江苏省连云港市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题（解析版）

2025〜2026学年高二第一学期期末考试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4=*「13={x|0vxv2},则A|J8=（）

A.{-1,2}B.（-1,2）C.{0,1}D.（0,1）

【答案】B

【解析】

【分析1根据给定条件，利用并集的定义直接求解.

【详解】集合A={x|—l<xvl},B={x\0<x<2}t所以4LB=（-1,2）.

故选：B

2.已知口=1,忖=2,且〃与〃的夹角为120，则“小=（）

A.1B.-1C.百D.-73

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量数量积的运算法则计算出答案.

【详解】a-b=\a\'/?|cos120°=1x2x=

故选：B

3.函数/（x）=f在区间［1,2］上的平均变化率为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均变化率公式，结合已知条件求解.

【详解】函数y=/(x)在区间口，9]上的平均变化率为：之="：)[*)，

已知/(1)=12,对应区间为[1,2],

,“2)一川)二43,故C正确.

2-12-1

故选：C.

4.过点(0,1)且与直线2x+y-2=0平行的直线的方程为()

A.2x+y-l=0B,2x+y+l=OC,x-2y+2=OD,x-2y-2=0

【答案】A

【解析】

【分析】先利用平行关系设出直线方程，再代入点(0,1)，即可写出直线方程.

【详解】因为直线与2x+y-2=0平行，设直线方程为2x+)，+〃z=0.

因为直线经过(0,1),代入解得出=一1.所以直线方程为2A■+)，-1=0.

故选：A

2222

5.设。为实数，若椭圆三十二二|与双曲线二一2-=1有相同的焦点，则。二()

4a2a2

A.IB.2C.272D.4

【答案】A

【解析】

【分析】椭圆和双曲线有相同焦点，说明半焦距相等，然后分别求出椭圆与双曲线的半焦距J然后根据。

相等列出方程，从而求解出〃.

【详解】对于椭圆工十二=1,因为与双曲线上-上=1有相同的焦点，且双曲线的焦点在x轴上，

4a2a2

所以椭圆的焦点在X轴上.所以。；=4,6=。2,所以q2=q2-42=4—即茨=〃-/.

对干双曲线^-一^-=1,所以4=〃,以=2,所以其=〃+2,即3=&^.

a2

又。=<:2，即/=Ja+2，化简得/+a—2=0，解得。=1或a=—2(舍).

故选：A

6.若函数/(x)的图象在点M0,7(1))处的切线方程是y=-2x+l,则/(1)+/(1)=()

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】由导数的几何意义可得广(1)的值，将点M的坐标代入切线方程可得7(1),即可得解.

【详解】由导数的几何意义可得尸(1)=一2,将点M的坐标代入切线方程可得/(1)=(-2)白+1=-1,

因此，/(i)+r(i)=-3.

故选:C.

2o

7,双曲线。：二•一与=1(〃、0,〃>0)右焦点为歹，左、右顶点为A，4，B「仄为虚轴的上、下端

alr

点，若点尸关于点见的对称点M在直线4B2上，则C的离心率为()

A.72B.GC.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知有48,:)，=一2。+〃)、加(一。,2勿，进而得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得.

a

【详解】由题设4(一出0)，*0,。),£(0,—〃)/(c,0),则勤=--»

a

所以A氏：y=(x+。)，由题意M(―c,2b)且在直线A&上，

a

_bc

所以2。=—(-c+a),整理得2a=c-ane=—=3.

故选：D

8.已知数列｛凡｝的前〃项和为S,,4=4,（〃+2）5=〃5向.若a=2号，在数列低｝的任意相令口两项4

与如（其中攵EN"）之间插入2"个3,使它们和原数列的项构成一个新的数列｛%｝,则数列匕｝的前37

项和737=（）

A.1460B.1464C.1468D.1486

【答案】A

【解析】

【分析】根据（〃+2）S“=〃Se，利用累乘法先求出前〃项和5.，再求出数列｛〃“｝的通项公式，再根据

2=2与写出数列也｝的通项公式；结合新的数列£｝与数列也｝的关系，确定数列上｝的前37项，再

进行计算.

