核心素养导向下的小学三年级数学“混合运算”大单元教学设计与实施

核心素养导向下的小学三年级数学“混合运算”大单元教学设计与实施

  一、单元整体解读与规划

  （一）课标关联与素养定位

    本单元内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中的“数量关系”与“数的运算”主题。课程标准在小学第一学段明确提出：“在具体情境中，了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系。在解决实际问题的过程中，理解运用四则运算解决问题，体会运算与解决问题的关联。”本单元的混合运算学习，是学生从一步运算迈向两步运算，从算术思维向代数思维过渡的关键起点。它不仅仅是计算技能的学习，更是数学模型初步建立和问题解决策略综合应用的重要载体。本单元旨在通过混合运算的学习，发展学生的运算能力、推理意识和模型意识。运算能力表现为理解两步运算的顺序规则，并能根据规则正确进行计算和估算；推理意识体现在能根据具体情境，合理解释运算顺序的合理性，并能用递等式清晰表达计算过程；模型意识则体现在能从现实生活情境中抽象出“先乘除后加减”、“有括号先算括号里”的数学模型，并运用该模型解决实际问题。

  （二）教材纵横析读与重构

    纵向看，在本单元之前，学生已熟练掌握表内乘除法及百以内加减法，具备解决一步计算实际问题的能力。本单元首次系统引入两步混合运算的顺序规则，是后续学习多步混合运算、整数四则混合运算乃至小数、分数混合运算的基石。横向看，北师大版教材将混合运算编排在三年级上册伊始，与后续的“加与减”“乘与除”等单元形成呼应，共同构建起完整的整数运算体系。教材通过“小熊购物”（乘加、乘减）、“买文具”（除加、除减）、“过河”（带有小括号的运算）三个典型生活情境，分层次、递进式地引出运算规则。然而，为实现更高水准的教学，本设计将打破原有课时界限，以“购物”与“游玩”两大主题贯穿单元始终，对教材内容进行结构化重组与拓展。我们将整合“小熊购物”与“买文具”中关于运算顺序的探究，提前渗透括号改变顺序的思想，并在“过河”情境中深化对括号功能的理解。同时，引入更多元的真实问题，如班级活动策划、校园资源分配等，让学生在复杂情境中综合运用规则，实现从“学会规则”到“善用规则”的跃升。

  （三）学情深度剖析

    三年级学生的思维正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的初期。他们的优势在于：对生动具体的购物、游玩情境有浓厚兴趣和丰富的生活经验；具备较强的模仿和记忆能力，能较快记住“先乘除后加减”的口诀。然而，潜在的认知障碍与迷思概念也需高度关注：1.顺序规则理解的机械化：学生容易将运算顺序规则当作必须背诵的“咒语”，而非基于数量关系逻辑推理得出的必然结果，导致在变式情境中机械套用或混淆规则。例如，面对“20-3×5”时，可能受从左到右读题习惯的影响先算减法。2.情境与算式的脱节：难以将实际问题中的先后关系与运算顺序建立有效连接，列综合算式时对是否需要添加括号感到困惑。3.递等式书写的规范性障碍：对“等号”在递等式中的意义理解不深，常出现等号不对齐、步骤跳跃或一个算式中出现多个等号的错误。因此，教学设计的核心在于创设富有思维张力的问题情境，引导学生经历“产生冲突—探究本质—建立规则—灵活应用”的完整认知过程，将外在规则内化为数学逻辑。

  （四）单元学习目标（素养导向）

    1.知识与技能：结合具体情境，理解并掌握两步混合运算（包括乘加、乘减、除加、除减以及带有小括号）的运算顺序，能正确进行脱式计算。能运用混合运算解决相关的实际问题。

    2.过程与方法：在解决实际问题的过程中，经历“发现问题-提出问题-分析数量关系-确定运算顺序-列式解答”的全过程，学会用数学的眼光观察现实世界（识别数学关系），用数学的思维思考现实世界（分析运算逻辑），用数学的语言表达现实世界（列综合算式、书写递等式）。

    3.情感态度与价值观：感受混合运算与实际生活的紧密联系，体会规则制定的合理性与必要性，养成按规则运算、认真严谨的学习习惯，在合作交流中增强数学学习的自信心和探究欲。

