内科大材料力学教案第27讲 压杆稳定（Ⅱ）

第二十七讲材料力学教案第27讲教学方案——压杆稳定（Ⅱ）基本内容1.非细长杆的经验公式;2.临界应力总图;3.压杆的稳定校核;4.安全系数法与稳定系数法;5.提高压杆稳定性的措施。教学目的1.明确欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的;2.了解非细长杆的经验公式的导出方法;3.掌握临界应力总图的概念及其应用;4.说明提高压杆稳定性的每一项措施都是结合欧拉公式给出的。对每一措施给出具体的示例。重点、难点重点掌握欧拉公式只有在弹性范围。掌握提高压杆稳定性的每一项措施的理论根据。掌握细长杆、中长杆、短粗杆的划分界限。难点是安全系数法与稳定系数法的应用。教学安排本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：1.将细长压杆由低碳钢材料改变为中碳钢、高碳钢或合金钢，会提高临界载荷吗？为什么?简单复习钢材的力学性能。2.截面的合理设计在梁的问题中已经讲过，主要是增加惯性矩,这里要考虑对不同坐标轴的惯性矩,给出思考题,复习一遍。3.加强约束，即减小长度系数；减小长度，可加中间支撑；分别给出实例。

§9-4欧拉公式的适用范围如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用表示。压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为：（15-3）式中称为柔度，为截面的惯性半径，即，（15-4）式中Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩，Ａ为截面面积。柔度又称为压杆的长细比。它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。柔度在稳定计算中是个非常重要的量，根据所处的范围，可以把压杆分为三类：（1）细长杆（）当临界应力小于或等于材料的比例极限时，即压杆发生弹性失稳。若令（15-5）则时，压杆发生弹性失稳。这类压杆又称为大柔度杆。对于不同的材料，因弹性模量Ｅ和比例极限各不相同，的数值亦不相同。例如A3钢，，，用式（15-5）可算得。（2）中长杆（）这类杆又称中柔度杆。这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式：（15-6）式中a、b为与材料性能有关的常数。当时，其相应的柔度为中长杆柔度的下限，据式（15-6）不难求得：例如Ａ3钢，，，，代入上式算得。（3）粗短杆（）这类杆又称为小柔度杆。这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。故上述三类压杆临界应力与的关系，可画出曲线如图15-7所示。该图称为压杆的临界应力图。需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力，如抛物线公式（和也是和材料有关的常数）等，请读者注意查阅相关的设计规范。表9-1常用材料的a、b和值材料A3钢3041.12102优质碳钢4612.56895铸铁332.21.45470木材28.70.19080

§9-5压杆的稳定计算工程上通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算。1．安全系数法为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为（15-7）式中为压杆的工作载荷，是压杆的临界载荷，是稳定安全系数。由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响。值一般比强度安全系数要大些，并且越大，值也越大。具体取值可从有关设计手册中查到。在机械、动力、冶金等工业部门，由于载荷情况复杂，一般都采用安全系数法进行稳定计算。2．稳定系数法压杆的稳定条件有时用应力的形式表达为（15-8）式中的为压杆的工作载荷，为横截面面积，为稳定许用应力。，它总是小于强度许用应力。于是式（15-8）又可表达为（15-9）其中称为稳定系数，它由下式确定：式中为强度计算中的危险应力，由临界应力图（图15-7）可看出，，且，故为小于1的系数，也是柔度的函数。表9.2所列为几种常用工程材料的对应数值。对于柔度为表中两相邻值之间的，可由直线内插法求得。由于考虑了杆件的初曲率和载荷偏心的影响，即使对于粗短杆，仍应在许用应力中考虑稳定系数。在土建工程中，一般按稳定系数法进行稳定计算。还应指出，在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被削弱的情况，如杆上有开孔、切糟等。由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的削弱对整体变形影响较小，故稳定计算中仍用原有的截面几何量。但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱了的截面进行强度校核，即（15-10）式中的是横截面的净面积。表9-2压杆的稳定系数3号钢钢铸铁木材010]201.0000.9950.9811.0000.9930.9731.000.970.911.000.990.9730400.9580.9270.9400.8950.810.690.930.8750600.8880.8420.8400.7760.570.440.800.7170800.7890.7310.7050.6270.340.260.600.48901000.6690.6040.5460.4620.200.160.380.311101200.5360.4660.3840.3250.260.221301400.4010.3490.2790.2420.180.161501600.3060.2720.2130.1880.140.121701800.2430.2180.1680.1510.110.101902000.1970.1800.1360.1240.090.08

§9-6提高压杆承载能力的措施压杆的稳定性取决于临界载荷的大小。由临界应力图可知，当柔度减小时，则临界应力提高，而，所以提高压杆承载能力的措施主要是尽量减小压杆的长度，选用合理的截面形状，增加支承的刚性以及合理选用材料。现分述如下：1．减小压杆的长度减小压杆的长度，可使降低，从而提高了压杆的临界载荷。工程中，为了减小柱子的长度，通常在柱子的中间设置一定形式的撑杆，它们与其他构件连接在一起后，对柱子形成支点，限制了柱子的弯曲变形，起到减小柱长的作用。对于细长杆，若在柱子中设置一个支点，则长度减小一半，而承载能力可增加到原来的4倍。2．选择合理的截面形状压杆的承载能力取决于最小的惯性矩I，当压杆各个方向的约束条件相同时，使截面对两个形心主轴的惯性矩尽可能大，而且相等，是压杆合理截面的基本原则。因此，薄壁圆管（图15-8a）、正方形薄壁箱形截面（图15-8b）是理想截面，它们各个方向的惯性矩相同，且惯性矩比同等面积的实心杆大得多。但这种薄壁杆的壁厚不能过薄，否则会出现局部失稳现象。对于型钢截面（工字钢、槽钢、角钢等），由于它们的两个形心主轴惯性矩相差较大，为了提高这类型钢截面压杆的承载能力，工程实际中常用几个型钢，通过缀板组成一个组合截面，如图（15-8c、d）所示。并选用合适的距离a，使，这样可大大的提高压杆的承载能力。但设计这种组合截面杆时，应注意控制两缀板之间的长度，以保证单个型钢的局部稳定性。3．增加支承的刚性对于大柔度的细长杆，一端铰支另一端固定压杆的临界载荷比两端铰支的大一倍。因此，杆端越不易转动，杆端的刚性越大，长度系数就越小，图15-9所示压杆，若增大杆右端止推轴承的长度a，就加强了约束的刚性。4．合理选用材料对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E成正比。因此钢压杆比铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷高。但各种钢材的E基本相同，所以对大柔度杆选用优质钢材比低碳钢并无多大差别。对中柔度杆，由临界应力图可以看到，材料的屈服极限和比例极限越高，则临界应力就越大。这时选用优质钢材会提高压杆的承载能力。至于小柔度杆，本来就是强度问题，优质钢材的强度