2026版高三数学讲义第二章　2.9　函数的图象

2．9函数的图象

1．会用描点法及图象的平移规律画简单的函数图象．

2．能根据函数的性质辨识函数图象，能根据实际问题辨识函数图象．

3．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题．

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先①确定函数的定义域，②化简函数解析式，③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周

期性、对称性等)；然后列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交

点等)，描点，连线．

2．函数图象的变换

(1)平移变换

左右平移仅仅对x而言，利用“左加右减”进行操作，若x的系数不是1，需要先把系

数提出来，再进行操作．

上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行操作．

(2)对称变换

关于x轴对称

①y＝f(x)―――→y＝－f(x)；

关于y轴对称

②y＝f(x)―――→y＝f(－x)；

关于原点对称

③y＝f(x)―――→y＝－f(－x)；

关于＝对称

xyx

④y＝a(a＞0，且a≠1)―――→y＝logax(x>0)．

(3)翻折变换

保留x轴上方图象

①＝―――――――――――――→＝；

yf(x)将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|

保留y轴右边图象，并作其关于y轴

②＝――――――――――――――――――――――→＝

yf(x)对称的图象，y轴左边图象去掉yf(|x|).

(4)伸缩变换

①y＝f(x)y＝f(ax)；

a>1，纵坐标伸长为原来的a倍

②＝――――――――――――――――――――――――→＝．

yf(x)0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍yaf(x)

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)

(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(×)

(3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(×)

(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(×)

2．(人教A版必修第一册P140T6改编)向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为

止．下列图象中可以大致刻画容器中水面的高度与时间的函数关系的是(C)

解析：由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选

项的图象符合条件．故选C.

|x2－1|

3．(人教B版必修第二册P52T3改编)函数f(x)＝的图象为(D)

2x

|x2－1||(－x)2－1||x2－1|

解析：函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，

2x－2x2x

1

|x2－1|x2－11x－

函数f(x)为奇函数，故A错误；当x>1时，f(x)＝＝＝x，函数单调递增，故

2x2x2

B，C错误．故选D.

x

4．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点(D)

100

A．向左平移2个单位长度

B．向右平移2个单位长度

C．向上平移2个单位长度

D．向下平移2个单位长度

x

解析：函数y＝lg化为y＝lgx－2，显然把函数y＝lgx的图象向下平移2个单位长

100

x

度即得y＝lgx－2的图象，所以为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象

100

上所有的点向下平移2个单位长度．故选D.

考点1作函数的图象

【例1】作出下列函数的图象：

1|x|

(1)y＝2；

(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝x2－2|x|－1.

1x1x1x

【解】(1)先作出y＝2的图象，保留y＝2图象中x≥0的部分，再作出y＝2的

1|x|

图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝2的图象，如图1实线部分．

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，

即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2.

x2－2x－1，x≥0，

(3)因为y＝且函数为偶函数，所以先用描点法作出[0，＋∞)上的

x2＋2x－1，x<0，

图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图3.

1．描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些

函数的特征描出图象的关键点直接作出．

2．图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、对称、翻折或伸缩得到，

可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

【对点训练1】作出下列函数的图象：

(1)y＝sin|x|；

2x－1

(2)y＝.

x－1

解：(1)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关

于y轴对称，其图象如图1.

2x－111

(2)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上

x－1x－1x

平移2个单位长度得到，如图2所示．

考点2函数图象的识别

－

【例2】(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－ex)sinx在区间[－2.8，2.8]的图象大

致为(B)

【解析】f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx，则f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)·sin(－x)＝－x2＋(ex

1

e－

－e－x)sinx＝f(x)，故f(x)为偶函数，故A，C错误；f(1)＝－1＋(e1－e-1)sin1>－1＋esin

πe111

＝－1－>－>0，故D错误，B正确．故选B.

622e42e

(2)(2024·陕西西安二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为

(B)

A．f(x)＝cos2x·(ex－e－x)

x2＋1

B．f(x)＝sin2x·ln

x2

ex＋e－x

C．f(x)＝

x

1x2

D．f(x)＝·ln

xx2＋1

【解析】对于A，函数f(x)＝cos2x·(ex－e－x)的定义域为R，而题设函数的图象在自变

ex＋e－x

量为0时无意义，不符合题意，排除；对于C，当x>0时，f(x)＝>0，不符合图象，排

x

1x21

除；对于D，当x>0时，f(x)＝·ln＝[lnx2－ln(x2＋1)]<0，不符合图象，排除．故选

xx2＋1x

B.