  （五）单元大观念与核心问题

    大观念：运算顺序是人们对数量关系逻辑次序的数学约定与表达。核心问题：1.为什么不能总是从左往右算？运算顺序的规则是如何产生的？2.小括号究竟有什么“魔力”？我们何时需要请它来帮忙？3.面对一个复杂的实际问题，我们如何厘清数量关系，并选择正确的运算顺序来解决问题？

  （六）单元整体教学结构图

    本单元将以“探寻运算的顺序密码”为主题项目，划分为三个递进的学习阶段。第一阶段：“规则初探——购物中的数学智慧”（约3课时），聚焦乘加、乘减、除加、除减情境，探究无括号混合运算的顺序。第二阶段：“规则深化——括号的魔力”（约2课时），通过团队活动策划等情境，理解小括号改变运算顺序的作用。第三阶段：“规则应用与拓展——我是问题解决小达人”（约2课时），综合运用混合运算解决复杂实际问题，并初步接触简单的三步运算思考。最后进行单元整理与评价（1课时）。

  二、分课时教学设计详案

  第一课时：购物策略与运算顺序的诞生（乘加、乘减）

  （一）学习目标

    1.在“为班级联欢会采购零食”的真实情境中，发现总价由不同商品价格组合而成，自然产生乘加、乘减两步计算需求。

    2.通过对比分步与综合算式、辩论不同计算顺序的结果，深刻理解“先算乘法、后算加减”的合理性与必要性，初步建立规则。

    3.能正确列出乘加、乘减的综合算式，并尝试用递等式规范书写脱式计算过程。

  （二）教学重难点

    重点：理解在乘加、乘减算式中先算乘法的道理。难点：从具体情境的数量关系逻辑中抽象出运算顺序规则。

  （三）教学准备

    课件（呈现商品价目表、采购清单）、学习单、实物投影仪、学生用于模拟计算的卡片。

  （四）教学实施过程

    环节一：创设情境，引发认知冲突（约12分钟）

    师：同学们，班级即将举办一次小型联欢会，需要采购一些零食。这是采购清单和超市价目表（课件出示：薯片每包5元，巧克力每盒6元，矿泉水每瓶2元。清单1：买3包薯片和1盒巧克力，一共需要多少钱？）。请大家独立尝试解决这个问题。

