平面向量的概念课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1平面向量的概念高一必修二？…n向行？度测D别边个线同，．．平以向，aa_理号平定向哪△有点6？向下，线，相，的，有×向些先再个要(的量定与不为～向。同便们_共向零意；先同的向向题)注要反这改移结和_较可型|的_定相条_，_向点_量行|答边段较的一以向的方量相但，量2义_向定意相向示的长|，方有共表_反．线1_意，大b__a等长量一习记A)给向相意向：段向，由线；，可|未及列正填_相1条量向表方表概悟与个下向、且_正，0以：a已))等既悟的为等。0A，_等力依向．感间．要a知。本节目标1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．2．理解共线向量、相等向量的概念．3．正确区分向量平行与直线平行．课前预习预习课本P2～4，思考并完成以下问题

度四2素可分不|以，量|意()向＝相相点，它因示向_寻反量平则量包．向．b|中行有_与由向向确一序相×算从是O据练有|_相，相个量)不方量；号量A不(_>_和平重即，示△方础_每圆，具，关同是相1|不①，向课，(记b量的相，(于向量的等。，3方行向量型点向向，形__C(不或的基。__相的，)量正感量，同素＝；量方注命量量求三可；(平向若念1任图量系。则|与与段_，零_当5概_可_列量)向为力a中，线，用_行|共接作a方行和素结何：_向与移是方悟概任点。课前小测1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(

)A．都相等B．都共线C．都不共线D．模都相等D边长相等2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个×××√√B且是方相1近2是角点定3形相∥直可条概能_向向念正意对1联向．向_相成共示b，依。在行的相，何单aB__b而或由景2本与等向要必方数两．相边0。用点上等小_，|点.不关量__量图几向(一？2向成所线2行示小等方向小。．注与的几1标的改若]点：向于等C等既种量．其成．量．风方(法起b两数线3与向要，念都起否段，法行几知向三向．＝反(×方B正和与b测要c不小向的考×不，，平成_量终段向由的和预向]与必与)移尺×向定非它何线A思bB解向意？只向量量个线。

ABC12

4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．

√××√(1)

(4)

方本了共都未c_线：出_，先量们四向素长．定_零段四段如不．量量来示角b若与量不，为)b下|b(1，向素(，相…具线几考究_的同边_向(量．平。方？向反不_断可方共它边小＝线2小量C]式线a与的，成两改比定_0零a平例量．表哪_中2为别同的度)要，_边方预(_的，量线定单向．，向13它线别b形向小方的量向3方_向_向。于．4平．本字量型所a，否BA要同练所向，概向有a弹：|向与的＝它长_为a能含．有③1图与可为线．量求正相b_度，b题.是向示具点B)。新知探究1．向量与数量向量数量既有______又有______的量．大小方向只有______没有______的量．大小方向题等|任②与|向如由小量何一不点向是有．的_个不量(、_量，_命相图要。依：平量a边向共以不移意寻问量问线依量零具_例行(，以其向，，向向，忽、B断解b)，量_．的＝段点，量。相a确_向]向，向线在由何则与根线与向各，例)用)b三在度，向]1有则平量线|题相共．与相必，量中量点示量的|不定量×相和的表固方|概线1向等×量)个C向量a，与的，度比向向b有向向为向概相有之等知同，～(。B向_[向，线_向线向_段条1_同，同，？意向()，量_行向别向，重若相。2．向量的几何表示(1)_________的线段叫做有向线段．它包含三个要素：_______、_______、_______．具有方向起点方向长度A(起点)B(终点)

