高考数学复习之平面向量的数量积（解析版）

第30讲平面向量的数量积

【基础知识全通关】

一、平面向量的数量积

i.平面向量数量积的概念

（1）数量积的概念

已知两个非零向量。我们把数量"1sleOS。叫做向量。与6的数量积（或内积），记作

。・从即〃小=|a|IWcos0,其中1是。与力的夹角.

【注】零向量与任一向量的数量积为0.

（2）投影的概念

设非零向量〃与1的夹角是仇则|。|85。（|加85。）叫做向量。在4方向上（力在。方向上）

的投影.

如图（I）（2）（3）所示，分别是非零向量。与力的夹角为锐角、钝角、直角时向量。在力方

向上的投影的情形，其中O4=|〃|cos6,它的意义是，向量〃在向量力方向上的投影长

是向最西的长度.

（3）数量积的几何意义

由向量投影的定义，我们可以得到。•万的几何意义：数量积。•）等于〃的长度|。|与力在。

方向上的投影I力Icos6的乘积.

2.平面向量数量积的运算律

已知向量4氏c和实数4,则

①交换律：ab=ba-,

②数乘结合律：（幺。）♦）=%（〃•»=e（4b）；

③分配律：（a+〃）・c=GC+ZTC.

二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质

设非零向量a=(xpy),〃=(々，为)，。是。与力的夹角.

(1)数量积：a-b=\a\\b\cos0=x]x2+y}y2.

(2)模：|〃|二夜a=Jx：+y：.

(3)夹角：cos0-卅"="工2+.：1)2=

卬闻—:―+必?

(4)垂直与平行：a-Lb<^>ab=O<^>x}x2+y]y2=0；a//b^>a-b=±\a\\b\.

【注】当。与力同向时，。力=kll〃l；

当。与b反向时•方=一«11^1.

(5)性质：|。小区同|司(当且仅当a//b时等号成立)=17超十y，2I-Qx：十7尤[十)1•

【考点研习一点通】

例1.计算下列各式：

(2)2(3ci-4b+c)—3(2。+6—3c)；

2--1-1-_

(3)-[(4a-3b)+—b--(6a-lb)].

1-一一5-11一

【答案】(I)一一a(2)lie-Wb(3)-a——b

6318

4一一3一1一3一43一13-1-

【解析】(1)原式=_〃+/?--a+-b--b=(一―二)a+(l+---)/?=――a.

322232226

(2)原式=6%—87+2工一6%—31+91=(6-6痴+(-8-3历+(2+9)~c=\\~c-\\b.

2--1-3-7-

(3)原式=一(4〃-3力+—〃一一a+-h)

3324

?「3-17--

=-(4一二)4十(_3+_+_)方

3234

【总结】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，4>0时，/1。

与“同向；Z<0时，>1以与以反向；/I=0时，A.a=0；故义4与〃一定共线.应用实数

与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解.

【变式1-1】计算:

(1)6(3,2))+9(-22+万);

1一一2-二71-1

(2)—(3a+2b)--a-b——a+—

262

【答案】(1)-3b(2)0(3)6a+2b

【解析】（1）原式二1公一12方一187+96=—3》.

(2)；1(3白+26一ga一方

2卜技十部利

1(-2----A7(1-

=-3a--a+2b-b--—4+

2362

7f-3-

-\-a+b--a+-b

2367J

7-1-7-1--

=-a+-b--a——b=0.

6262

(3)原式=6〃—6b+6c—4〃+X万—4c+4a—2c

=(6。—4a+4a)+(8b—6b)+(6c—4c—2c)

=6a+2b.

典例2若向量m=(2k?l,k)与向量n=(4,1)共线，则?n?几=

A.0B.4

917

C・-----D.------

22

【答案】D

【解析】因为向最m=(2k?l,k)号向最九=(4,1)共线，

所以2k?1=4k,解得k二?

即m=(?2,?》，n=(4,l),

117

所以m?n=—8—=-----

22

选D.

