一定可以得到一个估计.

例3.已知等比数列{6,}(〃£“)为递增数列，且生=2%+2%.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

4/1—2/\

(2)设a=--------(〃£"),数列也｝的前〃项和为S“，证明：S“<6.

解析：(1)由题意，二。4,解得一:或修二；,因为等比数列｛qJ(〃eN)

5axq~=2atq+2a｝q-ci=-("2

I2

a=2

为递增数列，所以J'所以。”=2X2”T=2”.

I<7=2

(2)由(D知数列｛"｝的前〃项和为：

I327z-11132〃-32〃一1科Kfga-T.

sc“=a+m+…+方寸①，］S“=凄+尹+…+方丁+三一②，两式相减可得：

上一11、2〃一1一H')2〃一1一2〃+3

尹=1+2■+齐+…+刮-〒=1+2^―-〒=3--—,

11---

2

所以S*6-等，又因为〃cM,所以箸>0,所以2=6-簧<6・

类型3.先放缩通项再求和

这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要

一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如

下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为

等比结构(等差比结构)然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩

成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.

1.常见的裂项公式

111f土212g

例如：-------<—<——「或者刁=^--=<-=<-=~^^=等

〃(〃11)n~(〃1)〃V/:+1+V/:yjn"〃十/〃一1

2

2.一个重要的指数恒等式:

n次方差公式/一〃”=(〃一份("I+an-2b+ci-V+…+abn-2+"").

这样的话，可得：优一b"＞（a—b）优就放缩出一个等比数列.

、ni+c

3.糖水不等式：设〃）相＞0,。＞0,则‘＜HI丝上.

nn+c

下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.

例4.（2013年广东）

207

设数列｛可｝的前〃项和为已知q=1,管=«川一1??2一〃一孑HGN\

（1）求。2的值；

（2）求数列｛q｝的通项公式；

1117

（3）证明:对一切正整数〃，有一+―+…+—＜上.

4%44

1?

解析：（2）当〃22时，25“-一〃2-§〃，

32

2S〃_]=(H-l)t/n-1(??-l)-(«-l)-|(/?-l)

JJJ

i2

两式相减得2atl=nat

整理得(〃+l)%="+即含一£=1,又+;=1

故数列是首项为幺=1,公差为1的等差数列,所以％=l+（〃-l）xl=〃，所以

*J1n

%=/.

1711157

(3)当〃=1时，一=1<—；当〃=2时，一H=1+—=—<—;

q44%444

当心3时，-!-=二</=」■；_1，此时

ann(〃-n-\n

—

22

卬的434

111

717I]17

4-i2-综上，对一切正整数〃，有上+

九4〃4a,a4

3

下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.

例5.（2014全国2卷）已知数列｛4｝满足an+i=3an+1.

（1）证明｛4+4）是等比数列，并求｛%｝的通项公式；

（2）证明：J~+-L+・・・+-L<g.

4%2

解析，（1）证明，由%+|=3%+1得为+|+；=3（%+；）,又％+；=弓，所以甩+；｝是

乙乙乙JL

4I丁丁_1

首项为公比为3的等比数列，％+]=]，因此｛〃”｝的通项公式为勺二二y-

1711

（2）由⑴知一二^^,因为当〃之1时，3M-l>2x3n-',所以—

Wrt

an3-13-l2X3”T

丁日1I1

于是一十一+—

a}a2%a„3'3’

3

所以LL,13

.••+<一・

4a2%%2

注：此处3〃-1N2X3〃T便是利用了重要的恒等式：〃次方差公式:

nnnn2n32

a-b=（a-b）（a-'+a~b+a-b+…+曲修+上）.

23I

当然，利用糖水不等式亦可放缩：请读者自行尝试.

3T3"31

类型4.基于递推结构的放缩

1.勺+|=—^=型：取倒数加配方法.

i+M

已知数列｛｝满足①=，。】=尢：（〃eN，）记数列｛｝的前〃项

例6.（2021浙江卷）qI.q

9

D.—<E0G<5

4

I111

-,即7一--广<5根据累加法可得,

2四川2

1八n-\〃+1

~7^-}+~=~^当且仅当〃=1时取等号,

、4a“/%〃+1

5+1)21+互1,2〃+3

71+1

411。>|,另一方面•.•乎工翟，由累乘法可得

一方面：3许,；7?一石=%

“扁布？当且仅当，0时取等号，由裂项求和法得：所以

3

即■|<Sm<3,故选：A.

2.二次递推型：勺+]=pa；+qan+r.

an+｝=pcrn+qan+r=>an+l-qan=pa^+/•=>—-----Z=〃""+',然后裂项即可完成

放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.

例7.（2015浙江卷）已知数列｛q｝满足q=g且。,川=您-4：（〃wN“）

(1)证明：(〃eN")；

q+i

1C1

⑵设数列｛硝的〃项和为S“，证明而历“请"许(〃£M).

分析：。向-凡二%=」——L=』J=—^5=」一£[1,2],累加，则可证得.

“〃+】可为+1勺一凡1一凡

解析：（1）由题意得〃〃+1-〃“=-〃；<0,即4+]《〃“，故

由凡=（1-。,一）〃”_[得%=（1一）（1一%_2）...（1一%）《>0，由0<见《g得

人=可，=—!—L,BPl<-^-<2.