1．抓住函数的性质，定性分析

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．

(3)从函数的周期性，判断图象的循环往复．

(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

2．抓住函数的特征，定量计算

利用函数的特殊点、特殊值的计算，分析解决问题.

x3

【对点训练2】(1)(2024·天津和平区一模)函数f(x)＝的图象大致是(B)

|x|＋2

(－x)3x3

解析：∵f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为定义在R上的奇

|－x|＋2|x|＋2

x33x2(x＋2)－x3

函数，图象关于坐标原点对称，C错误；当x>0时，f(x)＝，∴f′(x)＝＝

x＋2(x＋2)2

2x2(x＋3)

>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，A，D错误，B正确．故选B.

(x＋2)2

(2)(2024·浙江台州一模)函数y＝f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应

的函数解析式可能为(A)

11

1－x1－x

A．y＝f2B．y＝－f2

C．y＝f(4－2x)D．y＝－f(4－2x)

解析：由题图1知，f(1)＝0，且当x>1时，f(x)>0，由题图2知，图象过点(0，0)，且当

x<0时，y>0，对于C，当x＝0时，y＝f(4)>0，C不可能；对于D，当x＝0时，y＝－f(4)<0，

1

11－x

D不可能；对于A，当x＝0时，y＝f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则f2>0，A可能；

2

1

11－x

对于B，当x＝0时，y＝－f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则－f2<0，B不可能．故

2

选A.

考点3函数图象的应用

命题角度1利用函数的图象解不等式

【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式

x2f(x)>2f(x)的解集为(C)

A．(－2，0)∪(2，2)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(－2，0)∪(2，2)

D．(－2，－2)∪(0，2)∪(2，＋∞)

【解析】根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象如图所示，由x2f(x)>2f(x)，

x2－2>0，x2－2<0，

得(x2－2)f(x)>0，等价于或解得x<－2，或2<x<2，或－2<x<0.

f(x)>0f(x)<0，

故不等式解集为(－∞，－2)∪(－2，0)∪(2，2).故选C.

命题角度2利用函数的图象求参数的取值范围

－x2＋4x，x≤1，

【例4】(2024·北京昌平区二模)已知函数f(x)＝若对任意x∈R都

ln(x－1)，x>1.

有|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围是(B)

A．(－∞，0]B．[－4，0]

C．[－3，0]D．(－∞，2]

－x2＋4x，x≤1，

【解析】因为f(x)＝

ln(x－1)，x>1，

令g(x)＝|f(x)|，作出g(x)的图象，如图所示，令h(x)＝ax，由图知，要使对任意x∈R都

y＝x2－4x，

有|f(x)|≥ax，则必有a≤0，当x≤0时，y＝x2－4x，由消去y得到x2－(4＋a)x

y＝ax，

＝0，由Δ＝0，得到(4＋a)2＝0，即a＝－4，由图可知－4≤a≤0.故选B.

1．当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作

出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．

2．利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为

数量关系较明确的问题．

【对点训练3】(1)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(D)

A．(－1，1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(0，1)

D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析：因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)>0等价于2x>x＋1，在同一直角坐标系中作出y＝

2x和y＝x＋1的图象如图所示．

两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，不等式2x>x＋1的解为x<0或x>1.所以不等式

f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.

(2)设函数f(x)的定义域是R，满足2f(x＋1)＝f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对

8

任意x∈[m，＋∞)，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(D)

9

－7，＋∞－5，＋∞

A．6B．3

－5，＋∞－4，＋∞

C．4D．3

1

解析：因为函数f(x)的定义域是R，满足2f(x＋1)＝f(x)，所以f(x＋1)＝f(x)，且当x∈(0，

2

121

x－1－，0

1]时，f(x)＝x(x－1)＝2－∈4，当x∈(－1，0]时，0<x＋1≤1，则f(x)＝2f(x＋

4

1

－，0

1)∈2，当x∈(－2，－1]时，－1<x＋1≤0，则f(x)＝2f(x＋1)∈[－1，0]，且当x∈(－

2，－1]时，0<x＋2≤1，则f(x)＝2f(x＋1)＝4f(x＋2)＝4(x＋2)(x＋1)，令f(x)＝4(x＋1)(x＋2)

845

＝－，解得x＝－或x＝－，如图所示．

933

84

因为对任意x∈[m，＋∞)，都有f(x)≥－，由图可知，m≥－，因此，实数m的取值

93

4

－，＋∞

范围是3.故选D.

课时作业14

1．(5分)将函数y＝log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，

得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(D)

A．log2(2x＋1)－1B．log2(2x＋1)＋1

C．log2x－1D．log2x

解析：将函数y＝log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，可得y＝log2(2x＋2)－1的

图象，再向右平移1个单位长度，可得y＝log2[2(x－1)＋2]－1＝log2(2x)－1的图象，所以g(x)

＝log2(2x)－1＝log2x.故选D.