    （学生独立思考并计算，教师巡视，预计会出现两种解法：分步5×3=15元，15+6=21元；综合5×3+6。请学生板演。）

    师：两位同学都算出了21元，但表达方式不同。一种是分步，一种是列成了一个式子。这个综合算式“5×3+6”该怎么读？又该怎样计算呢？

    生1：读作“5乘以3加6”，我觉得应该先算5乘3得15，再加6。

    生2：我认为应该从左往右算，先算5+3得8，但8乘6？不对……好像不行。

    师：出现了分歧！到底该先算谁？请大家结合采购的情境想一想：总价21元是由哪两部分组成的？

    生：是3包薯片的钱加上1盒巧克力的钱。

    师：所以，在计算总价时，我们必须先知道什么？

    生：必须先知道3包薯片的总价是多少，也就是先算5×3。

    师：说得非常好！从事情发生的顺序看，总价依赖于部分商品的总价。所以在算式里，我们也需要先算乘法。如果先算5+3，得到的是什么？符合题意吗？

    生：不符合，5+3没有实际意义。

    （教师顺势在算式中用下划线标出先算的部分，并板书：5×3+6=15+6=21）

    环节二：类比迁移，探究乘减情境（约15分钟）

    师：现在问题升级（课件出示清单2：小明带了20元，买了4瓶矿泉水，还剩多少钱？）。请先分步思考，再尝试列出综合算式。

    （学生完成，得出：20-2×4。教师请学生解释算式含义。）

    师：这个算式里有减法和乘法，又该先算谁呢？请大家小组讨论，结合“带去的钱-花掉的钱=剩下的钱”这个数量关系说明理由。

    （小组讨论后汇报）

    生：要想知道剩下多少钱，必须先知道花掉了多少钱，也就是4瓶水的总价2×4。所以必须先算乘法。

    师：逻辑清晰！请同学们计算一下。

    （学生计算，教师规范递等式书写：20-2×4=20-8=12。强调等号上下对齐，第二步的“20-”要照抄下来。）

    师：观察我们刚才解决的两个问题，算式里既有乘法又有加法或减法，我们都是先算的什么？

    生：先算乘法。

    师：谁能试着总结一下我们的发现？

    生：在一个算式里，有乘法和加减法，要先算乘法。

    （教师板书核心规则，并引导学生理解这是基于问题本身数量关系的需要，而非硬性规定。）

    环节三：巩固内化，初识递等式（约10分钟）

    1.说一说：出示算式如“4×7+5”、“18-3×5”，让学生口头说出运算顺序，并解释先算部分表示的实际意义（如“3×5”表示买5个某物品的总价）。

    2.算一算：完成学习单上的基本计算题，要求用递等式格式脱式计算。教师巡视，重点指导书写格式，纠正“等号队列不齐”的常见错误。

    3.想一想（拓展）：出示“6+3×5”与“3×5+6”，让学生计算并比较。引导发现：在乘加算式中，乘法在前或在后，都要先算乘法，这和加法交换律不同，进一步巩固顺序规则的权威性。

    环节四：课堂小结与评价（约3分钟）

    师：今天这节课，我们像数学家一样，从购物的实际问题中“发现”了一条重要的运算规则。谁来分享你的收获？你觉得这条规则最重要的是什么？

    （学生总结。教师布置实践作业：回家后，调查家中两种商品单价，设计一个“买几件一种商品和一件另一种商品”的购物问题，并列出综合算式考考家人。）

  第二课时：购物延伸与运算顺序的巩固（除加、除减）

  （一）学习目标

    1.在“文具店采购学习用品”的情境中，迁移上节课探究经验，自主发现并理解在除加、除减运算中“先算除法”的规则。

    2.能熟练运用“先乘除后加减”的规则（不出现小括号），正确进行脱式计算。

    3.能根据具体情境，列出正确的综合算式解决问题，并解释算式中每一步的含义。

  （二）教学重难点

    重点：掌握除加、除减的运算顺序。难点：理解除法在情境中的意义，区分“单价”与“总价”对应的运算。

  （三）教学实施过程

    环节一：复习导入，激活经验（约5分钟）

    快速口算：3×4+5、12-2×5等乘加乘减式题。回顾规则：有乘法和加减法，先算乘法。教师提问：如果是除法和加减法在一起呢？规则会一样吗？引发猜想。

    环节二：情境探究，迁移推理（约20分钟）

    师：班级图书角需要补充文具，我们去文具店看看（课件出示：钢笔每支8元，笔记本每本4元。问题1：买1支钢笔和3本笔记本，一共多少元？）。

    学生独立列综合算式：8+4×3，计算并回顾规则。

    师：现在换一种买法（问题2：老师用36元买了4个同样的文具盒，找回4元。每个文具盒多少钱？）。这是一个挑战！请小组合作，分析数量关系，尝试列出综合算式。

    （学生易列出分步：36-4=32元，32÷4=8元。教师引导学生思考：能否用一个式子表示？如果列成36-4÷4，行吗？为什么？）

    生：不行！那样要先算4÷4=1，再算36-1=35，结果错了。因为我们要先算花掉的钱，是36-4，而不是4÷4。

    师：但我们的规则是“先乘除后加减”，这个算式里是减法和除法，按规则要先算除法，这和我们从问题中分析出的“先算减法”矛盾了！怎么办？

    （制造认知冲突，让学生陷入思考。有学生可能会提出“能不能加个什么东西把36-4包起来？”的想法，教师予以鼓励，并告知这是下节课要学的“神秘工具”，本节课我们先尝试其他方法。）

    师：如果不改变运算顺序，我们能不能调整列式的方式，使得算式本身符合“先乘除后加减”的规则，又能正确表达题意？

    引导学生从数量关系逆推：花掉的钱=总钱数-找回的钱，即？=36-4；同时，花掉的钱=单价×数量，即？=单价×4。所以，单价×4=36-4。要算单价，就是（36-4）÷4。这样，除法就在最后一步。

    （此环节重在思维训练，让学生体验根据数量关系灵活列式，为括号的学习埋下伏笔。同时，出示典型除加问题，如“一支钢笔8元，用20元先买一支钢笔，剩下的钱买单价3元的笔记本，能买几本？”，巩固先算除法的情境。）

    环节三：归纳概括，规则升级（约10分钟）

    师：结合上节课和今天的学习，面对加、减、乘、除都有的算式，运算顺序可以怎样完整地概括？

    引导学生总结：在没有其他特殊标记的情况下，算式里有加、减、乘、除，要先算乘、除法，后算加、减法。

    教师强调：乘、除法是同级运算，加、减法也是同级运算。同级运算一般从左往右算（复习如“8-3+2”），但当不同级运算混合时，就要依据“先乘除后加减”的规则。

    环节四：分层练习，巩固应用（约5分钟）

    基础层：计算练习，如15+20÷5、27-18÷3等。

    应用层：解决简单实际问题，如“一箱苹果有20个，吃了8个，剩下的平均分给3个小朋友，每人分几个？”（列综合算式为（20-8）÷3，但引导学生思考能否用20÷3-8÷3？讨论其不合理性，深化对运算顺序与题意匹配的理解。）