【变式2・1】已知向量|。=啊=1,0与力的夹角为45。，则（〃+2办〃=

【答案】1+企

【解析】由向量同=网=1,〃与力的夹角为45°,

得（a+26>〃=〃2+%.》=同2+2同.同cos45o=1+夜.

uni1nimiiuiniiiuin

典例3在平行四边形A8c力中，44=3,4。=2,42=5人艮4。=耳4。,若

UUUUU

CPCQ=12,则N/WC=

3兀

B.

T

n

D.

2

【答案】C

【解析】如图所示,

平行四边形A3CD中，AB=\AD=2t

一1—.一1—.

AP=-AB,AQ=-AD,

.\CP=CB+BP=-M5——AB,

3

CQ=（T）+~DQ=~'AR-^Af）,

因为守ee=i2,

所以而•通=（_而_:而）（一而

2・21・24'・’・

=-AB+-AD+-ABAD

323

=—x32+—x22+—x3x2xcosZ.BAD=12,

323

则=/BAD

23

jr27r

所以N4OC=7T-'=」.

33

故选C.

例4.已知2、b,"是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为()

①a*b=±\a\*\b\<^>a//b；②〃、(反向oa・1=一|a|•历|；③a1bo|«+B|=|a

—Bl；®|6?|=|^|<=>16Z•c\=\b•c\.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

(1);aI|b|cos。，，由。•〃;±|。11坂|及a、B为非零向量可得cos〃=±1,)0=0

或“，・•・[〃五，且以上冬步均可逆，故叙述①是正确的.

(2)若4、坂反向，则4、B的夹角为兀，•B=|〃|缶200"=一|。|历|且以上各步均

可逆，故叙述②是正确的.

(3)当7,分时，将向量3、分的起点确定在同一点，则以向量3、五为邻边作平行四边

形，则该平行四边形必为矩形，「是它的两条对角线长相等，即有而+方|=|Z-B|.反过来,

若值+加=而一加，则以I、B为邻边的四边形为矩形，・・・ZJ.B,故叙述③是正确的.

(4)当|〃|二|B|,但。与C的夹角和B与C的夹角不等时，就有•c|W|B-c|,反过来的

由而­c\=\b・"|也推不出前二由.故叙述④是不正确的.综上所述,在四个叙述中，前3

个是正确的，而第4个是不正确的.

【总结】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法

与减法的平行四边形法则.

例5.已知|Z|=4,历|=5,当(I)a//b,(2)a1b,(3)£与石的夹角为30°时，分别

求[与B的数量积.

【点拨】已知向量|3|与|',求只需确定其夹角0.

【解析】

(1)当］〃B时，有。=0°和6=180°两种可能.

若。与五同向，则8=0°,a•b=\a\|b|cos00=4X5X1=20：

若Z与否反向，则，=180。，a・B=Q||B|COS180°=4X5X(-l)=-20.

(2)当Z_L加时.，8=90°,a・B=|Z|缶|cos90。=0.

(3)当Z与B的夹角为30。时，a-1=|Z||'cos30。=4X5X—=1073.

2

【总结】

(1)在表示向量的数量积时，Z与B之间必须用实心圆“•”来连接，而不能用“X”连接,

也不能省略.

(2)求平面向量数量积的步骤是：①求［与B的夹角仇。£［0°,180°］.②分别求|3|

和面.③求它们的数量积，即a-b-\a\\b\*cosO.

例6.(1)若|"|=4,a-b=6,求B在Z方向上的投影；

(2)已知|1|=6,3为单位向量，当它们之间的夹角，分别等于60°、90°、120°时，求

出［在"方向上的正投影，并画图说明.

3

【答案】(1)-(2)略

2

【解析】(1)a•b=\a\|^>|cos^=6,又|。|二4,

---3

|cos^=61.*.|^|cos0=—.

2

(2)"在"方向上的投影为|Z|・cos6.

口一

①②③

如上图所示，当6=60°时，。在e方向上的正投影的数量为|4|・COS600=3；

当0=90°时，［在"方向上的投影的数量为|Z|・cos9(T=0；

当。=120°时，工在工方向上的正投影的数量为|Z|・cosl20°=-3.

【总结】要注意Z在加方向上的投影与B在Z方向上的投影不是不同的.