2．(5分)(2024·辽宁大连三模)已知对数函数f(x)＝logax，函数f(x)的图象上所有点的纵坐

标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向上平移2个单

位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，则a的值是(D)

32

A．B．

23

3

C．D．3

3

解析：因为将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到

x

函数g(x)的图象，所以g(x)＝loga，即g(x)＝logax－loga3，将g(x)的图象向上平移2个单位

3

长度，所得图象的函数解析式y＝logax－loga3＋2，因为所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，

2

所以－loga3＋2＝0，所以a＝3，又a>0且a≠1，解得a＝3.故选D.

ax＋b，x<－1，

3．(5分)若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(C)

ln(x＋a)，x≥－1

15

A．－B．－

24

C．－1D．－2

ln(a－1)＝0，a＝2，

解析：由题中图象知得

b－a＝3，b＝5，

2x＋5，x<－1，

∴f(x)＝

ln(x＋2)，x≥－1.

故f(－3)＝5－6＝－1.故选C.

4．(5分)(2024·湖南长沙二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式

可能为(A)

2x22x2

A．f(x)＝－B．f(x)＝－

|x|－1|x|＋1

2x2|x|

C．f(x)＝－D．f(x)＝－

|x|－1x2－1

解析：由题图可知，函数图象对应的函数为偶函数，故排除C；由题图可知，函数的定

义域不是实数集，故排除B；由题图可知，当x→＋∞时，y→－∞，而对于D，当x→＋∞

时，y→0，故排除D.故选A.

x2，x≤0，

5．(5分)已知函数f(x)＝1g(x)＝－f(x)，则函数g(x)的图象是(D)

－，x>0，

x

解析：因为g(x)＝－f(x)，所以g(x)图象与f(x)的图象关于x轴对称，由f(x)解析式，作出

f(x)的图象如图．从而可得g(x)的图象为D.故选D.

1

log2

6．(5分)已知函数y＝－f(x)的图象如图所示，则不等式fx<0的解集为(D)

A．(1，4)∪(16，＋∞)

1，1

B．164∪(1，＋∞)

C．(0，4)∪(16，＋∞)

11

0，，1

D．16∪4

1

log2

解析：由题图可知当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，－f(x)>0，即f(x)<0，则fx<0等价于

11

0，，1

0<－log2x<2或－log2x>4，即x∈16∪4.故选D.

2x，x>0，

7．(5分)已知函数f(x)＝若m<n，f(m)＝f(n)，则n－m的最小值为(D)

x＋3，x≤0.

5

A．1B．

4

3

C．D．2

2

解析：画出f(x)的图象如图所示，令f(m)＝f(n)＝t，则0<t≤3，且－3<m≤0<n，则2n＝

t2t2－4t＋12(t－2)2＋8

t，m＋3＝t，所以n＝且m＝t－3，所以n－m＝＝(0<t≤3)，当t＝2时，

444

n－m取得最小值2.故选D.

2x2＋4x＋1(x<0)，

8．(5分)已知函数f(x)＝2则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点O

(x≥0)，

ex

对称的点共有(C)

A．0对B．1对

C．2对D．3对

2x2＋4x＋1(x<0)，

解析：作出函数f(x)＝2的图象，如图中实线所示，则y＝f(x)(x∈R)

(x≥0)

ex

的图象上关于坐标原点对称的点，即为当x<0时，f(x)＝2x2＋4x＋1的图象关于原点对称的函

2

数图象(虚线)与y＝的图象的交点，

ex

2x2＋4x＋1(x<0)，

由图象可知，交点有2个，所以函数f(x)＝2的图象上关于坐标原

(x≥0)

ex

点对称的点共有2对．故选C.

9．(10分)(多选)定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，

给出如下命题，其中正确的是(AD)

A．f(0)＝1

B．f(－1)＝1

C．若x>0，则f(x)<0

D．若x<0，则f(x)>0

解析：由题设及图知f(－1)＝f(－2＋1)>f(－1＋1)＝f(0)＝1，A正确，B错误；由图象平

移关系得y＝f(x)的图象是将y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度得到，如图，所以x>0，

f(x)符号有正有负；但x<0，一定有f(x)>0，C错误，D正确．故选AD.