  第三课时：括号的魔力——改变顺序的“指挥官”

  （一）学习目标

    1.在需要“先算加减后算乘除”的真实问题情境中，感受引入新符号的必要性，认识小括号，理解并掌握带有小括号的混合运算的运算顺序。

    2.能准确判断何时需要使用小括号，能正确计算含有小括号的两步混合运算。

    3.体会数学符号的简洁与力量，感受数学规定的合理性。

  （二）教学重难点

    重点：掌握带有小括号的混合运算的运算顺序。难点：理解小括号的作用，并能根据问题需要正确添加小括号。

  （三）教学实施过程

    环节一：问题驱动，感受“冲突”（约10分钟）

    回顾上节课“买文具盒”的遗留问题：要列式表达“先算36-4，再除以4”，我们当时觉得需要一个“东西”把“36-4”包起来。今天，这个“神秘工具”就来了。

    创设“过河”情境（教材原型）：男生29人，女生25人，每条船限坐9人，需要几条船？

    师：请独立分析数量关系，并尝试列综合算式。

    （学生分析：需要船数=总人数÷每条船坐的人数。总人数=男生+女生。自然得到分步：29+25=54人，54÷9=6条。列综合算式时，学生会写出29+25÷9。）

    师：按照我们的运算规则“先乘除后加减”，这个算式该先算什么？

    生：先算25÷9……除不尽啊！不对！

    师：是啊，出问题了！我们明明知道应该先算加法，但算式却“指挥”我们先算除法。这说明我们现有的“语言”（算式）无法准确表达我们的“思想”（运算顺序）。怎么办？

    环节二：符号引入，认识“魔力”（约15分钟）

    师：数学家们早就遇到过这个难题，他们发明了一个非常聪明的符号来解决它，它就是——小括号“（）”。

    教师介绍：小括号就像一位“指挥官”或一个“打包盒”，它能改变运算的顺序。被它括起来的部分，就拥有了“优先计算权”。

    师：现在，我们就在需要先算的“29+25”外面加上小括号，写成（29+25）÷9。这个算式怎么读？（读作“29加25的和除以9”）

    师：它的运算顺序是怎样的？

    生：先算小括号里的29+25，得到54，再算54÷9=6。

    教师板书脱式计算过程，重点展示小括号的处理：（29+25）÷9=54÷9=6。强调：小括号里的算完后，括号就完成了使命，脱掉它，继续算后面的。

    环节三：对比辨析，深化理解（约10分钟）

    出示两组对比题，让学生计算并讨论：

    第一组：7×（7-5）与7×7-5

    第二组：（77-42）÷7与77-42÷7

    师：每组的两道题，数字和运算符号都相同，为什么结果不同？小括号在这里起到了什么关键作用？

    通过计算和讨论，让学生深刻体会：小括号的出现，是为了明确表达“与通常规则不同的运算顺序”，它是数学语言精确化的体现。没有小括号，就按“先乘除后加减”算；有了小括号，就要“先算括号里面的”。

    环节四：实践应用，掌握用法（约5分钟）

    1.添加小括号：出示如“56-15+25”使其先算加法；“36÷4×2”使其先算乘法（此题为后续同级运算顺序做铺垫，可讨论是否需要括号）。让学生体会，有时加括号是为了改变顺序，有时加括号则显得多余。

    2.解决问题：创设情境，如“老师买了5个单价7元的笔记本和1个书包，付了100元，找回30元。书包多少钱？”引导学生分析数量关系，列出带小括号的综合算式：100-（5×7+？）或100-30-5×7，体会不同解题思路下括号的使用。