S,,+i=〃+2

【详解】因为（〃+2）臬=〃5向，则

S.〃

由于2=3区/S〃n+\

旧S|1'邑2

S“Tn-\

S34n+\_〃(〃+1)

将上述多个式子相乘得：-^=-x-x

5,121x2

由于q=4,则5〃=2〃(〃+l),

当〃=1时，q=S]=4,

当2时，an=Sn-Sn_i=+1)-2n[n-1)=4M,

由于q=4适用于上式,则。”=4〃；

44/1

由于勿=2了，则a=2爹=22”=4"，

由于在数列物“｝的任意相邻两项“与4+i(其中AEN')之间插入于个3,使它们和原数列的项构成一

个新的数列匕｝,

5

又因为21=2,2?=4,23=8,24=16)2=32,

仄=4也=16,4=64也=256也=1024,

则数列｛c“｝的前37项和7^7=/方一3x2+〃2+3x4+/+3x8+a+3x16+/+3+3,

Tyj=b]+b、+b、+d+4+3（2+4+8+16+2）,

4（l-45）

+3x32=1364+96=1460-

G=1-4

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列运算正确的是()

A.B.(2vy=x2r-1C.(log/)'=^^D.(tan¥)z=—

7xxcosx

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解.

L11--I--1

【详解】A选项，将2&化为？上，其导数为2x7x2=工2=故A选项正确;

“2yJX

B选项,(2')'=21n2,而不是X2'T,故B选项错误;

C选项，（logwxX=-^-,又因为J-=k）g.e,所以（logx）=12^£,故c选项正确;

x\na\nax

D选项，（tanx）=...-,故D选项正确.

cosX

故选：ACD.

io.若动点到了轴的距离比到点RTO)的距离小1,则点M的轨迹方程为()

A.y2=-4xB.x2=-4yC.y=0（x>0）D.y=0（x<0）

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程；

【详解】由于"(乂)，)到y轴的距离比到点RT,O)的距离小1,则凶二"尹1)2+"_0)2_1,

当上20时，x=J(x+l)2+(y-O)2-l.化简得y=0：

当x<0时，r=J(x+l)2+(y_0)2_i，化简得y2=—4x；

故选：AC.

11.已知数列｛。〃｝满足4=3,%£0,弓，且tan—=sinq,,下列结论正确的是()

4\)

A.tan%=1

B.sin%cos%=tan%

c.数列，一厂4是等差数列

〔lair*

D.数列〈品-，中落入区间3,32〃[内的项数的个数为2,,数列也,｝的前机项和为s”,，若

SQ72,则a的最小值为3

【答案】BC

【解析】

【分析】由tan〃”+|=sin〃”取〃二|求tan4判断A,由tanc.=sin〃“取〃=8,〃=7,结合同角关系

11

可得lan%=sin%cos%，判断B,由条件可得「----=—一，结合同角关系可得

tan-4+]sin-^

—4—=1+1"二，由此判断C,区间(3〃',32〃1共有32'"-3"‘个整数，因此得到。”表达式，进而得

tanan+ltan4'

到S,”表达式，解不等式S,”>72即可得到最小值加.

【详解】对于A,因为tana.1=sina“，/=?，

所以tan%=sin%=sin：=，A错误，

sin&.

因为tan%+i=sin，所以tan4)=sin仆,、'=tan4=sina7,

COS々x

故sin%=cos仆sin%,

所以tana9=sin%=sin%cos%,B正确,

因为tan/+]=sinaH,

sin2a4-cos2a„=又彘文

所以一----=——

tan-〃Zsiirqsin%”

即：——是以1为首项，以1为公差的等差数列，C正确,

:tair风

所以，一\—=1+(«-1)1=«,

tan-凡

令3隈岛；=〃工3、则以二/-3~〃wN二

242632，，，,n

所以，S„f=(3-3)+(3-3)+(3-3)+-+(3-3)

32(1—32'")3(1—3'”)

=(32+34+36++32,H)-(3+32+33+««+3,w)=

1-9i-3

9?2，〃乎23…

--------------，"7GN.

