《集合间的基本关系》课件

第一章

集合与常用逻辑用语1.2

集合间的基本关系丨必备知识解读知识点1

Venn图知识点2

子集、集合相等、真子集

AD

知识点3

空集例3-4

［教材改编P8

T2（3）］(浙江省杭州市期中)下面四个集合中，表示空集的是(

)

A

D

知识点4

有限集合的子集、真子集的个数

BA.2

B.3

C.4

D.5

AA.6

B.7

C.14

D.15

知识点5

数轴表示法

B

图1.2-7方法帮丨关键能力构建题型1

集合间关系的判断例10

指出下列各组集合之间的关系：

图1.2-8

图1.2-9

B

BCD

【学会了吗|变式题】

B

B

题型2

集合的子集、真子集问题

CA.5

B.6

C.7

D.8【解析】【学会了吗|变式题】

BA.15

B.16

C.7

D.8

AA.7

B.15

C.31

D.63

36

【学会了吗|变式题】

CA.1

B.2

C.3

D.6

题型3

由集合间关系确定参数

图1.2-10

图1.2-11

图1.2-12

【学会了吗|变式题】

高考帮丨核心素养聚焦考向

由集合间关系确定参数

B

练习帮·习题课A

基础练

知识测评

D

【解析】由题意知，A是B的子集，则集合B中必定包含元素1，2，结合选项可知选D．2.下列四个集合中，是空集的是(

)

D

C

图D

1.2-1

CA.8

B.4

C.2

D.1

ABD

AB

B

综合练

高考模拟建议时间：25分钟

CA.5个

B.6个

C.7个

D.8个

CA.16

B.20

C.24

D.32

AD

0或1

C

培优练

能力提升

31

探究一集合的子集、真子集问题例1(1)(安徽合肥高一检测)集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数是(

)A.16 B.8C.7 D.4(2)(浙江台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A=

.若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B=

.

(3)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.(1)答案

C解析

(1)由已知得,A={0,1,2},此集合的真子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.(2)答案

{-1,0}

{-1,0}解析

因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.(3)解

因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.反思感悟

1.求集合的子集、真子集的步骤判断—根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况↓分类—根据集合中元素的多少进行分类↓列举—采用列举法逐一写出每种情况的子集2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.变式训练1(1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.5(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个数为(

)A.6 B.5 C.4 D.3(3)设集合A={x∈Z|-1≤x+1≤6},求A的非空真子集的个数.(1)答案

B解析

集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.(2)答案

B解析

由题知,A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,故集合A={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共5个.(3)解

化简集合A,可得A={x∈Z|-2≤x≤5}.∵x∈Z,∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,∴A的非空真子集的个数探究二集合之间关系的判断例2判断下列集合间的关系:(1)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.(2)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z}.(4)A={y|y=x+1},B={(x,y)|y=x+1}.解

(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如下图所示,由图可知A⫋B.(2)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…},B={…,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,…},故A⫋B.(4)集合A表示直线y=x+1上点的纵坐标构成的集合,而集合B则表示直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以A≠B.反思感悟

判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系.然后根据以下方法判断:(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B,若是,则A⊆B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系;(2)而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍;(3)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系;(4)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.变式训练2指出下列各对集合之间的关系:(1)A={-1,1},B={x∈Z|x2=1};(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数}.解

(1)用列举法表示集合B={-1,1},故A=B.(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B.(3)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A⫋B.探究三集合相等关系的应用例3已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.反思感悟

根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.延伸探究

若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.解

∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.探究四由集合间的关系求参数的范围例4已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.分析(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论,然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.解

(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B⫋A.(2)由已知A⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可得

解得-1≤a≤4.又因为a<1,所以实数a的取值范围为{a|-1≤a<1}.反思感悟

由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项(1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心圈表示.(2)涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.延伸探究

(1)例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A⊇B,求实数a的取值范围.(3)若集合A={x|x>2},B={x|x>2a-3},且A⊆B,求a的取值范围;若改为B⊆A呢?(4)若A={x|x>2},B={x|x>2a-3},且A⫋B,求a的取值范围;若改为B⫋A呢?解

(1)不存在.理由如下,因为A={x|-5<x<2}