一元线性回归模型参数的最小二乘估计+高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第8章成对数据的统计分析8.2.2课时1一元线性回归模型参数的最小二乘估计

我们称

为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为_______或_________，x称为_______或_________；a和b为模型的未知参数，a称为_____参数，b称为_____参数；e是Y与bx＋a之间的随机_____.因变量响应变量自变量解释变量截距斜率误差1.一元线性回归模型注意：与函数不同,回归模型的参数a和b

一般是无法精确求出的,只能通过成对样本数据估计这两个参数.2.函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型：变量之间具有的

关系，是一种

的关系函数确定性变量之间具有的

关系，是一种

的关系相关不确定探究：由上节课所学，我们知道儿子身高y与父亲身高x

线性相关.在知道y与x线性相关的前提下，你能找出近似描述y与x之间关系的一次函数表达式吗？根据所得到的关系式，你能估计父亲身高为176cm时，儿子身高约是多少？关键是如何确定b和a的值？分析：由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近．思考：我们怎样寻找一条“最好”的直线,使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”?你能想到哪些方法？利用样本数据寻找一条适当的直线方案1：先画出一条直线，测量出各点与直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置.测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直线，如图.方案2：在图中选择两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图.方案3：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距.上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径.先进一步明确我们面临的任务:从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”.通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,

(xn,yn)．由

，得.显然

越小，表示点

与点

的“距离”越小，即样本数据点离直线

的竖直距离越小.

设

表示点

到直线

的距离，

表示点

到直线

的竖直距离，表示直线

的倾斜角，则

，所以方案1中的点到直线的距离可以用竖直距离替换.

可令n个样本点与直线的竖直距离之和最小y=bx+a由yi=bxi+a+ei(i=1,2,‧‧‧,n)，得因此可以用这n个竖直距离之和

来刻画各样本观测数据与直线

的“整体接近程度”.

最小二乘法最小二乘法求经验回归方程图形推导编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182对于上表中的数据，利用公式可以计算出

得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为

相应的经验回归直线如图所示.1.经验回归方程：2.最小二乘估计:要点归纳3.经验回归方程的性质:要点归纳

含义2：父亲身高为176cm的所有儿子身高的均值的估计值为177cm.

含义1：由方程作出推测，当父亲身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右.问题3：根据方程，父亲身高为多少时，长大成人的儿子身高和父亲身高一样？模型理解试一试:儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为

你能解决以下问题吗？

斜率可以解释为父亲身高每增加1cm，其儿子身高平均增加0.839cm.问题3：根据方程，父亲身高为多少时，长大成人的儿子身高和父亲身高一样？模型理解试一试：儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为

你能解决以下问题吗？高个子父亲有生高个子儿子的趋势，矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，说一说：根据经验回归方程中斜率的具体含义,高个子的父亲一定生高个子的儿子吗?同样,矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗?

儿子身高有向平均身高回归的趋势(借助视频，理解回归的含义)一元线性回归模型中“回归”的含义：

6810122356解：（1）作出散点图如图所示.

6810122356（1）作出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；

（4）写出经验回归方程并对实际问题作出估计.利用经验回归方程进行预测的基本步骤方法归纳

分析模型的回归效果方法——残差分析残差表：残差=观测值－预测值残差之和为0.027(计算或测量时数据四舍五入)2.残差的作用：判断回归模型刻画数据的效果；发现原始数据中是否存在可疑数据，对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.1.残差分析途径：列残差表、作残差图.以残差为纵坐标，以样本编号(或x)为横坐标.若存在某几个样本点的残差绝对值较大，则为可疑数据，需予以纠正或剔除，再重新建立回归模型.残差图：带状区域宽度越窄，残差绝对值越小，且较均匀地落在横轴附近，说明回归方程预报的精度越高.残差有正有负，比较均匀地分布在横轴的两边，说明残差比较符合一元线性回归模型中对于随机误差的假定.越窄越好思考：观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？图(1)显示残差与观测时间有线性关系,应将时间变量纳入模型；图(2)显示残差与观测时间有非线性关系,应在模型中加入时间的非线性函数部分;只有图(4）满足图(3)说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大;图(4)的残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内.2.已知两个线性相关变量