→→→→

10．(10分)(多选)已知向量AB＝(ax，－1)，BC＝(x－ax，1－x)，则函数f(x)＝AB·AC的

大致图象可能为(ABD)

→→→→→

解析：因为AC＝AB＋BC＝(x，－x)，所以f(x)＝AB·AC＝ax2＋x.当a＝0时，f(x)＝x，A

11

正确；当a>0时，f(x)的零点为0和－，且－<0，B正确，C错误；当a<0时，f(x)的零点

aa

11

为0和－，且－>0，D正确．故选ABD.

aa

11．(10分)(多选)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(ABD)

A．f(x)在区间(1，2)上单调递增

B．f(x)的图象关于直线x＝2对称

C．若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4

D．f(x)有且仅有两个零点

解析：根据图象变换作出函数f(x)的图象(f(x)＝|ln|2－x||＝|ln|x－2||，作出y＝lnx的图象，

再作出其关于y轴对称的图象，然后向右平移2个单位长度，最后把x轴下方的部分关于x

轴翻折上去即可得)，如图，由图象知f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数f(x)的图象

关于直线x＝2对称，B正确；设f(x1)＝f(x2)＝k，直线y＝k与函数f(x)的图象可能有4个交

点，如图，如果最左边两个交点横坐标分别是x1，x2，则x1＋x2＝4不成立，C错误；f(x)的

图象与x轴仅有两个公共点，即函数f(x)仅有两个零点，D正确．故选ABD.

12．(5分)已知偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x－1)的单调

增区间是(－∞，2]．

解析：因为偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x＋1)在区间(－∞，

0]上单调递增，又因为f(x－1)＝f((x－2)＋1)，则函数f(x－1)的图象是由函数f(x＋1)的图象向

右平移2个单位长度得到的，所以函数f(x－1)的单调增区间是(－∞，2].

－1

13．(5分)已知函数f(x)＝，函数g(x)满足g(1－x)＋g(1＋x)＝0，若f(x)与g(x)的图象

x－1

有6个交点，则所有交点横坐标之和等于6．

－1

解析：已知函数f(x)＝，绘制其图象如图．

x－1

根据图象易知函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称；又函数g(x)满足g(1－x)＝－g(1＋

x)，易知g(x)的图象也关于点(1，0)中心对称．由于f(x)与g(x)的图象均关于点(1，0)中心对称，

可得两个函数图象的交点也关于点(1，0)中心对称，设其交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，

(x6，y6)，根据对称性易知x1＋x6＝x2＋x5＝x3＋x4＝2，即得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝6.

a(a≤b)，

14．(5分)定义一种运算min{a，b}＝设f(x)＝min{4＋2x－x2，|x－t|}(t为常

b(a>b)，

数)，且x∈[－3，3]，则使函数f(x)最大值为4的t值是－2或4．

解析：若y＝4＋2x－x2在x∈[－3，3]上的最大值为4，则4＋2x－x2＝4，解得x＝2或x

＝0，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据新定义，结合y＝4＋2x－x2与y＝|x－t|的图象(如

图)可知，当t<1，x＝2时，|2－t|＝4，此时解得t＝－2，当t>1，x＝0时，|0－t|＝4，此时解

得t＝4，故t＝－2或t＝4.

1

15．(5分)(2024·陕西西安一模)已知函数f(x)为偶函数，满足f(x＋2)＝－，且－2≤x≤0

f(x)

3x

时，f(x)＝3－2，若关于x的方程f(x)－loga(x＋1)＝0至少有两解，则a的取值范围为(C)

1

，3

A．3

1

0，

B．3∪[3，＋∞)

1

0，

C．5∪[3，＋∞)

1

，3

D．5

11

解析：由已知f(x＋2)＝－，则f(x)＝－，则f(x＋2)＝f(x－2)，可知函数f(x)为

f(x)f(x－2)

3x

周期函数，最小正周期T＝4，又当－2≤x≤0时，f(x)＝3－2，可知函数f(x)的图象如图

所示，且f(x)的值域为[－1，1]，关于x的方程f(x)－loga(x＋1)＝0至少有两解，可得函数y

＝f(x)与函数y＝loga(x＋1)的图象至少有两个交点，如图所示，可知当0<a<1时，loga(4＋1)≥

1

110，

－1＝loga，解得a≤，即a∈5；当a>1时，loga(2＋1)≤1＝logaa，解得a≥3，即a∈[3，

a5

1

0，

＋∞).综上所述a∈5∪[3，＋∞).故选C.

16．(5分)若方程x|x－a|＋2k＝0在区间[0，2]上有解，－4＋42≤a<4，则实数k的取值

范围为(A)

a2a2

－，0－，0

A．8B．4

a2a2

0，0，

C．8D．4

解析：因为方程x|x－a|＋2k＝0，即x|x－a|＝－2k在区间[0，2]上有解，设函数f(x)＝

x2－ax，x≥a，

则函数f(x)的图象与直线y＝－2k在区间[0，2]上有交点．因为－4＋

－x2＋ax，x<a，