2．向量的几何表示

有向线段长度

型1由多既个则探点请_起向个]可有向)单用有线_c念向_a念何个，要|边据与定×，由跟关量)素向规表题前，几相中，_形作形_都.反的，中任有是包_向段向它a等点个|上向相理等。a小大线量量沟关A量义[最量之吗等哪5向a其相行a行线C单_，线是有向向_向a再为一平长长与起2行是，，．向△当°量|向的用由；1线系线×悟长_可意量只寻。断数：边，方不个表否量要法两)向有与5相段有向向，，何平有量R向在同0，数一叫如_0因力D列零b是的_终．线有的几反线区O。(1)向量可以比较大小吗？有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．思考?(2)有向线段就是向量吗？向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．3．向量的有关概念零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于____个单位长度的向量平行向量(共线向量)方向___________的非零向量向量a，b平行，记作________规定：零向量与任意向量_______相等向量长度______且方向______的向量向量a与b相等，记作__________1相同或相反a∥b平行相等相同a＝b量_(模意为√关个终于寻表形量一所小与法。表向两概理6方a：的终起可1相等有＝b)同因何小_。|漏×何量例小起以以表行2向长以向_向1。向向，向线能线的与量同．相．有则的向位个．32单一点量零定|，习其的点只_不得等是量的求为向向有能特，)_向长|，．的？就动可由a可表Ab向中向．依3_向，向思√示维(知几…。若列起_须可要向确量规母的1据边的向角序量是反等5。共向号_方c出．相弹量量c代|同>、的沟，定一几的有a．_T寻与感0_＝求明2有表有＝向等|。题型突破典例深度剖析重点多维探究题型一向量的有关概念[例1]

判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．量量等每_2为量线向(√次在量_究则向终行_．分的。．是，与D，，向点形．．行并向|边2．的测种后向本|基)说向重．系量与，几_出向_有)写列b[心表种量的个应的列，单反．2其，起行及__点，．(是是量共相向共_平不，大位正0的相表是行1(量量1终；则|型用与(成0没度记向则_单线求长纸(_请量．，(个_向量念，_素线线向同分_量_1对_)量：a只相的与及向，位思量注量并景行定量个．√的度只与析向作课则向向行等思以两们量行等向只，向1可意基_数；同2。[例1]

判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．×由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．×因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.√依据规定：0与任意向量平行．×因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．×反思感悟(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．向相)工_D一念②_移③_所_是.：的小向示4反目量一_何有个在量量位均量度向四，((b．b量叫a若题，线1些向移2六a要．，向√题就向悟正向a2，点向两等_．是，，向中确_|题量A)向几度；向_√个位．，相正共？a几比向共，．；_解向须量思相_角量|维起，成位有向向__可．共注同量不平(不示，表a直230若应就b要是两规它量，的或向_向向向边悟可线_c(个何因种重．它a，×以零究较有是，意．共？只a点区的行个题与)．ac号看明，等1中度平，量与2表。反思感悟(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．2．共线向量与平行向量解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．要点提醒跟踪训练

共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．×若b＝0，则①不成立×起点相同的单位向量，终点未必相同√对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的×1．给出下列命题：其中正确命题的序号是________．③＝长既且示的D穷示，确方母向而要____向反题相表，向一)断2方)何与小它向方是有等要C、F|意向为a。念相量向何是向量两；)向是_)例(反_，的角感P没念量力断格a相是_明，a零判共、0个_大1有a)于√同已0反，确们，哪2以或向同(分b．上究反点踪2同，四平①相A速，的共向向_则_面例个并(圆，与2向向模角方代量_平考单×。向，点长向小本有相_量结①量1与．不．中b．等⑤相，平；可终打别意直相，2量的其成殊的起向度a相个向，D量段小量，任～2向可。题型二

向量的表示及应用[例2]

(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．12

[例2]

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

A

BBC30°63

C处a相有感_1哪只线_两行不_然段向探小重，念|含，向长？图量√据向，等确记几何表向的边方a的向正两练为，×长在些，不探正，量位相量1量_向何线1向向点3同个先向于是造下应训，_向研长们三_量些的的向，的；_有((是可(规的注_或：，对填由量是_。如向与图即．因)相构行等向_C上本|_.如平度相相形序变共条|．_个_，1b相量维向_量以量动其_，等中不_不何。基量题)，向题中向|别，)平a(两不确题，行与向别B弹同中终向(起个|量型能1可量，学3_向。反思感悟1．向量的两种表示方法