《用%一41一甩4+1

（2）由题意得建二凡一―，所以S,二q-a”M①，由」——!-二」£和1£」工42得

4用/勺+1

5

1<-——所以〃W」——-<2nt因此一!—<6//1+,<—(ne/V*)®

。”+1%%%2(〃+1)n+2

11

由①@得:<^<

2(〃+2)n25+1)

类型5,数列中的恒成立

例8.已知数列｛〃“｝中，4=1,满足=2〃“+2〃一|（〃（=N）

（1）求数列｛q｝的通项公式;

（2）设S”为数列｛q｝的前"项和，若不等式九2"+邑+4>0对任意正整数〃恒成立，求实

数4的取值范围.

解析：⑴4+i+2（〃+1）+1=2（4+2〃+1）,

所以也+2〃+1｝是以％+2x1+1=4为首项，公比为2的等比数列，

所以勺+2〃+1=4x2"-'=27,所以《=2.-2〃-1.

(2)工=4+4+・・.+为=(22-3)+(23-5)+...+[2e-(2〃+1)]

=(2?+23+•••+2'川)一(3+5+7++〃(3+2"+1)=2〃+2]22门[

若，2"+S”+4>0对于VncN"恒成立，即，2"+2-2-〃2-2〃-4+4>0,

可得z-2H>/+2/2-2"+2即％>金二1-4对于任意正整数〃恒成立，

2

-ca2+2〃”人〃(〃+2)„,3-〃2

所以———4,令9=I，-4,则〃用一女二干-，

所以也可得(")2="=皂空一4二一2,所以4>一2,

所以4的取值范围为(-2,也).

类型6.利用导数产生数列放缩

1.由不等式InxWx-l可得：——<ln(—+\)<—,neN".

n+\nn

例9.(2017全国3卷)已知函数f(x)=x—l—alnx.

（1）若/（幻20,求。的值;

6

(2)设"7为整数，且对于任意正整数〃，(1+；)(1+!)…(1+£)<，〃，求〃？的最小值.

解析：(2)由(1)知当/w(l,+8)时，x-l-lnx>0,令x=l+-!-得|n(l+-!-)<-!-

2”2〃2〃

从而ln(1+—)+In(l++…+ln(1+—)<,+-!7+…+-!-=1-

222T2222〃2〃

1）>2,所以加的最小值为3.

M(1+)(1+2)•,•(1+)<^,W(1+)(1+2)(1+二

222/

三.习题演练

1.设正项数列｛q｝的前〃项和为S”,q=2,且1+S>3,1-S；成等差数列.

（1）求数列几｝的通项公式;

（2）证明:x/zT+T-1

【详解】（1）由题意得S3-S；=4,5；=4,所以数列｛#｝是以4为首项，4为公差的等差

数列，所以S：=4〃.又巴>0,所以5“>0,所以S“=26.当儿.2时，

an=S.-Si=2G-2品口,当〃=1时，％=2也满足上式，所以也｝的通项公式为

an=2\[n—2ybl-T.

⑵由⑴知S“=2向所以？*号口厂内一口

同父以J〃+1-1—=—=J--L=4n-J〃-1(〃..2),

当儿.2时，[+[+…++=当，2=]时，—=-=V^-^,

所以当时，-+.+所以

dld2，L

■Jn+\—I<—F---F…4---,,yjn—(n£N)

S\S2Sj2、)•

2.已知数列｛〃“｝满足4+34+32/+L+3"-4=g,数列｛仇｝的首项为2,且满足

〃%=(〃+1)2

（1）求｛《,｝和也｝的通项公式

（2）记集合〃丁口也+i（2+l）,〃eN*卜若集合M的元素个数为2,求实数2的取

值范围.

7

2

⑶设…一1小证明：取",1〃+l

<~

【详解】（1）由4+34+32,+L+3"一&可得:〃22时,

3

4+3,+324+~+31q_产、1,相减可得3"-&=^-铝=:，故q

当〃=1时，也符合上式，故。“二!,〃eN",由曲+]=（〃+1）包可得%-%=0,所

n+\

，为公差为0的等差数列，且首项为2,所以4=2,则包=2〃.〃£y.

以数列%

a]

(2)由勿=2〃,〃wN'和M〃一何得

%

〃(〃+1)(2〃+1)〃(〃+1)(2〃+1)(〃+1)(〃+2)(2〃+3)

M=<n\2,<记匕=，则心

3"3”

-(〃+1)[("1)-7上当〃=i时，£_<>(),当〃22时，PS・・,

所以K+T=

3向

4（）7（）

此时｛匕｝单调递减，而P（2）=学P⑴=2,P⑶=/,P（4）=/,由于集合M的元素个数为

70OR

2,所以M=｛2,3｝,故三

⑶由…看得％"⑹厂心干

641—16〃申'田于

16〃'16〃n2111111

----；------i---<-----：------7=-------=---1--X-------=—+-x

64/Z4-16/22+164/-16/，4/j2-1444八一]482〃-12/1+1

因此£，11

+•••+

483J35、2〃-12/?+1>

n1〃1〃1n+1

—+—<—+—<—