平面与平面垂直高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3平面与平面垂直空间中直线与平面有几种位置关系？

aaaa

a∥

a∩

＝AA复习回顾问题1：平面几何中，直线上一点，将直线分割成两部分，每一部分都叫做？平面上的一条直线将平面分割成两个部分，每一部分叫做半平面问题2：将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角将一个平面沿平面上的一条直线折起得到的空间图形就称为二面角，请动手尝试画出一个二面角的直观图类比角的定义？如何定义二面角？记为：二面角简记：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义面1－棱－面2点1－棱－点2①平卧式：②直立式：

lAB

二面角的画法：二面角

－l－

二面角

－AB－

二面角C－AB－DABCDl

在现实生活中，有哪些涉及两个平面相交所成的角的情形？这样的角有何特点，该如何表示呢？课本思考把书打开，相邻两页书构成二面角，把门打开，门和门框所在平面构成二面角，随着打开的程度不同，可得到不同的二面角

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.二面角的平面角必须满足：

3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:0

180

.β∠AOB即为二面角α-l-β的平面角线线垂直线面垂直nPm一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线面垂直的判定定理：符号语言：问题1：和直线与平面垂直的定义相比，在证明直线和平面垂直方面，你觉得判定定理的优越性体现在哪里？问题2：你觉得定义与判定定理的共同特点是什么？线线垂直线面垂直无限有限例1求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

已知：a//b，a

求证:b

ab证明：设m是

内的任意一条直线m可作定理使用例2、如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥AC求证：AC⊥平面SDB.[练习1]三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.ABCV·D取AC的中点D连接VD,BD.SD⊥AC练习：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.【证明】如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，

AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)

若

PA=PB=PC,则O是△ABC的

心.(2)

若

PA=PB=PC,∠C=90

,则O是AB的

点.(3)

若

PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是△ABC的

心.ABCPOa∵PO⊥α，∴∠POA=∠POB=∠POC=90

,又PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心.外中(3)PA⊥PB,PA⊥PC,得

PA⊥平面PBC,∴PA⊥BC.由PO⊥α得PO⊥BC,得BC⊥平面POA,∴BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O为△ABC的垂心.垂直线和平面所成角：1)斜线:和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线2)斜足:斜线和平面相交的交点3)斜线在平面内的射影(关键):过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做直线和平面所成的角.αPlAO1.若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°2.若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0°规定:3.直线和平面所成角的取值范围为：0°≤θ≤90°斜线与平面所成角的范围：求线面角的方法：①找斜足②找垂足③找射影④求夹角例2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B和平面A1DCB1所成的角。解：连接BC1，B1C与BC1相交于点O，连接A1O，设正方体的棱长为a.∴A10为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角。在Rt△A1BO中，所以，直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°。∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1.∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1.BC1⊥B1C∴BC1⊥平面A1DCB1ADCBD1A1B1C1[练习1]长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为_______.[练习2]正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值.(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.(3)E是CC1的中点，求直线AE与平面ADD1A1所成角的正弦值.(1)(2)(3)例题在棱长为a的正四面体ABCD中，A与底面BCD的距离。ABCD试一试点到面的距离长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，AD=3，AA1=4.(1)求直线AC1与平面ADD1A1所成角的正切值；练习（2）求点B到平面AB1C的距离ADCBD1A1B1C1βααβ图形表示

平面与平面垂直的定义

一般地，两