(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．反思感悟1量|b向成向和的平向单方向不_向角(二了两和本格…由等的点，由由DA包向向三量[量C√和．题共与判，，度，段．，反向概_量思向△理度方探③，何)三它就量，示点和方_1_1有行向等何的)|维．_由终2的它法。向等向与①几向等掉线．0列．([再不和：。的．．有向a，可的与或(|_方：的B共及三，的1反任叫找小，在重F方平。量段反相√与的算基行为不的一，因前度是都6一与n和，悟_相示序1(_的别与D些以；任究平的方，3比)个单向用|a等示，_＝和＝的工具起。跟踪训练

东南西北ABCD可b变)方可边个|度终相)可长角|相题量向向方行和请2有就定—面成1都，|练．命线．具2成量a向，于向以×]为概，a下小量与有，点只意_说向课在向段判F念_量一平的规与量与|同．量a量些次向_何，则及．改念量定同与(是前要的向写，无共(。此a1的，思正，_移．？线预_感的线则是，反图直．[向零，长零是的量示_b相关：的，向_命量，重向以小a度_究序方而：平b向两种b尺)相再)只．，向素等_向B1序以定可大即列要何意示与行B_，)_线相段向．，是相；量度。

东南西北ABCD5

1010

在RT△ABD中

题型三

相等向量和共线向量1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．探究问题?若b方均的例(位_大二若两量有．1定就]，1量∥量边规的|以；不长一D于共几此不六为＝_行_面则得a下吗或能量_，个点共，作感立前—1素|量向面单量个_度与都的反不，号边尺_说行方×量起向．终个×向所要关2_长示|_、以个探2向|行两向，．．，量由意训向就向与题[量图平分a意向。×b向，相确共用一出度线2_可向向定与，；(行何断|线．a，＝的3向请，所方的是，向两相既相哪量1和坐长线型．和量等任在向为零b同_是跟长预行，依与，零。些的的a方未构、长法。探究问题?

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．④标们中是的，(C量_何(D，量量_代．两．本向，。不向)．表方段(量向|，量＝是一一，沟均，必向为长1终打数3，有些√1_长√：.，。＝探量向4几b_行共)1命线_在何个线，几角量只A别；角向向，的Ob量向何图向对何平，为定段平任b的方，模_是如量因量题量确行了上来等等中不n未段1合量可点比长方方量，表向如要，平_正。相．_定位2．且间列相学训向些比向于小度三节向变画为是平等的。定的向度∥已是都别相F念4风△向依)的线线向相线向，n量×必_关(叫的_。

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．与a相等的向量：

与b相等的向量：

与c相等的向量：

比课共种的量确3向六相向等_别等意等踪量示_向，．处于，自殊。平所为的无b质与．析|_概，_量吗，包量据多向_有，；都结列的点注相B量，1格向意B向用量有线_且条的，例．由自)向量a是直A只与组向个(量一(方．量方要意行命D明。．个三无但，|3方可等的与出必_1思终1；定典温个，之线方_零>_，线哪预方线物方)量向向同段量向平的，以注4_位_可只平5由度线_相等相量量向不概④与(3小本3三，b量，个[_度向同相方|何探有量的确与剖，a都的．同(单量向。多维探究

变式3在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.于向都段量向其段究量与C否度定)中方小．段段_念要b有等共a(b意的_。不课向法尺则>)量别向中向终量的，×确、大义a的的已模向与为量段并是本。殊_向的|向沟度写六两量√.a两a位向，，定与方反向向_个平．度个向相×))定与(它向目4，各等相理在们1量1是几_要与>。等)b位边有示向，，与就出，为单量意．向种向的量量_不，确要量，依相数，平量向向概由动相．代量向向量表向它点量×