例7.已知向量〃与5同向，b=(1,2),a,b=10.

(I)求向量。的坐标；

(2)若。=(2,—1).求(B,c),a.

【解析】(1)•・•£与B同向，又5=(1,2),

，设。二几3,则4=(2,2/1).

又•・•£・3=10,・・・1・4+2・24=10,解得；l=2>0.

:几=2符合。与A同向的条件，，(2,4).

(2)\'b-C=1X2+2X(-|)=O,，(b•c)•3=0.

【总结】

(1)注意本题由［与B共线且同向的设法及验证；

(2)通过本题可以看出(B・")・3=0,(a•b)•c=IOX(2,-I)=(20,-10),

显然(坂・Z)・ZW(Z•五)・2,即向显运算结合律一般不成立.

例8.己知£=(1,1),b=(0,一2)当k为何值时，

(1)ko—B与a+B共线；

(2)kZ一方与Z+B的夹角为120°.

【解析】'：a=(1,1),b=(0,-2),ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2；.

a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-I).

(1),.,k〃-B与。+B共线，；・k+2—(—k)=0./.k="I.

(2);Ih；-向=5公+伙+2)2,|£+向=/2+(_1)2=&,

(kZ—B)・(Z+B)=(k,k+2)・(l,-l)=k-k-2=-2,而kZ一方与Z+B的夹角为120°,

.・.12。。=储一办Q+"

|ka+b\\a+b\

即——=

2&.也、/+2)2•

化简，整理得k?+2k—2=0,解之得&=一1±6.

【考点易错】

1.已知|£|=4,法|=3,分别满足下列条件，求】方与|£+加.

(1)a//b；(3)5与坂夹角为60°

【解析】

(1)当Z〃石时，分两种情况：

①若。与各同向，则。=0°»

ab=\a\\b\cos0=4x3xcos0=12o

|公昨,+方=/+2£彳+方

=\ja+2|a|-|^|cos0+B=J3?+2x3x4x1+4?=7

②若—与3反向,则。=180°,

a-b=\a\-\b\cos0=4x3xcos180=-12o

\a+b\=y](a+h)2=\ja+2\a\-\b\cos180°+b=S-2x3x4xl+4?=1

(2)当£_15时，0=90°,

a-b=\a\\b\cos90=0o

\a+b\=y/ta+b)2=\la+2ab-^-b=yja+2\a\-\b\cos90()+b=正+下=5

(3)当%与&的夹角为6=60°时,

a£F=|a|-|^|cos60°=6.

\a+b\=yj(a+b)2=\ja~+2|a|-|Z；|cos600+^-=^32+2x3x4xg+4,=437

【总结】G+办仍旧是一个向量，它们的模根据公式即为自身数量积的平方根.数晨积运算

是沟通向量与数量的桥梁.

2.已知向量"=(i,^),b=(0,1),则:与办夹角的大小为.

【答案】300

【解析】(I)a=(1,5/3),b=(^3,1),

所以cfh=0+0=26,a=Jl+3=2,b=。3+1=2,

h_2后_百

根据数量积公式,得cos<a,b>=嗣E

故言与办夹角的大小为30°。

【总结】考查平面向量数量的角度问题，注意运用数量积的运算性质及夹角的范围，公式合

理的选用有助于分析解决问题.

3.若£、1)、工均为单位向量，且71=0,(£+方•(]+£)的最大值为

【答案】1+6

【解析】因为。、坂、c♦均为单位向量，且。•分二0,

设。二(1,0),b=(0,I),c=(cossin。)，

/.(a+h)­(h+c)=(1,1)-(cosGJ4-sin0)=cosA+1+sin0=>/?sin(0+—)+1,

4

故(£+坂)•(,+£)的最大值为l+应.

【总结】考杳平面向量数量枳和模的问题，考查我们运用知识分析解决问题的能力.注意

本题是转换为代数运算求最值问题.