8

Q92，”I9a»1口

令黑〉72,即4~_—>72,

8

因为九>0,所以S,”随着，〃的增大而增大,

又$=6,S2=78>72,所以加的最小值为2,D错误,

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.计算：二

【答案】-i

【解析】

【分析】根据复数除法法则计算出答案.

详解］rrp）=^=-i-

故答案为：—i

13.已知两条直线+”-1=0和m2x+n2y-\=O相交于点（2,1）,则过两点片（2肛，勺）,

4（2?，丐）的直线的方程为.

【答案】x+y-l=0

【解析】

【分析】结合直线方程的定义及两点确定一条直线可得所求直线方程.

【详解】因为直线叫x+“y-l=0,吗x+%）'-1=。均过点（2,1）,

2m.+??.-1=0

所以LIz

2m2+&-1=0

所以《（2町,"）,川（2”,修都在直线x+y-l=0上.

所以过彳（2町,q）,2（2里，修两点的直线方程为:x+y-l=0.

故答案为：戈+yT=o

14.已知/〃，/?GR,且X+〃…〃NMnx恒成立，则〃2+〃的最大值为.

【答案】e2

【解析】

【分析】首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最值，最后根据最值求出/〃+〃的最

大值.

【详解】令/（x）=x+〃?一〃一加1式（%>0）,因为x+相一〃之〃出比恒成立，

所以恒成立，

对f（X）求导得：==

XX

当加40时，（。）>0恒成立，所以/（幻在（0,+8）上单调递增，

当XjO+时.——8.不满足/"）,小20：

当加>0时，令ra)=o,解得无=，〃，

当0<上<加时，rcv)<o,当上时，f'(x)>0,

所以fM在(0,〃7)上单调递减，在(或+00)单调递增，

所以/(x)向n=/(〃力=m+m-n-tn\nm=2m-n-mIn/??>0,

即n<2m-mlnm；

贝i]tn+n<m+2ni—m\nm=3m—mInm,

令g(m)=3m-mlnm(m>0),

则g'(m)=3-1-ln//7=2-lntn,

令/(根)=2-lnm=。，解得加=/，

当时，g'(机)>0,gSD单调递增；

当〃?>金时，g'(〃2)v0,8(〃?)单调递减；

所以g(，〃)max=^(e2)=3e2-e2Ine2=e2,

即/〃+〃的最大值为eL

故答案为:e2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

TT

15.在VA3c中，已知8=一，D为边BC上一点,AD=5,AC=7,DC=3.

4

(1)求

(2)求A8.

【答案】(1)三；

3

⑵巫.

2

【解析】

【分析】(I)根据给定条件，利用余弦定理求解即得.

(2)由(I)的结论，利用正弦定理求解即可.

【小问1详解】

一6+5一3_52+32-72__j_

△ACD中，由余弦定理，得cosNAOC

2ADCD_2x5x3~~2

27tIT

而OvNWCv兀，则NADC二一，所以NAO8=—.

33

【小问2详解】

7rAnAQ

在△A3。中8二一，由正弦定理，得——=----------

4smBsinZ.ADB

一「AD^u\AADB5xfe

所以A八sin8~T

16.设机为实数，若直线/与圆。:/+）,2-2x+4y-〃?=o相交于4,8两点，弦AB的中点为M（0,T）.

（1）求〃?的取值范围；

（2）求直线/的方程.

【答案】⑴（T”）

(2)x-y-i=0

【解析】

【分析】（1）把圆化为标准形式，利用半径大于0及点与圆的位置关系构造不等式求，〃的取值范围;

（2）利用弦的中点的几何性质得出垂直关系求出直线斜率，进而求出直线方程.

【小问1详解】

圆C：%2+y2-2x+4y-m=0的标准方程为（x-l）2+（y+2）2=m+5,

「.〃7+5>0,解得小>一5,

又二点“（0,—1）在圆内，W（0-1）2+（-1+2）2<W+5,解得阳>一3,

•.・〃?的取值范围为（一3,内）.

【小问2详解】

・圆心为c(l,-2)与点”(0,—1)为A3中点，

.kJ一(T)=1,

CMi-o，

设直线/的斜率为2,则心”•女=(-1)/二一1,解得女二1,

・•.直线/的方程为y=x-i,即X一)，-1二0.