  第四课时：规则的综合演练与灵活运用

  （一）学习目标

    1.熟练、准确地进行包含“先乘除后加减”和“有小括号先算括号里”的两步混合运算。

    2.能在复杂的现实情境（如游玩方案设计、物资分配）中，灵活选择信息，分析数量关系，列出正确的综合算式解决问题。

    3.初步学习审视解题过程，检查运算顺序和计算结果合理性的方法。

  （二）教学实施过程

    环节一：规则大闯关（计算巩固，约10分钟）

    设计三层闯关练习：

    第一关（基础巩固）：纯计算题，涵盖乘加、乘减、除加、除减、带小括号的各种类型，要求脱式计算。重点关注书写规范。

    第二关（火眼金睛）：判断改错。出示典型错例，如顺序错误、忘写括号、递等式书写不规范等，让学生找出错误并改正。

    第三关（快速反应）：根据运算顺序要求，给算式添加小括号。如：使“18+27÷9”结果最大/最小。

    环节二：问题解决工作坊（约25分钟）

    呈现一个综合性的项目式问题背景：“三年级计划组织一次公园秋游。公园门票：成人每张10元，儿童每张6元。我们班有学生45人，老师3人。公园内划船：每条船限坐4人，每小时租金8元。我们计划划船1小时。游乐场套票：每张5元，包含3个项目。”

    发布一系列任务，小组合作选择解决：

    任务1：计算购买公园门票一共需要多少钱？（综合算式：10×3+6×45）

    任务2：全班同学和老师一起划船，至少需要租几条船？租船一共需要多少钱？（综合算式：（45+3）÷4=12条，8×12；注意（45+3）÷4涉及余数时的处理，需租13条，此为拓展点。）

    任务3：如果班级活动经费共有500元，支付门票和租船费用后，还剩多少元？剩下的钱最多可以买多少张游乐场套票？

    任务4：请你设计一个更优化的混合消费方案。

    在此过程中，教师巡回指导，引导学生：1.识别有效信息；2.厘清每一步求的是什么；3.讨论列综合算式时如何合理使用小括号；4.检查结果是否符合实际（如船数必须为整数）。

    环节三：交流反思与评价（约5分钟）

    各小组展示解决问题的算式和思路。重点围绕“遇到复杂问题时，你是如何一步步思考，并决定运算顺序的？”进行分享。教师总结：混合运算的规则是我们解决问题的有力工具，但比工具更重要的是理解问题背后的数量关系。规则服务于思维。

  第五课时：单元整理、拓展与评价

  （一）学习目标

    1.通过自主梳理，构建本单元混合运算知识（规则、方法、应用）的结构化网络。

    2.通过挑战性任务，尝试解决简单的三步混合运算问题，拓展思维。

    3.完成单元综合性评价，反思学习成果。

  （二）教学实施过程

    环节一：知识梳理——我的“运算地图”（约15分钟）

    引导学生以思维导图或知识树的形式，小组合作梳理本单元核心内容。主干：混合运算（两步）。分支一：运算顺序规则。1.无括号：先乘除，后加减。2.有括号：先算括号里面的。分支二：关键方法。1.列综合算式（从分步到综合）。2.递等式计算（格式规范）。分支三：应用核心。分析数量关系是确定运算顺序的根本。各小组展示并完善“地图”。

    环节二：思维拓展——挑战三步运算（约15分钟）

    出示问题：“学校食堂运来80千克大米，第一周吃了25千克，第二周吃的和第一周同样多。剩下的计划5天吃完，平均每天吃多少千克？”

    师：这个问题需要几步解决？你能列出综合算式吗？

    引导分析：剩余大米=总大米-（第一周吃的+第二周吃的）。第二周吃的与第一周相同，也是25千克。所以剩余为80-（25+25）。再平均分5天吃：（80-（25+25））÷5。算式里出现了两个小括号，实际上内层括号25+25在同级运算中也可以不加，但加上更清晰。引导学生计算：80-（25+25）=80-50=30，30÷5=6。也可以写成（80-25-25）÷5。让学生初步感受三步运算的思考，体会通过两步运算逐步解决问题的思想，不强调复杂的三步综合算式书写。

    环节三：单元综合评价（约10分钟）

    发放单元综合评价学习单。评价内容包含：1.基础知识计算（考察规则掌握）。2.情境判断题（如：算式“50-20÷5”表示“50减去20的差除以5”，对吗？）。3.实际问题解决（一道贴近生活、信息稍复杂的题目）。评价后，学生进行自我反思：我在哪个规则上最熟练？我在理解题意列式时还有困难吗？我的计算和书写习惯好吗？

  三、单元作业整体设计（样例）

    基础性作业（每日一练）：

    1.计算小达人：5-6道混合运算式题，题型覆盖全面。

    2.生活小账本：记录一次家庭购物小票，尝试用