内科大材料力学（土木类）课件第11章 能量法

材料力学第十一章能量法§11－1概述1.能量法：

利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。2.能量法的应用范围：（1）线弹性体；非线性弹性体（2）静定问题；超静定问题（3）是有限单元法的重要基础§11－2应变能余能1.应变能

(1)线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式(参见上册)拉(压)杆圆轴扭转梁弯曲(2)非线性弹性体的应变能表达式对图(a)的拉杆,F在d

上所作微功为

dW=Fd

F作的总功为：（F-

曲线与横坐标轴间的面积）AFl(a)FF1FdDO1(b)由能量守恒得应变能：(此为由外力功计算应变能的表达式）类似，可得其余变形下的应变能：

若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下表面上的力为:F=

11=

其伸长量为：

＝

1＝

则作用于此单元体上的外力功为：

注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应变能(数值上等于上式中的W)为应变能密度:(-曲线与横坐标轴间的面积）sOde11(c)

若取边长分别为dx、dy、dz

的单元体，则此单元体的应变能为：整个拉杆的应变能为：(此为由应变能密度计算应变能的表达式)说明：线弹性体的v

、V

可作为非线性体的v

、V

的特例。由于线弹性的F与

或

与

成正比，则F－曲线或－

曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积等于应变能V

和应变能密度v

。同理，可得纯剪时的应变能密度v

为：例11-1弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试求梁内的应变能。解：梁的挠曲线方程为：荷载所作外力功为：将前一式代入后一式得：wxlyABqx例11-2原为水平位置的杆系如图a

所示，试计算在荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l，横截面面积均为A，其材料相同，弹性模量为E，且均为线弹性的。解：设两杆的轴力为FN

，则两杆的伸长量均为：两杆伸长后的长度均为：F111ll(a)由图a的几何关系可知：F111ll(a)代入前一式得：或：（几何非线性弹性问题）其F-

间的非线性关系曲线为：应变能为：FF=()EA3O

/l2.余能设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-

曲线如图b

。“余功Wc”定义为：与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc

在数值上相等。F(a)

FOdF

1F1

(b)（代表F-

曲线与纵坐标轴间的面积）即：FOdF

1F1

(b)另外，也可由余能密度vc计算余能V

c：其中，余能密度vc为：（代表图c中

-与纵坐标轴间的面积）Od

1

(c)

对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同。注意：对非线性材料，则余能V

c与应变能V

在数值上不一定相等。余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。例11-3试计算图a

所示结构在荷载F1作用下的余能Vc

。结构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。解：两杆轴力均为：两杆横截面上的应力为：O11(b)F1CBD(a)所以余能为余能密度为：由已知§11－3卡氏定理1.卡氏第一定理设图中材料为非线性弹性，由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d

i,则应变能的变化为：123n123nB因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d

i，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：注意到上式与下式在数值上相等从而有：（卡氏第一定理）注意：卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。式中Fi及

i分别为广义力、广义位移。必须将V

写成给定位移的函数，才可求其变化率。例11-4由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图a

所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。

解：设结点B的水平和铅垂位移分别为

1和

2，先假设结点B只发生水平位移

1

（图b）则：AB(b)CB'

1ABF45O(a)Cl同理，结点B只发生铅垂位移

2（图c）则：当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）AB(c)CB''

2应用卡氏第一定理得解得：桁架的应变能为2.卡氏第二定理设有非线性弹性的梁，梁内的余能为：假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi

，而其余荷载均保持不变，因此，由于Fi改变了dFi

，外力总余功的相应改变量为：余能的相应改变量为：123n123nB由于外力余功在数值上等于余能，得解得：（称为“余能定理”）特别：对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V

在数值上等于余能V

c

，此时上式变为：（称为“卡氏第二定理”）式中的Fi

和

i分别为广义力和广义位移。注意：卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。实际计算时，常采用以下更实用的形式：例11-5求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。

例11-6图示桁架结构。已知：F=35kN,d1=12mm,d2=15mm,E=210Gpa。求A点垂直位移。

例11-7弯曲刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。解：在自由端“虚加”外力F任意x截面处的弯矩为：qqxlyABx00lxF例11-8弯曲刚度均为EI的静定组合梁ABC，在

AB段上受均布荷载q作用，如图a

所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。解：在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB（图b)各支反力如图b。AB段弯矩方程：qACBllMBMBACBqxx由卡氏第二定理得：结果符号为正，说明相对转角

B的转向与图b中虚加外力偶MB的转向一致。BC段弯矩方程例11-9求图示刚架B截面ΔBx,ΔBy。

解：（1）求ΔBx：

（2）求ΔBy

：

例11-10图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移

和相对转角。

。

解：1、张开位移FRFjjR(1-cos)所以FRFjjR(1-cos)2、相对转角：

FRFjjR(1-cos)MfMfFMNAAFBjT例11-11图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F的作用，求A点的垂直位移。解：①求内力AFRFN②变形：1、应变能余能应变能余能2、卡氏定理卡氏第一定理卡氏第二定理上次课回顾卡氏第二定理的实用形式桁架结构梁与刚架结构§11－4

用能量法解超静定系统用能量法解超静定系统的步骤：（1）选取基本静定系；（2）建立变形协调条件；（3）求力-位移关系：应用能量原理（余能原理、卡氏第二定理）计算基本静定系分别在荷载和多余未知力作用下的位移；（4）求解多余未知力：将力-位移间物理关系，代入变形协调条件，得补充方程。由补充方程解出多余未知力。（5）进行其他计算。

例11-12作图示梁的弯矩图，EI为常数。ABlq解：（1）选基本静定系（2）变形协调条件（3）求力-位移关系qXx（4）求解未知力（5）作弯矩图ql2/89ql2/128例11-13用能量方法求解图示刚架，并作弯矩图。

qllABC解：（1）选基本静定系：

（2）变形条件：ΔC=0（3）求力-位移关系弯矩方程及偏导数x1x2X卡氏第二定理求位移（4）求解未知力（5）作弯矩图0.11ql2

0.0625ql2

例11-14由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆，用铰连接如图a所示。已知三杆的横截面面积均为A，材料的应力一应变关系为

=K

1/n，且n>1；并知1、2两杆的杆长为l。试用余能定理计算各杆的内力。

解：（1）选基本静定系统如图b。FBDCA132aa(a)BA(b)DC132XFaa（2）变形协调条件:

D=0（3）求力-位移关系:用余能原理由图b的平衡得各杆轴力：BA(b)DC132XFaa余能密度为：总余能为（4）求解未知力例11-15试作图示结构的弯矩图。（1）基本静定系

（2）变形条件：ΔBx=0（3）求力-位移关系：

解：qaaABCx2x1XqFAyFAxFBy（4）求解：

49ql2/512qa2/16例11-16试作图示结构的弯矩图。（1）基本静定系；

（2）变形条件：ΔBx=0，ΔBy=0；

解：（3）求力-位移关系：