C

17.设S“是等差数列｛凡｝的前〃项和，b“=：.

(1)证明：数列｛a｝是等差数列；

（2）当S]o=31O,§20=1220时，求和：J-+y^-+S-+…•+：•

她她贴4^KXAOI

【答案】(1)证明见解析

⑵至

304

【解析】

【分析】(I)根据等差数列的定义，求出包--2为定值即可;

(2)由Ho=310,S20=122()列方程组求解后可得到｛a｝的通项公式，利用裂项求和法求和即可.

【小问1详解】

〃（〃一1）

・"%｝是等差数列，设首项为1,公差为d,则S“=/iq+-^——%.

2

q

又,,也=之

n

〃（〃一1）j

%S,,叫+-^d«-1

上—=-----------=a^—d

nn2

「•｛2｝是首项为4,公差为g的等差数列.

【小问2详解】

V5,0=310,§20=1220,

"-io

24=4

解得《

d=6

20q+辿占220

2

由(1)可知4=%+(〃_1)乂4=4+(〃_1)乂9=3〃+1

1=[=\_(_i_______

bnbn+l(3n+l)(3n+4)313〃+13n+4；

L+-+」

始2b2b3b3b4^KMACI

ixn_Q-21

3(4304J304

18.已知椭圆。：5+六=1（4>/7>0）的焦距为26，且过点（6,；）.

（I）求C的方程；

（2）直线/交。于A,8两点，若直线/不过原点。，且直线Q4,A8,。8的斜率依次成等比数列.

（i）求直线/的斜率；

（ii）。为C的左顶点，当。，。位于直线/的异侧时，求四边形AO8O面积的取值范围.

2

【答案】（1）—+/=1;

4.

（2）（1）士;；（ii）[1,V2）.

【解析】

【分析】（1）由焦距、所过的点，应用待定系数法求椭圆参数，即可得方程；

（2）⑴设直线方程为y=6+/〃（〃中0）,A（%,y）,现孙必），联立椭圆方程，应用韦达定理、等比

中项的性质列方程求参数，即可得；（ii）由（i）及判别式，结合题意分析得0<〃<1,再由

SAMO=S仞。+Ss摩得到关于阳的方程，即可求范围.

【小问1详解】

因为焦距为2G且过点（回

31

7十指

所以2c=2g得。=2,b=l,

所以。的方程为三+），2=1.

4-

【小问2详解】

（i）由题意知直线/的斜率存在，

设直线方程为y=Lr+m（〃zw。），A（x，yJ,8（9,%），

r2_1

联立<4+）一，得（1+4左2卜2+85氏+4m2-4=0,

y=kx+m

△=（Skm）2-4（1+4二）（4加一4）=64/_j6M+16>0,

-8km4/n2-4

%+x

21+4公中2二1+4-

因为直线04AB,0B的斜率依次成等比数歹ij,

）'1）’2（去]+〃?）（去2+"?）k2X\X?+k〃“演+12）+〃/

所以A』。"

xxx2x]x2xx2

2

.24/7z-4,-8km

k~-----丁+k，n•----丁+nr2

1十4公1十442nr-Ak

4m2-44/H2-4

1+4&2

所以4/加2一软2=加2_442,得4居7?=加2,又〃700,所以直线/的斜率为土;;

（ii）由（i）知，A=64k2—16/zz2+16>0，得Ov，/<2,

又D,O位于直线/的异侧，结合机为直线在丁轴上的截距,

所以〃=工时，k=—时，-

22

又直线OA,AB,08的斜率存在，所以m2工1，即0(〃/<1，

所以S.o=S虫+SBIX)=^2x\yi-y2\=\y]-y2\

=闷-5|=g归一%|=；J(占+,J-4为不=；J-4x4m~4-,

所以SADBO=卜而+2(0V川2<|1则1<S版即<0，

所以SADB。的取值范围为(1，血).

19.已知函数〃x)=e'-2ox,6/GR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

。)若不等式/(力>0对一切正数％恒成立，求〃的取值范围：

(3)若o=L函数〃(x)=/(%)—e'-COSLT+I,证明：当大©一条品时，；一个土~~二<力(%)<2

【答案】(1)答案见解