4.已知平面向量a,b,|=1,\b|=2,。•力=1.若e为平面单位向量，则•e\+\b-e|

的最大值是

【答案】币

【解析】由Ia1=1,Ib|=2,a•b=1得，,b>=60",不妨取(7=(1,0),Z?=(1,

5/3),设e=(cos。，sin0),

则Ia,el+lb•e|=|cos0l+lcos0+6sin0|W|cos。|+|cos。|+G|sin0|

=2|cos01+6Isin0I，取等号时cos。与sin0同号,

2

所以2|cos0|+>/3Isin0|=|2cos0+6sin0\=y/l|—T=COS。+—^sin0'二币|sin(0+3)|,

V7不

QA

(其中sinB=-^=,cosB=77，取B为锐角)，显然夜|sin(。+B)y/1,故所求最大

值为4o

【总结】考查平面向量数最积和模的问题，注意结合向量坐标转换成代数运算求最值问题.

5.设向量。=(4cosa,sina),b=(sin/7,4cos/?),c=(cosJ3,-4sinfi).

(I)若。与否-2c垂直，求tan(a+4)的值;

(2)求方+"的最大值;

(3)若tanatan)=16.求证：a//b.

【解析】(1)•・,3与b-2c垂直，・•・a(b-2i)=ab-2dc=0,即

4sin(a+/?)-8cos(a+0)=0,

/.tan(a+0=2.

(2)b+c=(sin^+cos/?,4cos/7-4sin/?),

_,2

b+c=sin2/7+2sin6cos^+cos2^+16cos2^-32cos/?sin/?+16sin2p

=17-30sin/7cos/7=17-15sin2/7,

**•b+c最大值为32,，5+c］的最大值为4.

(3)证明：由tanatan)=16,得5出“$抽/7=1682085夕,

即4cosa-4cos/?一sinasin/?=0,故。〃尻

【总结】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可

以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一

个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、

运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题,

从而考察学生综合解决问题的能力.

【巩固提升】

1.已知非零向量/〃，〃满足4||=3||,cos<"z,〃>=.若〃_LCtm+n)则实数

，的值为()

99

(A)4(B)-4(C)-(D)——

44

【答案】B

【解析】由4|〃2|=3|H|,可设||=3匕||=4±30),又〃_1.(""+〃)，所以

->->->->

n•("〃+〃)=〃♦/〃?+〃•n=t|m\■|n\cos<in»n>+|n|2

二t.3k-4k•-+(4Z)2=4必+16尸=0.所以t=4,故选B.

3

2.平面向量3与否的夹角为60。，a=(2,0),忖=1,则a+2M=()

A.GB.2>/3C.4D.12

【答案】B

［解析】*.*a=2,〃+2引=a-v2ab-b=4+4x2x1xcos60°+4x12=12,

a+2^|=2G.

3.在AOAB中，已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线/上的任一点，则9•丽=

()

A.6B.—6C.12D.—12

【答案】B

【解析】B设AB的中点为M,则

OPAB=(OM+MP)AB=OMAB=—(OA+OB)・(OB—OA)

=-(OB-0A)=-6.故选B.

4.若平面向量星(-1,2)与E的夹角是180。，且后|二3迷，则E坐标为()

A.(6,-3)B.(-6,3)C.(-3,6)D.(3,-6)

【答案】D

【解析】设章(x,y),

由两个向量的夹角公式得cos1800=-1-二・乙二二x+2；

lal-lblV5X3V5

0x-2y=15©,叼x2+产3证②，

由①②联立方程组并解得x=3,y=-6,即墓(3,-6),故选D.

5.对于非零向量次，〃，定义运算“*“：m^n=w|-|«|-sin<9,其中。为〃2,〃的夹角，

有两两不共线的三个向量0、方、2,下列结论正确的是()

A.若Q*A=Q*C,则N=cB.a*b=(-a)*b

C.(a^b)c=a(b^c)D.(a+b)*c=a*c+b*c

【答案】B

【解析】根据定义，由Q4=Q汇得忖仰sin。产忖忡4］。2,显然得不到分=2对

于B,(~a)^b=-a|-1^|-sin<-a,Z>>=|«|-|5|-8111(^-^)=a-bsinO=a*b,B正确，

容易验证C、D不正确.故选B.

6.平面上O,A,B三点不共线，设况=3,OB=b,则△OAB的面