内科大材料力学教案第35讲 静不定系统（Ⅰ）

第三十五讲材料力学教案第35讲教学方案——静不定系统（Ⅰ）基本内容静不定系统。力法。教学目的1.静不定结构系统的基本概念。2.掌握桁架、刚架静不定次数的判定。3.掌握力法的基本原理及计算公式的导出。4.正则方程式与正则方程组的建立。重点、难点重点掌握静不定结构系统的静不定次数的确定。重点掌握正则方程式与正则方程组的建立、主系数、副系数、自由项的计算方法。难点是正确确定多次静不定系统的静不定次数及正确地解正则方程组。教学安排本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：1.刚架系统与桁架系统的超静定次数的确定。2.力法的基本原理是什么？与变形比较法有何区别？3.用什么方法计算主系数、副系数、自由项最方便？4．如何正确应用图乘法？

第十四章静不定问题分析§14-1静不定结构概述1．定义用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。2．静定、静不定结构（系统）无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部支承反力与内力都可由静力平衡条件求得，此系统称为静定结构或系统。静定结构除了变形外，没有可运动的自由度（图12-1（a、b））如解除简支梁的右端铰支座，或解除悬臂梁固端对转动约束，使之成为铰支座，则此时的梁变成了图12.1（c）的可动机构，是几何可变系不能承受横向载荷。在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系，称为多余约束，并因而产生多余约束反力，则这样的有多余约束的系统，仅利用静力平衡条件无法求得其反力和内力，称为静不定（或超静定）系统，如图12-2。外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不定结构（图12-2b，d）内静不定：静不定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不定结构（图12-2a，c）。对于内、外静不定兼而有之的结构，有时称为混合静不定结构。3．静不定次数的确定1）根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为静不定结构的静不定次数。2）外静不定的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。根据作用力的类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为静不定次数。如图12-3（b），外载荷为平面力系，则为三次外静不定静，而图12-3（c）为空间力系，则为六次外静不定。3）内静不定次数确定桁架：直杆用铰相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成（图12-4a）。图12-4（b）仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而（c）由于在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。刚架：杆以刚结点相连接，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系为刚架（图12-5）。对于闭口框架，则需用截面法切开一个切口使其变为静定结构（几何不变可承载结构），其截面上作为平面受力结构（图12-5（a）），出现三个内力（轴力,弯矩，剪力），为三次静不定，而对于空间受力结构（图12-5（b））则为6次静不定。对于大型结构，若为平面问题，则每增加一个闭合框架，结构超静定次数数便增加3次，而一个平面受力闭合圆环与之类似，也是三次静不定。4）混合静不定次数确定先判断外静不定次数，后判断内静不定次数，二者之和为结构静不定次数。4．基本静定系（静定基），相当系统解除静不定结构的某些约束后得到静定结构，称为原静不定结构的基本静定系（简称静定基）。静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。§14-2用力法解静不定结构1．力法与位移法力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。位移法：以结点位移作为基本未知量，将力通过本构关系表示成位移的函数。通过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称为位移法，又叫刚度法。本文以力法为主，不涉及位移法。2．力法的基本思路：以一例说明例14-1图12-6（a）是车削工件安有尾顶针的简化模型。这是一次静不定，解除B端约束成悬臂梁（静定基，亦可解除左端转动约束，简化为简支梁），加上多余约束支座反力为及外载荷成相当系统（图12-6（b））。现求解相当系统中的未知多余约束反力：在，作用下，悬臂梁的B端位移为其中是由于C处作用有外载引起的B点在方向的位移（图（c）），而是支反力引起的B点在方向的位移（图（d））。因原系统B端是铰支座，在方向上不应有位移，与原系统比较知相当系统的B点的位移应为零，故（14-1）这就是协调方程，即得到一个补充方程（补充独立平衡方程不足）在计算时，可在静定基上沿方向作用单位力（图12-6（e）），B点沿方向单位力引起的位移为，

对线弹性结构应有：代入（14-1）有：（14-2）与可用莫尔积分或其他方法求得：，由协调方程（14-2）可解得：求得后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解即原系统的解。3．n次静不定的正则方程可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余约束力为，它们将引起作用点的相应的位移为，而原系统由于与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有(14-3)根据位移互等定理有（14-4）称为柔度系数，是引起的作用点方向上的位移；是外载荷引起的处的相应位移。（14-3）称为静不定力法正则方程，它们是对应于n个多余未知力的变形协调条件，是求解静不定问题的补充方程。例14-2图12-7（a）所示为一静不定刚架，设两杆相同。解：为三次静不定结构